在職工程碩士GCT 數(shù)學第3章 集合映射和函數(shù)

1、第3章 集合、映射和函數(shù),一、集合,二、映射,三、函數(shù),（ 一次函數(shù)、, 二次函數(shù)）, 函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、周期性）,第3章 集合、映射和函數(shù),一、集合,1、集合的基本概念,把某些確定的對象集在一起，就形成了一個集合。, 元素與集合的關系：,集合常用 表示。,集合的元素常用 表示。, 集合的分類：,有限集,空集,無限集, 集合中元素的特性：,確定性、互異性、無序性。,2、集合的表示法,列舉法,描述法,a. 列舉法：,b. 描述法：,把集合的元素一一列舉出來，并寫在,大括號內(nèi)。,把集合中元素的共同特性描述出來，并,寫在大括號內(nèi)。,一般形式為：,如：,3、幾種常見的數(shù)集的表示符號,自然數(shù)集；,整數(shù)

2、集；,有理數(shù)集；,實數(shù)集；,復數(shù)集。,4、集合與集合之間的關系,三種符號：,三種關系：,子集,真子集,相等,如：, 是任何集合的子集。,是任何非空集合的真子集。,任意集合 是它本身的一個子集。, 區(qū)別五種符號：,例 集合 的子集的個數(shù)為（ ）,（P32 第1題）,（07年）,B,A.,B.,C.,D., 含有 個元素的有限集，共有 個子集。,證明：,設,則其子集有：,個。,5、集合的運算（ ）,且,或,設 則,且,例 已知,（P32 第2題）,C,A.,B.,C.,D.,則,（ ）.,解,例 設,（P33 第3題）,A,A.,B.,C.,D.,則,（ ）.,且,解,補,設集合,則 的元素個數(shù)為

3、（ ）.,A,A.,B.,C.,D.,解,先解方程：,故,因此 中最多有2個元素，排除C, D.,把 代入集合 中，,二、映射,（ 實際上是兩個集合之間的對應（關系）,映射：,設 是兩個集合，如果按照某個對應,法則 ，對于 中的任何一個元素，在 中,都有惟一的元素與之對應，則這樣的對應稱為,集合 到 的映射。,.,.,.,.,.,.,.,記作：,一一映射：,若映射 滿足：,中不同的元素在 中有不同的象；,中每個元素都有原象。,則稱 是 到 上的一一映射。,例 映射 是一種對應，對于這種對應關系，,以下的說法錯誤的是（ ）.,A.,B.,C.,D.,中每一個元素都存在 中元素與它對應；,中每個元

4、素不能對應 中一個以上的元素；,中可以有兩個或兩個以上的元素對應 中一個元素；,中不可有多余元素。,D,三、函數(shù),定義：,設 是 的非空子集，則,則稱映射 為 到 的一個函數(shù)。,記作：,.,.,.,.,.,.,.,函數(shù)的三要素：,定義域,對應法則,值域,決定要素, 幾種常見的函數(shù), 1、一次函數(shù),（定義、圖像、性質(zhì)）,直線，,定義域和值域均為, 的含義：,直線的斜率，,銳角，增函數(shù),鈍角，減函數(shù),直線在 軸上的截距。,.,.,正比例函數(shù)：,例 如果圖1中給出了平面直角坐標系中直線,的圖像，那么坐標為 的點在（ ）.,B,（2010年）,A.,B.,C.,D.,第象限,第象限,第象限,第象限,圖

5、1,解,由圖像知 y=x 一三,點在第象限。,例 某人從家到工廠的路程為 米。有一天，他從家,去工廠，先以每分鐘 米的速度走了 米后，,A.,B.,C.,D,他加快了速度，以每分鐘 米的速度走完了剩下的,路程。記該人在 分鐘走過的路程為 米，那么,函數(shù) 的圖像是（ ）.,（分）,（米）,（分）,（米）,（分）,（米）,D.,（分）,（米）,（P34 第13題）,（08年）,反比例函數(shù)：,定義域：,值域：,圖像：,雙曲線, 2、二次函數(shù),（定義、圖像、性質(zhì)）,拋物線,拋物線：,1、開口朝向 a0 開口上 a0 開口下,2、頂點,3、對稱軸,函數(shù)的性質(zhì)：,1、單調(diào)性,2、最值,3、值域,（與開口、

6、對稱軸有關）,（在頂點處取得）,1、開口朝向, 求拋物線的頂點（二次函數(shù)的最值）方法：,公式法,配方法,例,頂點為：,最小值為：,補,在同一直角坐標系中，一次函數(shù),和二次函數(shù) 的圖像大致為（ ）.,A.,B.,C.,D.,B,例 若圖3中給出的函數(shù) 的圖像與,軸相切，則 （ ）.,D,（2010年）,A.,B.,C.,D.,圖3,解,由題知,法一,即,（舍）,法二,由題知,即,（舍）,例 設二次函數(shù) 圖像的對稱軸,為 ，其圖像過點 ，則 （ ）.,D,（P33 第11題）,（06年）,A.,B.,C.,D.,解,由題意得,代入 得,故,因此,例 函數(shù) 在 上,單調(diào)增的充分必要條件是（ ）.,C

7、,（P33 第10題）,（03年）,解,由題意得,A.,B.,C.,D.,且,且,且,且,排除 A, B,又, 若區(qū)間改為： 呢？,則,例 下圖直角坐標系 中的曲線是二次函數(shù),的圖像，則 （ ）.,B,（09年）,A.,B.,C.,D.,解,由圖知,排除 A, C.,又 點 在拋物線上，,將其代入 B，D 中,選B.,法一,法二,又由圖知，,對稱軸為：,按 檢驗后，B正確。, 反函數(shù),如果映射 是一一映射，則可確定,記作：,.,.,.,.,.,.,一個 到 的一個映射，稱此映射為函數(shù),的反函數(shù)。, 與 的定義域和值域相反。, 與 的圖像關于直線,對稱.,關于反函數(shù)的存在性, 若函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)

8、是嚴格單調(diào)增（減），,則它一定存在反函數(shù)。, 若函數(shù) 在 ， ，則 在,上不存在反函數(shù)。,例,在 內(nèi)不存在反函數(shù)。,但在 內(nèi)存在反函數(shù)。, 求 的反函數(shù)的步驟：,從 中解出,調(diào)換 的位置。,確定 的值域，即反函數(shù)的定義域。,例 設 如果 的反函數(shù)的圖像經(jīng)過,B,（P33 第8題）,點 ，那么 （ ）。,A.,B.,C.,D.,解,由題意得,兩邊同時 次方 得,例 函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）。,D,（P33 第9題）,A.,B.,C.,D.,解,由,得,又,故反函數(shù)為：,排除A, B.,由圖可知原函數(shù)的值域為：,選D., 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）,1、單調(diào)性,若對,當,時,都有：,則稱,

9、在,內(nèi)單調(diào)增加；,的單調(diào)增加區(qū)間。,具有單調(diào)性的函數(shù)圖像的特點：,增函數(shù)的圖像是一條上升的曲線；,減函數(shù)的圖像是一條下降的曲線。,2、奇偶性,關于原點對稱,若對,都有：,偶函數(shù),奇函數(shù),的奇偶性。,奇偶函數(shù)圖像的特點：,奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；,偶函數(shù)的圖像關于 軸對稱。,（畫圖時可利用）, 奇偶函數(shù)的性質(zhì)：,（1） 奇函數(shù) 奇函數(shù) = 奇函數(shù),偶函數(shù) 偶函數(shù) = 偶函數(shù),（2） 奇函數(shù) 奇函數(shù) = 偶函數(shù),偶函數(shù) 偶函數(shù) = 偶函數(shù),奇函數(shù) 偶函數(shù) = 奇函數(shù),2、利用已知函數(shù)的奇偶性和奇偶函數(shù)的性質(zhì)判斷。, 判斷函數(shù)奇偶性的方法：,1、利用奇偶性的定義判斷。,D,（P97 第7題）,A.

10、,B.,C.,D.,解,觀察圖像知，需判斷函數(shù)的奇偶性。,例 函數(shù) 的部分圖像是（ ）。,是奇函數(shù)，可排除A, C.,B,例 若奇函數(shù) 在 上是增函數(shù)，又,（P33 第6題）,則 可表述為（ ）.,解,畫圖即可,是奇函數(shù)，且,A.,B.,C.,D.,由圖知，選B.,3、周期性,若存在非零常數(shù) ，使對,定義域,都有：,均為周期函數(shù)。,周期函數(shù)圖像的特點：,若 的周期為 ，則 也是,的周期。,即,C,例 函數(shù) 是定義在 上的周期為3 的,（09年）,周期函數(shù)，下圖表示的是該函數(shù)在 上的圖像，,則 的值等于（ ）.,A.,B.,C.,D.,解,由圖知,又,的周期為3,故,A,例 函數(shù) 是奇函數(shù)， 是

11、以4為周期的周期函數(shù) ，,（2010年）,且 若,則 （ ）.,A.,B.,C.,D.,解,是奇函數(shù),又,是周期為4的周期函數(shù),故,A,例 若函數(shù) 是周期為6的奇函數(shù)，則,（2011年）,的值等于（ ）.,A.,B.,C.,D.,解,由題知,又,D,定義在 上的函數(shù) 既是偶函數(shù)又是,周期函數(shù)。若 的最小正周期是 且當,時， 則 的值為（ ）.,A.,B.,C.,D., 補,解,又,的周期為,即,偶函數(shù),3、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),a. 指數(shù), 指數(shù)滿足的規(guī)律： （P28）,b. 對數(shù),若, 對數(shù)恒等式：,則 叫以 為底 的對數(shù)。,記作：, 指數(shù)、對數(shù)的互換：,特別地，, 對數(shù)滿足的規(guī)律：式

12、中,（P29）,（換底公式）,補,補,設 且,則 （ ）.,A.,B.,C.,D.,解,先排除 A, C.,關鍵是求：,故,B, 冪函數(shù),冪函數(shù)的定義域隨 的不同而不同。但有一,公共定義域為：,且在 內(nèi)，, 會畫幾種常見冪函數(shù)的圖像,定義,形如： 的函數(shù)。, 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（互為反函數(shù)）,a. 指數(shù)函數(shù)定義、,b. 對數(shù)函數(shù)定義、,定義域：,值域：,單調(diào)性：,性質(zhì)、圖像,性質(zhì)、圖像,定義域：,值域：,單調(diào)性：, 問題：,在 內(nèi)是否為增函數(shù)？,指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),y,O,x,y,O,x,1,1,1,1, 復合函數(shù)的單調(diào)性,“同增異減”原理,內(nèi)層函數(shù),外層函數(shù),若內(nèi)層函數(shù) ，則復合函數(shù),的單調(diào)性與外層函數(shù) 的單調(diào)性相同；,若內(nèi)層函數(shù) ，則復合函數(shù),的單調(diào)性與外層函數(shù) 的單調(diào)性相反。,例,解,外層函數(shù),內(nèi)層函數(shù),在 內(nèi)單調(diào)減少。,B,例 已知函數(shù) 在區(qū)間,（P33 第7題）