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1、2.3,控制系統(tǒng)的時(shí)域分析,什么是時(shí)域分析? 指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 由于時(shí)域分析是直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，所以時(shí)域分析具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。 系統(tǒng)輸出量的時(shí)域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。 在初值為零時(shí)，一般都利用傳遞函數(shù)進(jìn)行研究，用傳遞函數(shù)間接的評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。具體是根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)的性能。此時(shí)也稱為復(fù)頻域分析。,自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào),自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo),選取測(cè)試信號(hào)時(shí)必須考慮的原則： 選取的輸入信號(hào)的典型形式應(yīng)反映系統(tǒng)工作時(shí)的大部分實(shí)際情況。 選取外加輸入信號(hào)的形

2、式應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，易于在實(shí)驗(yàn)室獲得，以便于數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究。 應(yīng)選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號(hào)作為典型的測(cè)試信號(hào)。,典型輸入函數(shù),1、階躍函數(shù),零初始條件下的拉氏變換象函數(shù)為,階躍函數(shù),U=1的函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)。,2、斜坡函數(shù),零初始條件下的拉氏變換為,斜坡函數(shù),3、拋物線函數(shù),零初始條件下的拉氏變換為,拋物線函數(shù),典型輸入函數(shù),1、階躍函數(shù),零初始條件下的拉氏變換象函數(shù)為,階躍函數(shù),A=1的函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)。,2、斜坡函數(shù),零初始條件下的拉氏變換為,斜坡函數(shù),3、拋物線函數(shù),零初始條件下的拉氏變換為,拋物線函數(shù),理想單位脈沖函數(shù),其拉氏變換后

3、的像函數(shù)為：,4. 脈沖函數(shù),且,出現(xiàn)在 時(shí)刻，積分面積為U的理想脈沖函數(shù)定義如下：,實(shí)際單位脈沖函數(shù)：,沖激函數(shù)的拉氏變換象函數(shù)為U。,當(dāng) 時(shí),5、正弦函數(shù),拉氏變換象函數(shù)為,分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號(hào)，取決于實(shí)際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號(hào)形式。,當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時(shí)，如指令的突然轉(zhuǎn)換、電源的突然接通、負(fù)荷的突變等均可選擇階躍函數(shù)為輸入信號(hào)； 當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時(shí)間線性增長(zhǎng)變化時(shí)，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號(hào)。 當(dāng)考慮海浪對(duì)艦艇的擾動(dòng)、電源及機(jī)械噪聲等均可近似為正弦輸入。,時(shí)域分析以線性定常微分方程的解來(lái)討論系統(tǒng)的特性和性能指標(biāo)。設(shè)微分方程如下：,式中，x(t)為輸入

4、信號(hào)，y(t)為輸出信號(hào)。,線性微分方程的解,我們知道，微分方程的解可以表示為,其中， 為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，只與微分方程(系統(tǒng)本身的特性或系統(tǒng)的特征方程的根)有關(guān)。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，通解趨于零。所以根據(jù)通解或特征方程的根可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,為特解，與微分方程和輸入有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)特解趨于一個(gè)穩(wěn)態(tài)的函數(shù)。,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)過(guò)程之前的過(guò)程稱為瞬態(tài)過(guò)程。瞬態(tài)分析是分析瞬態(tài)過(guò)程中輸出響應(yīng)的各種運(yùn)動(dòng)特性。理論上說(shuō)，只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程，但這在工程上顯然是無(wú)法進(jìn)行的。在工程上只討論輸入作用加入一段時(shí)間里的瞬態(tài)過(guò)程，在這段時(shí)間里，反映了主要的瞬態(tài)性能

5、指標(biāo)。,對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，對(duì)于一個(gè)有界的輸入，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，微分方程的全解將趨于一個(gè)穩(wěn)態(tài)的函數(shù)，使系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)新的平衡狀態(tài)。工程上稱為進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程。,線性微分方程的解,如某系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示：,動(dòng)態(tài)過(guò)程：指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。又稱過(guò)渡過(guò)程、暫態(tài)過(guò)程。 穩(wěn)態(tài)過(guò)程：指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度.,動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程,（一）衰減振蕩：,具有衰減振蕩的瞬態(tài)過(guò)程如圖所示：,輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。,輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時(shí)間?；蛑赣?/p>

6、穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。,通常以階躍響應(yīng)來(lái)衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義瞬態(tài)過(guò)程的時(shí)域性能指標(biāo)。穩(wěn)定的隨動(dòng)系統(tǒng)（不計(jì)擾動(dòng)）的單位階躍響應(yīng)函數(shù)有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種。,瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo), 延遲時(shí)間 ：, 上升時(shí)間 ：, 最大超調(diào)量(簡(jiǎn)稱超調(diào)量) ：,瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)（衰減振蕩）,輸出響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值ymax所需要的時(shí)間。, 峰值時(shí)間 ：,瞬態(tài)過(guò)程中輸出響應(yīng)的最大值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。, 調(diào)節(jié)時(shí)間或過(guò)渡過(guò)程時(shí)間 ：,當(dāng) 和 之間的誤差達(dá)到規(guī)定的范圍之內(nèi)一般取 的5%或2%，稱允許誤差范圍，用表示且以后不再超出此范圍的最小時(shí)間。即當(dāng) 有：,瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo),

7、振蕩次數(shù)N：,在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過(guò)程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過(guò)程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。,在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，y(t)偏離 的振蕩次數(shù)。,穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo),（二）單調(diào)變化,單調(diào)變化響應(yīng)曲線如圖所示：,這種系統(tǒng)就無(wú)需采用峰值時(shí)間和最大超調(diào)量這兩個(gè)指標(biāo)。此時(shí)最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間這一指標(biāo)來(lái)表示瞬態(tài)過(guò)程的快速性。有時(shí)也采用上升時(shí)間這一指標(biāo)。,一階系統(tǒng)的暫態(tài)分析,當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，一階系統(tǒng)的輸出c(t)稱為單位階躍響應(yīng)，記作h(t)。,性能指標(biāo)：延遲時(shí)間：td=0.69T 上升時(shí)間：tr=2.20T 調(diào)節(jié)時(shí)間：ts=3T (=0.05) 或

8、 ts=4T (=0.02),1）可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值； 2）初始斜率為1/T； 3）無(wú)超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。,特點(diǎn)：,二階系統(tǒng)的暫態(tài)分析,一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與時(shí)域性能指標(biāo),1、無(wú)阻尼的情形( ),2、欠阻尼情形( ),令,系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。,(1) 上升時(shí)間,令t=tr 時(shí),c(t)=1，得,當(dāng)n一定時(shí)，阻尼比越大，則上升時(shí)間 tr越長(zhǎng)； 當(dāng)一定時(shí)，n 越大，則tr 越短,系統(tǒng)響應(yīng)越快。,結(jié)論：,(2) 峰值時(shí)間tp,單位階躍響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。,(3) 超調(diào)量%,(4) 調(diào)節(jié)時(shí)間ts,

9、系統(tǒng)的輸出與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取5%2%）而不再超出的暫態(tài)過(guò)程時(shí)間。,通常由響應(yīng)曲線的一對(duì)包絡(luò)線近似計(jì)算。c(t)在整個(gè)瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中總包絡(luò)在這對(duì)曲線內(nèi)，同時(shí)包絡(luò)線對(duì)稱于穩(wěn)態(tài)分量。,包絡(luò)線方程為：,代入,有,當(dāng)較小時(shí)，可取,(5)振蕩次數(shù)N 在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，輸出量波動(dòng)的次數(shù)。,為阻尼振蕩的周期時(shí)間。,(6)延遲時(shí)間td,指輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需時(shí)間。,(1) 上升時(shí)間,(2) 峰值時(shí)間,(3) 超調(diào)量,(4) 調(diào)節(jié)時(shí)間,3、臨界阻尼情形( ),4、過(guò)阻尼情形( ),結(jié)論：后一項(xiàng)的衰減指數(shù)遠(yuǎn)比前一項(xiàng)大得多。這時(shí)，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)就類似于一階系統(tǒng)的響應(yīng)。,1.阻尼比是

10、二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參量，由值的大小可以間接判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。在過(guò)阻尼(1 )情況下，暫態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩。當(dāng)0，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。,二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系,2.一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼（0 1）情況下工作。但是過(guò)小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，暫態(tài)特性品質(zhì)差。應(yīng)注意到，最大超調(diào)量只與阻尼比這一特征參數(shù)有關(guān)。因此，通?？梢愿鶕?jù)允許的超調(diào)量來(lái)選擇阻尼比。,3.調(diào)節(jié)時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個(gè)特征參數(shù)的乘積成反比。在阻尼比一定時(shí)，可以通過(guò)改變自然振蕩角頻率n來(lái)改變暫態(tài)響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間。

11、n越大，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短。 4.為了限制超調(diào)量，并使調(diào)節(jié)時(shí)間較短，阻尼比一般應(yīng)在0.40.8之間，這時(shí)階躍響應(yīng)的超調(diào)量將在1.5%25%之間。=0.707，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，快速性最好，而超調(diào)量%5%，平穩(wěn)性也好，故稱=0.707為最佳阻尼比。,一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼（0 1）情況下工作。但是過(guò)小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，暫態(tài)特性品質(zhì)差。應(yīng)注意到，最大超調(diào)量只與阻尼比這一特征參數(shù)有關(guān)。因此，通?？梢愿鶕?jù)允許的超調(diào)量來(lái)選擇阻尼比。,例31 已知二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，試計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。,解: 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,解得,例32 圖示系統(tǒng)單位階躍函數(shù)輸入時(shí)， 若要求,試確定系統(tǒng)參數(shù)K和，并計(jì)算上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間； 由條件所確定的K值不變，取 0時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量又是多少？自然振蕩角頻率是否改變？,解:, K值不變?yōu)?時(shí),可見，K值不變?yōu)?時(shí)， 不變，但小了，超調(diào)量增大