線性代數(shù)6、歐幾里得空間.ppt

1、第六章歐幾里得空間,向量的內(nèi)積,定義：設(shè)有n 維向量 令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 則稱 x, y 為向量 x 和 y 的內(nèi)積 說明： 內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，其結(jié)果是一個實數(shù) 內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x 和 y 都是列向量時， x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y ,定義：設(shè)有 n 維向量 令 則稱 x, y 為向量 x 和 y 的內(nèi)積,向量的內(nèi)積,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x,

2、 y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， x, x 0 施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱

3、性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn =

4、 xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， x, x 0 施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,回顧：線段的長度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1, x2),O,P,O,若令 x = (x1, x2)T，則,若令 x = (x1, x2, x3)T，則,x, x = x12 + x22 + + xn2 0,向量的長度,定義：

5、令 稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度（或范數(shù)） 當(dāng) | x | = 1時，稱 x 為單位向量 向量的長度具有下列性質(zhì)： 非負性：當(dāng) x = 0（零向量） 時， | x | = 0； 當(dāng) x0（零向量） 時， | x | 0 齊次性： | l x | = | l | | x | ,向量的長度,定義：令 稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度（或范數(shù)） 當(dāng) | x | = 1時，稱 x 為單位向量 向量的長度具有下列性質(zhì)： 非負性：當(dāng) x = 0（零向量） 時， | x | = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， | x | 0 齊次性： | l x | = | l | | x | 三

6、角不等式： | x + y | | x | + | y |,x,y,x + y,y,向量的正交性,施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y = | x | | y | 當(dāng) x 0 且 y 0 時， 定義：當(dāng) x 0 且 y 0 時，把 稱為 n 維向量 x 和 y 的夾角 當(dāng) x, y = 0，稱向量 x 和 y 正交 結(jié)論：若 x = 0，則 x 與任何向量都正交,x,y,定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組 定理：若 n 維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量， 則 a1, a2, , ar 線性無關(guān) 證明：設(shè) k1a1 + k2a2

7、+ + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 從而 k1 = 0 同理可證，k2 = k3 = = kr =0 綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關(guān),例：已知3 維向量空間R3中兩個向量 正交，試求一個非零向量a3 ，使a1, a2, a3 兩兩正交 分析：顯然a1a2 解：設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2a3 ，則 a1, a3 = a1T

8、 a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0,得 從而有基礎(chǔ)解系 ，令 ,定義： n 維向量e1, e2, , er 是向量空間 中的向量， 滿足 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個基（最大無關(guān)組）； e1, e2, , er 兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量， 則稱 e1, e2, , er 是V 的一個規(guī)范正交基 例： 是 R4 的一個規(guī)范正交基,也是 R4 的一個規(guī)范正交基,是 R4 的一個基，但不是規(guī)范正交基,設(shè) e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個正交基，則V 中任意

9、一 個向量可唯一表示為 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于是 特別地，若 e1, e2, , er 是V 的一個規(guī)范正交基，則 問題： 向量空間 V 中的一個基 a1, a2, , ar 向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基 e1, e2, , er,？,求規(guī)范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化過程 設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,規(guī)范正交基,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 為 a2 在 b1 上的投影，則 c2 = l b1 ， 若令

10、b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，則 b1b2 下面確定l 的值因為 所以 ，從而,a2b1,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化過程 設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令 于是 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與a1, a2, , ar 等價，即 b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基 特別地，b1, , bk 與a1, , ak 等價（1 k r）,第二步：單位化 設(shè) b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基，那么令 因為 從而 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基,例：設(shè) ，

11、試用施密特正交化 過程把這組向量規(guī)范正交化 解：第一步正交化，取,例：設(shè) ，試用施密特正交化 過程把這組向量規(guī)范正交化 解：第二步單位化，令,例：已知 ，試求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 兩兩正交. 解：若a1a2 ， a1a3 ，則 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 應(yīng)滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基礎(chǔ)解系為 把基礎(chǔ)解系正交化即為所求,（以保證 a2a3 成立）,定義：如果 n 階矩陣 A 滿足 ATA = E， 則稱矩陣 A 為正交矩陣，

12、簡稱正交陣,即 A1 = AT，,于是 從而可得 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交,即 A 的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基,定義：如果 n 階矩陣A 滿足 ATA = E，即 A1 = AT， 則稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交即 A 的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基. 因為ATA = E 與AAT = E 等價，所以,定義：如果 n 階矩陣A 滿足 ATA = E，即 A1 = AT， 則稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交即 A 的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的行向量都是單位向量，且兩兩正交,即 A 的行向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基.,例：正交矩陣,R4 的一個規(guī)范正交基,正交矩陣具有下列性質(zhì)： 若 A 是正交陣，則 A1