lesson9(插值與數(shù)據(jù)擬合建模).ppt

1、插值與數(shù)據(jù)擬合建模,插值與數(shù)據(jù)擬合就是通過一些已知數(shù)據(jù)去確定某類函數(shù)的參數(shù)或尋找某個近似函數(shù)，使所得的函數(shù)與已知數(shù)據(jù)具有較高的精度，并且能夠使用數(shù)學分析的工具分析數(shù)據(jù)所反映的對象的性質 幾種常用的方法： 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘曲線 4、曲面的擬合,一、基本概念,1、插值問題： 不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達式，而只能通過實驗測量得到該 函數(shù)在一系列點ax1, x2 , ., xn b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個簡單的函數(shù)P(x) 來近似地代替f(x)，要求滿足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n) 2、插值函數(shù)：P(x

2、) ， 3、插值法：求插值函數(shù)P(x)的方法,二、常用插值函數(shù),1、多項式函數(shù) 2、樣條函數(shù),1、多項式插值方法,（1）n次代數(shù)插值 （2）拉格朗日插值 幾點說明： （1）拉格朗日插值基函數(shù)僅與節(jié)點有關，而 與被插值函數(shù)f(x)無關。 （2）拉格朗日插值多項式僅由數(shù)對(xi,yi)(i 1,2,n)確定，而與數(shù)對排列次序無關。 （3）多項式插值除了上述插值法外還有其它 插值法，如newton插值法、hermite插 值法等。,二、常用插值函數(shù),1、多項式函數(shù) 2、樣條函數(shù),2、樣條插值方法,（1）樣條函數(shù)m次半截冪函數(shù),（2）k次B樣條或k次基本樣條函數(shù)的定義,（一）廣泛使用的樣條函數(shù),（1）

3、廣泛采用：二次樣條、三次樣條及B樣條。 （2）力學意義： A:二次樣條在力學上解釋為集中力偶作用 下的彈性細梁撓度曲線。 B:彈性細梁受集中載荷作用形成的撓度曲 線，在小撓度的情況下，恰好表示為三 次樣條函數(shù)，集中載荷的作用點，恰好 就是三次樣條函數(shù)的節(jié)點。,（1）二次樣條的定義,設a,b 的一個劃分：a=x0x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數(shù)：,滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n),（2）三次樣條函數(shù)的定義,設a,b 的一個劃分：a=x0x1, x2 , ., xn= b

4、， 函數(shù)f ( x )各節(jié)點的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數(shù)：,3,滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n),三、曲線擬合最小二乘法,最小二乘法的一般提法是： 對給定的一組數(shù)據(jù)(x i , y i )(i0，1，2，m)，要求在函數(shù)類=1， 2， n中找一個函數(shù)yS*(x)，使誤差平方和最?。?其中：,例1,在一個SCS系統(tǒng)中，根據(jù)實驗所得輸出信號與時間關系如下表所示，求輸出信號 y與時間t的擬臺曲線yf ( t )。,案例1 估計水箱的水流量模型,長度單位：E(3024cm) 容積單位：G(=3.785L(升) 某些鎮(zhèn)的用水管理機構

5、需估計公眾的用水速度(單位是G/h)和每天總用水量的數(shù)據(jù)許多地方?jīng)]有測量流入或流出水箱流量的設備，而只能測量水箱中的水位(誤差不超過5%)當水箱水位低于某最低水位L時，水泵抽水，灌入水箱，直至水位達到最高水位H為止。但這也無法測量水泵的流量，因此在水泵啟動時不易建立水箱中水位和水泵工作時用水量之間關系。水泵一天灌水12次，每次約2h。試估計在任意時刻(包括水泵灌水期間)t流出水箱的流量f(t)，并估計一天的總用水量。,案例1數(shù)據(jù),表中給出了某鎮(zhèn)中某一天的真實用水數(shù)據(jù)，表中測量時間以s為單位，水位以10-2 E為單位例如3316s以后，水箱中的水深降至3110 E時，水泵自動啟動把水輸入水箱；而

6、當水位回升至35.5E時水泵停止工作。,1、模型假設（1）,1）除了問題中特別說明的數(shù)據(jù)以外，其它給 定的數(shù)據(jù)其測量誤差不超過5 2）影響水箱流量的唯一因素是該鎮(zhèn)公眾對水 的普通需要所給的數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常 情況下一天的用水量，不包括任何非常情 況如水箱中水的短缺、水管破裂、自然 災害等 一個物理定理,1、模型假設（2）,3）水泵的灌水速度為常數(shù)，不隨時間變化也 不是巳灌水量的函數(shù)，因此假設水泵大約 在水位27E時開始灌水，在水位355E時 停止灌水同時假設水泵不會損壞或不需 要維護 4）從水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水 速度為了滿足公眾的用水需求不讓水棺 中的水流盡,1、模型假設（3）,

7、5）每天的用水量分布都是相似的因為公眾 對水的消耗量是以全天的活動(諸如洗澡、 做飯、洗衣服等)為基礎的，所以每日用水 類型是相似的 6）水箱的流水速度可用光滑曲線來近似每 個用戶的用水需求量與整個鎮(zhèn)的用水需求 量相比是微不足道的，而且它與整個鎮(zhèn)需 求量的增減情況是不相似的,2、問題分析,3、水流量與時間關系,中心差分公式：,用來計算每一組的中間數(shù)據(jù)點的水流量。對每一組數(shù)據(jù)的前兩個和最后兩個數(shù)據(jù)點，采用向前和向后差分公式,4、數(shù)值決定的水流量-時間圖,5、三次樣條擬合,6、對水泵兩段充水時間的處理,（1）第一次平均水流量：,（2）第二次平均水流量：,（3）平均水流量：,7、一天總用水量,8、檢驗,以不同的時間為起點得到的一天總用水量相差多少,一個物理定理,由托里查里(Torricelli)定律知，從水箱中流出水的最大