數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心.ppt

1、4,4,1,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 張奠宙 2007. 10.27. 上海,4,4,2,第一部分,國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育動態(tài),4,4,3,一。美國數(shù)學(xué)教育的走向： 重視基礎(chǔ),4,4,4,美國“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”。,1998年， 美國加州一批數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家（華裔著名數(shù)學(xué)家伍鴻熙是主要代表人物之一）， 公開批評美國和加州的數(shù)學(xué)教育。指責(zé)美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)術(shù)要求太低，基礎(chǔ)寬而不深，被形容為“一英里寬、一英寸深”。數(shù)學(xué)教材中嚴(yán)謹(jǐn)不夠，被諷刺為“模糊數(shù)學(xué)”，主張大幅度進(jìn)行改革。 另一方面，美國最大的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師組織 全國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）則認(rèn)為美國數(shù)學(xué)教育基本面是好的，雙方公開

2、論戰(zhàn)。,4,4,5,數(shù)學(xué)課程焦點文件發(fā)表： 強調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2006年9月12日， 美國全國數(shù)學(xué)教師協(xié)會發(fā)布數(shù)學(xué)課程焦點，對2000年的數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)做了補充說明， 力求在保持創(chuàng)造、發(fā)展的同時， 強調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性。 這也是近10年來美國“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”的一項重要結(jié)果。,4,4,6,聚焦“基礎(chǔ)”,課程焦點是各個年級（K-8）的重要數(shù)學(xué)課題。這些教學(xué)領(lǐng)域著重為各個年級的課程設(shè)計和教學(xué)提供組織結(jié)構(gòu)。這些課題處于數(shù)學(xué)的中心地帶：它們所承載的知識和技能對受教育的公民是必不可少的，并為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。,4,4,7,強調(diào)的重點：基礎(chǔ)，速度，技能,自動化回憶基本事實。在整數(shù)運算中，計算的流暢性（

3、fluency）是關(guān)鍵的。計算流暢性的重要組成部分是效率和正確性。最終，流暢性需要基本數(shù)字事實的自動化回憶。 快速記起(recall)乘法和相應(yīng)的除法的意義，熟練進(jìn)行整數(shù)的乘法和除法。 ,4,4,8,美國設(shè)立國家數(shù)學(xué)咨詢委員會,2006年4月18日，布什總統(tǒng)任命一個“（National Mathematics Advisory Panel）”, 任務(wù)是幫助總統(tǒng)和部長在科學(xué)研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建最好的美國數(shù)學(xué)教育。 委員會的具體目標(biāo)是在2008年2月向總統(tǒng)提出正式的報告 委員會分成以下5個工作小組：概念性知識和技能；學(xué)習(xí)過程； 教學(xué)實踐；教師； 評價,4,4,9,委員會的組成,主席佛克納爾（Larry

4、 R. Faulkner）是一位化學(xué)博士， 在許多大學(xué)化學(xué)系任教授、主任， 以及學(xué)院院長?，F(xiàn)任休斯頓一個私人設(shè)立的慈善基金會主席， 德州大學(xué)榮休教授。 副主席本鮑（ C。 P。 Benbow）是一位教育心理學(xué)家。 成員中有心理學(xué)家， 數(shù)學(xué)家， 數(shù)學(xué)教育家，數(shù)學(xué)教師等。 包括兩位華裔學(xué)者， 一位是前面提到的數(shù)學(xué)家伍鴻熙教授， 另一位是馬立平博士。 她在華東師范大學(xué)獲得碩士學(xué)位， 又在斯坦福大學(xué)獲得博士學(xué)位。一本以博士論文為基礎(chǔ)的著作（Knowing and Teaching Elementary Mathematics）指出美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)水平低下， 成為美國教育方面的暢銷書，因而一舉成名

5、。,4,4,10,公開聽證， 記錄在案,委員會計劃在2008年2月向總統(tǒng)提交最后報告之前， 在全美各地舉行10次會議。 2006年5月（華盛頓）， 6月（北卡州），9月（波士頓），11月（洛杉磯），2007年1月（新奧爾良），4月（芝加哥）舉行了6次， 6月5-6日在邁阿密。 非常詳細(xì)的日程已經(jīng)公布。,4,4,11,二 9年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）即將公布,4,4,12,修訂之一,修改了三句話： 人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育 人人都能獲得必需的數(shù)學(xué) 人人學(xué)習(xí)有價值的數(shù)學(xué) 不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,4,4,13,修訂之二,重提教師的主導(dǎo)作用， 啟發(fā)式講授，明確提出： 好的教學(xué)活動， 應(yīng)

6、是學(xué)生主體地位和教師主導(dǎo)作用的和諧統(tǒng)一。,4,4,14,修訂之三,注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握。 將“雙基”發(fā)展為四基： * 基本知識 * 基本技能 * 基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗 * 基本數(shù)學(xué)思想方法,4,4,15,修訂之四,貼近學(xué)生現(xiàn)實包括： 生活現(xiàn)實 數(shù)學(xué)現(xiàn)實 其他學(xué)科現(xiàn)實,4,4,16,修訂之五,整理、補調(diào)整許多內(nèi)容； 例如 “幾何”名稱的恢復(fù)； 尺規(guī)作圖的補充； 推理論證的規(guī)定,4,4,17,理性的回歸,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的爭論， 可以說基本結(jié)束。 堅持了大方向，處理得更符合實際，得到各方面的認(rèn)可。 正常的學(xué)術(shù)爭論還會繼續(xù)， 例如“數(shù)感”， 不同的人得到不同的發(fā)展等,4,4,18,三。謹(jǐn)

7、慎地接受西方的教育理論！,4,4,19,建構(gòu)主義的定義(http:/www.mathforum）,建構(gòu)主義是一種科學(xué)理論， 不能庸俗化。臺灣的失敗。 （知識是個人學(xué)習(xí)的， 大白話。） “什么是建構(gòu)主義？如下的解釋能夠同意嗎? “ 學(xué)生需要對每一個數(shù)學(xué)概念構(gòu)造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演講、解釋、或者企圖去“傳送”知識， 而是為促使學(xué)生進(jìn)行心智建構(gòu)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境和條件。這種教學(xué)方法的關(guān)鍵， 是將每一個數(shù)學(xué)概念按皮亞杰的知識理論分解成許多發(fā)展性的步驟，這些步驟的確定要基于對學(xué)生的觀察和談話,4,4,20,建構(gòu)主義的某些主張并不新鮮,知識是學(xué)生自己建構(gòu)的 學(xué)生不是一張白紙 學(xué)生的頭腦不是一張

8、空桶 知識是不能灌輸?shù)摹?建構(gòu)主義教育建議：自主、探究、合作。 我們都同意！以前也是這樣提倡的！,4,4,21,能動的反映論,教師為主導(dǎo)， 學(xué)生為主體。 師傅領(lǐng)進(jìn)門， 修行在個人。 啟發(fā)式教學(xué)，師生討論， 反對滿堂灌。 誰說“學(xué)生是一張白紙？” “能動的反映論”！ 知識是不能傳授的？科學(xué)傳授+主動接受是好的教育？,4,4,22,建構(gòu)主義的局限：缺乏效率,教育不等于認(rèn)識論。 數(shù)學(xué)教學(xué)是要在很短的時間里， 讓學(xué)生把握人類幾千年來積累的數(shù)學(xué)知識。掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，精中求簡，保持核心價值 一萬年以后怎么辦？ 老是探究， 自己發(fā)現(xiàn)，還有效率可談嗎？ 沒有效率的教學(xué)理論是走不遠(yuǎn)的！,4,4,23,人的知識多半

9、是主動接受而來大多是間接經(jīng)驗， 少量的直接經(jīng)驗,書籍、報刊的閱讀， 電視的傳播，世紀(jì)大講堂。 領(lǐng)導(dǎo)的講話， 聽名人報告。 政府頒布的法律，遵守就是了 交通規(guī)則的遵守， 學(xué)開車知道照辦 這些都是“單向傳輸?shù)摹?為什么教師在課堂講授就是錯誤的？ 西方課堂上教師與學(xué)生講話 8：1 香港是 16：1 （TIMSS調(diào)查，1999）,4,4,24,數(shù)學(xué)教育的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)； 教育數(shù)學(xué)的目標(biāo)是為學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)。,4,4,25,數(shù)學(xué)教育中的“去數(shù)學(xué)化”傾向,香港科技大學(xué)教授項武義認(rèn)為， 大陸的新課程標(biāo)準(zhǔn)有“去數(shù)學(xué)化”的傾向。 “去數(shù)學(xué)化”， 指數(shù)學(xué)教育只講“教育學(xué)”“心理學(xué)”規(guī)律， 忽視數(shù)學(xué)實質(zhì)的

10、揭示。,4,4,26,第二部分,關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握與呈現(xiàn),4,4,27,數(shù)學(xué)教學(xué)成功的標(biāo)志,主要看是否達(dá)到教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生是否理解和掌握了數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)的科學(xué)性）， 包括： 數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解； 數(shù)學(xué)知識的掌握； 數(shù)學(xué)能力的形成。 教育方式是手段（現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)： 學(xué)生活躍？合作？用計算機？ 探究？游離于數(shù)學(xué)本身） 奇談怪論： 結(jié)果不是最重要的， 重要的在于參與； 知識不是最重要的， 重要的在于過程。,4,4,28,4,4,29,數(shù)學(xué)知識的儲備：一個比喻,一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 沒有水可以打井取水 教師的作用：魚， 漁 數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握需要數(shù)學(xué)修養(yǎng),4,4,30,“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的內(nèi)涵：,

11、1。 數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系； 2。 數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程； 3。 數(shù)學(xué)思想方法的提煉； 4。 數(shù)學(xué)理性精神的體驗。 形成數(shù)學(xué)的教育形態(tài)： “返樸歸真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情”,4,4,31,數(shù)學(xué)本質(zhì)被兩種活動所掩蓋：,1。過度的形式化。 “淡化形式，注重實質(zhì)”。 2。教條式的改革。表面熱鬧、缺乏效率的教學(xué)過程。,4,4,32,例1。三角形內(nèi)角和問題,姜伯駒院士在政協(xié)的提案指出 “三角形內(nèi)角和等于180度這樣的基本定理，讓學(xué)生用剪刀將三個角進(jìn)行拼接實驗。只知其然不知其所以然，如何培養(yǎng)思辨能力？” 不鼓勵學(xué)生問為什么，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂。 李大潛院士：“老是量， 就倒退到尼羅河時

12、代去了”,4,4,33,三角形內(nèi)角和定理的價值,沒有實際價值， 超越日常經(jīng)驗。 當(dāng)初古希臘學(xué)者不是“量”出來的。 價值在于理性思維， 從公理出發(fā)的演繹推理。 建議：要么作公理， 要么進(jìn)行推理。 標(biāo)準(zhǔn)修訂稿探索并證明三角形內(nèi)角和定理。 （基于平行線同位角相等）,4,4,34,例2。正弦定理的教學(xué) （一個忽視數(shù)學(xué)實質(zhì)的設(shè)計）,請同桌同學(xué)任意畫一個三角形，測量它的各角大小和各邊的長，并用計算器分別計算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么結(jié)果？ （學(xué)生一個人在畫和測量，另一個人在記錄和計算，進(jìn)行合作學(xué)習(xí)）,4,4,35,根據(jù)你們的計算結(jié)果和三個小組的交流情況，你們有什么看法？

13、,4,4,36,正弦定理是量出來的嗎？,分組測量， 匯報結(jié)果， 這是敗筆。 數(shù)學(xué)不能靠大家意見相同得到結(jié)論。必須證明。 正弦定理的證明很簡單。靠“高”為媒介， 比一下立刻推得。 正弦定理的本質(zhì)在于找到“三角形的邊與角的關(guān)系”， 平面幾何“大邊對大角”的數(shù)量化。 三角是幾何的定量化，溝通代數(shù)和幾何的橋梁。,4,4,37,例3。 Freudenthal經(jīng)典情景：巨人的手（通過“量”掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)）,比例只是“照片放大”、“地圖比例尺”？ 黑板上留下巨人的手印， 請你為巨人設(shè)計巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸。 活動設(shè)計： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的書、桌子、

14、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有價值， 有意義）,4,4,38,例4。坐標(biāo)活動（長寧）,將教室的課桌并攏，用兩根有箭頭的繩子做成坐標(biāo)軸； 坐標(biāo)對應(yīng)學(xué)生， 請學(xué)生自己看坐標(biāo)； 兩坐標(biāo)都是非負(fù)的站起來； 兩坐標(biāo)相等的站起來； 換一個同學(xué)做坐標(biāo)原點。 這樣活動， 抓住了“坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)實質(zhì)。,4,4,39,“坐標(biāo)確定位置”： 定位太低,電影院座位： 幾排幾座。 電影院位置： 某大街和某大路交叉路口 教室里座位確定（排、座） 經(jīng)度和緯度。 這些都是日常生活經(jīng)驗， 不教也會。 打電話需要寫入課本嗎？ 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗： 坐標(biāo)原點選??；坐標(biāo)架的架設(shè)， 象限的形成。 表示數(shù)學(xué)對象， 反映量的變化等,4,4,4

15、0,例6：美國德州(Austin)的一個 斜率概念教學(xué)設(shè)計,為了聯(lián)系學(xué)生生活實際, 提出情景: “早上起床時, 你先要從床上起來(rise), 然后走到廚房去做早餐(run)” 由此聯(lián)系到斜率的概念: 縱距離與橫距離之比 rise over run. 評論：教案設(shè)計者只利用了rise和run這兩個詞的表面意思, 并沒有突出兩者必須存在關(guān)聯(lián),必須研究二者的比例. 難道每個rise和run 都有斜率的問題 (起床和去廚房這個過程的斜率是什么?),4,4,41,另一個美國數(shù)學(xué)教育故事,一組教師引入”二次函數(shù)”的方法是首先介紹”畢達(dá)哥拉斯定理”. Cindy請她們解釋為何要用此定理來引入二次函數(shù)概念,

16、回答是: “因為那里有平方”.？！ 數(shù)學(xué)的本質(zhì)完全被曲解了。 Cindy繼續(xù)提問, 希望他們能意識到問題所在, 結(jié)果惹得眾人很不愉快. 事后, 那個學(xué)區(qū)的教師間接告訴Cindy: “請她以后不要再到我們學(xué)區(qū)來了. 我們不歡迎她!”,4,4,42,例7。 方程概念,外在的邏輯形式： 含有未知數(shù)的等式叫方程。 內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)： 方程是為了尋求未知數(shù)， 在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等價關(guān)系。 “方程”思想的本質(zhì)在于建立關(guān)系 為了認(rèn)識“未知數(shù)”先生， 必須請已知數(shù)“先生為媒介， 找到一種關(guān)系， 根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識“未知數(shù)”先生了。,4,4,43,方程思想（三根電線的長度）,上海51中學(xué)陳振宣提供: 他

17、的一個學(xué)生在和平飯店做電工。發(fā)現(xiàn)地下室到10樓的三根電線不一樣長。 如何測知他們的電阻？ 袁枚（清）： “學(xué)如箭鏃， 才如弓弩； 識以領(lǐng)之， 方能中鵠”。,4,4,44,例8。 復(fù)數(shù)的定義,一對有序的實數(shù)（x,y)， 稱做復(fù)數(shù)。前者成為實部， 后者成為虛部。（錯） 但是，向量也是一對實數(shù)！ 復(fù)數(shù)的本質(zhì)在于它的乘法： (a,b) (c,d) = (ac bd, ad+bc),4,4,45,例9。 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計,用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙上3，4，5 的計算等。 6張工作單：發(fā)現(xiàn)猜想 a2 + b2 = c2 換一種思維：將勾股定理直接告訴學(xué)生， 用各種美麗的畫面， 講述中外有

18、關(guān)歷史，包括和外星人聯(lián)系使用的信息。 把重點放在如何證明上。 多種證明。 最后聯(lián)系到費馬大定理 an + bn = cn (n3)。 哪一種更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)？,4,4,46,例10。文字代表數(shù)的本質(zhì)： 符號運算 （只代表， 不運算， 沒有價值）,項武義教授： “ 文字代表數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字進(jìn)行相同的運算。 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上沒有講為什么可以這樣做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解變換 根 數(shù)學(xué)家之所以有飯吃， 在于能夠運用符號獲得結(jié)果 （復(fù)旦 張蔭南）,4,4,47,例11 一個例子怎能概括出負(fù)負(fù)得正？,探究式教學(xué)。例：一列每小時80公里的火車

19、向西開， 12時火車恰在上海。用上海向東向西表示方向的正負(fù)， 12點之后之前為時間的正負(fù)。 問10點時火車在什么位置？ 答案：（-2） x （-80）= 160 于是概括得出數(shù)的運算的規(guī)律負(fù)負(fù)得正。 （先乘除后加減、顛倒相乘、分?jǐn)?shù)的交換律 ） 數(shù)學(xué)不允許這樣的概括。 有意義的接受（先做后說） 先有規(guī)則， 后有解釋。先執(zhí)行， 然后舉例說明其合理性。反思也是創(chuàng)新的必要步驟。 先舉例是探究， 后舉例說明是有意義接受。,4,4,48,例12 “代數(shù)式引例,（某數(shù)學(xué)教材設(shè)計）： 一隧道長l米，一列火車長180米，如果該列火車穿過隧道所花的時間為t分，則列車的速度怎么表示”導(dǎo)入新課，指出：象“(l+180

20、)/t”這類表達(dá)式稱為代數(shù)式。 創(chuàng)設(shè)的情景看起來聯(lián)系生活實際， 實際上離開學(xué)生的實際很遠(yuǎn)。隧道不是學(xué)生熟悉的場景。 情景創(chuàng)設(shè)遠(yuǎn)離教學(xué)主題， 只求包裝靚麗，不管學(xué)生需要， 是一種時髦的、但不好的傾向。 我們認(rèn)為，引例應(yīng)該十分簡單。例如矩形的長a，寬為b,求矩形的周長和面積： M = ab,4,4,49,數(shù)學(xué)符號是一種語言,語文靠想象， 將符號（方塊字）用語法表示出來。 說話寫下來就是文章。 數(shù)學(xué)靠理性， 將數(shù)學(xué)符號通過運算、演繹得到結(jié)論。 這是人為構(gòu)造的語言。 語文、數(shù)學(xué)、詩詞、定理， 都是符號運作 語文是“飯”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 數(shù)學(xué)是“菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很

21、難。吃菜必須合理。 詩詞是“酒”， 酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時享受才喝。定理也是酒。,4,4,50,例13。函數(shù)的兩個定義： 宏觀與微觀,人們需要宏觀與微觀兩種觀點。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子； 藝術(shù)上的寫意與工筆 初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼， 宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系， 看總體發(fā)展趨勢。 宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。 高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察， 用兩個數(shù)集之間的對應(yīng)來描述。 微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對應(yīng)。 兩種定義互有短長，并非高級與低級之分 。,4,4,51,函數(shù)定義中 “唯一”重要嗎？,唯一不是本質(zhì)。 不唯一成多值函數(shù)而已。 多值函

22、數(shù)單值化即可。 描寫圓的函數(shù)， 上半圓和下半圓。 反三角函數(shù),4,4,52,例14。 函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)難點是“無限”。,單調(diào)性的本質(zhì)是描述函數(shù)的變化趨勢。這可以直觀地觀察， 畫圖，數(shù)列等 但是，單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)在于處理無限變化的趨勢；呈現(xiàn)的方式對“任意”兩個自變量 x1 x2 ,都有 f(x1) f(x2) 將直觀的自然語言表述為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言， 才能獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,4,4,53,例15 數(shù)學(xué)歸納法的比喻,1。 通常借喻 多米諾骨牌效應(yīng) 2。 火車頭帶火車。 第一節(jié)重要（火車頭） ， 然后， 各節(jié)車廂一節(jié)節(jié)地連接好。 3。 排隊。 第一個是 X學(xué)校學(xué)生， 然后保證后面一個和我同校，X學(xué)

23、校學(xué)生的隊伍排好。 數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是從有限過渡到無限。以上的比喻都必須注意這個特征。 相比之下， 多米諾骨牌好些。,4,4,54,例16。糖水濃度,a - 溶液（糖水）； b 溶質(zhì)（糖） b/a - 濃度（甜度） 現(xiàn)在向糖水中再放糖 m0， 糖水變甜； b/a (b+m) / (a+m) 如果 b/a d/c 是兩杯不一樣甜的糖水倒再一起， 甜度會怎樣？ b/a (b+d)/(a+c) d/c 這不是證明， 卻把握了數(shù)學(xué)過程的本質(zhì),4,4,55,17。 放煙火 （Interactive Mathematics Project) 主題教學(xué),一元二次函數(shù)的單元模型。 高樓上放煙火， 形成的曲線。

24、 頂點 落地點 與物理的關(guān)系： 拋物線。 大模型， 不是一節(jié)課的引入問題,4,4,56,例18。三角函數(shù)。 單擺，電磁波,y = ASin(t +) 周期性。這是基本概念。 舉例（波動， 簡諧運動， 課程表， 潮汐 和諧性。 這是三角函數(shù)的特征。 音樂， 單擺，電磁波。 相位性。理解三角函數(shù)變換的難點。 原始性。 不定元 X 可以構(gòu)造多項式， 分式、無理式； sinx 可以構(gòu)造各種三角函數(shù)，用來逼近其他函數(shù)。 三角恒等變換只是工具而已,4,4,57,例19.余弦定理與三點距離問題 - 表示培養(yǎng)能力,（荷蘭）甲離學(xué)校10公里， 乙離甲3公里， 問乙離學(xué)校幾公里？ 訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表示能力。 甲、乙

25、、學(xué)校在一條直線上？ 沒有說。 校 乙 甲 乙 坐標(biāo)。參數(shù)。復(fù)數(shù)?？臻g,4,4,58,例20。微積分的問題驅(qū)動,（1） 全局的問題。拋物線 y = x2 , 可以用許多方法研究， 試觀察它的切線。 （2）關(guān)鍵的問題。割線的極限位置 （3）增量的重要性 微積分是增量分析 （4）增量比的極限 克服極限,4,4,59,例21 增量分析： 微積分的本質(zhì)。,y = f(x) , y 隨 x的變化而變化 。 銷量隨價格的變化而變化。太普通 增量的提法： 價格變一元， 銷量變多少？很重要。 所以我們要研究 y的增量和x的增量之比的極限。,4,4,60,例22。瞬時速度,瞬時速度是出發(fā)點？ 還是微積分的應(yīng)用？

26、 瞬時速度是原始概念， 快車趕上慢車的一剎那。 小學(xué)里沒有面積的概念， 就可以求面積。 道理是一樣的。,4,4,61,例23。概率的統(tǒng)計本質(zhì),傳統(tǒng)：擲骰子 等可能性 排列組合 理論概率 計算概率（考試） 現(xiàn)代：擲骰子 實驗 頻率 經(jīng)驗概率 理論概率 排列組合 理論概率計算 統(tǒng)計方法 。,4,4,62,理論概率和經(jīng)驗概率,等可能性出發(fā)定義概率 （北師大版） 傳統(tǒng)。形式化處理。但是片面。 不能解釋降水概率、次品率、事故率等等 用實驗方法以頻率取代概率（華東師大版）可能比較難以捉摸。但是符合實際。 兩種不同的思想體系。怎樣呈現(xiàn)概率的“教育形態(tài)”， 是一個理論問題， 也是實踐問題。,4,4,63,例2

27、4。四維空間的4-方體（蘇聯(lián)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的一道空間想象題）,四維空間單位方體的頂點數(shù).棱數(shù), 面數(shù), 三維面數(shù), 四維體數(shù)? 解：頂點數(shù)：23 =16。 棱數(shù)：（16 4）/2 = 32 二維面：（16 C42）/4 = 24 三維面： （16 C43 ）/8 = 8 四維面： 1 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 + + 1 愛因斯坦的四維時空可以進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué),例25。用迭代方法解決問題（錄自美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)， 2000）,一位女生在打排球時膝蓋受傷。 她的醫(yī)生要她在10天內(nèi)每8小時服用兩粒220毫克的藥片， 以減輕傷痛。 如果她的身體每8小時吸收60%的藥物， 那么10天后

28、， 她身體中還有多少毫克的藥物？,64,迭代進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué),65,4,4,66,信息時代的數(shù)學(xué)新課題：算法,算法并不陌生。 先乘除， 后加減； 分?jǐn)?shù)通分；高斯消去法；求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法； 珠算口訣 算法是人和計算機相通的語言。 算法成為公民科學(xué)素質(zhì)的一部分。 印度的經(jīng)驗。 賦值語句，條件語句，循環(huán)語句。,4,4,67,第三部分,數(shù)學(xué)文化的孕育與體現(xiàn),4,4,68,揭示數(shù)學(xué)背后隱藏的文化價值,數(shù)學(xué)通過了考試， 是否獲得了理性思維的訓(xùn)練。 豬八戒吃人參果？ 數(shù)學(xué)教學(xué)要把數(shù)學(xué)的文化價值展現(xiàn)， 幫助學(xué)生體會。,4,4,69,例1.“對頂角相等”是否要證明？,數(shù)學(xué)與民主古希臘城邦實行奴隸主的民主政治

29、。 民主要求說服、說服需要證明、公理化方法得到應(yīng)用。 幾何原本。 命題15：對頂角相等。用公理3：等量減等量， 其差相等。,A,B,C,4,4,70,中國古代數(shù)學(xué)是官方管理數(shù)學(xué),春秋戰(zhàn)國， 百家爭鳴。 實行謀士向君王建議治國之道。與古希臘統(tǒng)治階級實行民主政治不同。 中國數(shù)學(xué)為帝王的統(tǒng)治服務(wù)。 九章算術(shù)：丈量田畝、計算稅收、分?jǐn)傖嬉?、計算土方、運輸計費 沒有“對頂角相等”。 勾股定理 古希臘與中國都有 古希臘重證明； 中國重算法。 理性思維 - 數(shù)學(xué)的德育教育功能。,4,4,71,例2 對稱和對仗,對稱是幾何變換。 變換之后有不變的量。軸對稱、中心對稱后圖形不變、長度角度都不變。 中國的對仗：“

30、明月松間照，清泉石上流”（王維詩句）。 “明月” 對“清泉”， 變中有不變。形容詞對形容詞， 名詞對名詞， 自然景物仍然是自然景物。 文化上看， 二者異曲同工。只是數(shù)學(xué)更加準(zhǔn)確、比較抽象而已。,4,4,72,例3。 時間和空間,初唐詩人陳子昂詩云：“前不見古人， 后不見來者， 念天地之悠悠， 獨愴然而涕下?！边@是古人乃只今天人們對時間與空間的認(rèn)識。 時間的模型是一條兩端無限的直線：詩人處在原點。 天地各為兩個平面， 悠悠地、無限地伸展著。 我們的幾何就是在這樣的空間里展開的。 實際上， 地球上的幾何就超出了這個范圍： 非歐幾何。揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵,4,4,73,例5。 變化中的不變量,與時俱進(jìn)

31、， 但是主要民族傳統(tǒng)不變。 物理學(xué)的能量守恒、動量守恒 數(shù)學(xué)中的不變規(guī)律：對稱；分?jǐn)?shù)的不同表示， 交換率， 方程的同解； 恒等式 sin2x + cos2x =1; （數(shù)學(xué)思想方法之一） 幾何不變量，代數(shù)不變量。 拓?fù)洳蛔兞浚?多面體歐拉定理， 七橋問題。 陳類,4,4,74,例6 數(shù)學(xué)意境,孤帆遠(yuǎn)影碧空盡， 惟見長江天際流。 （徐利治：極限意境） 眾里尋他千百度，驀然回首， 那人卻在燈火闌珊處。 （王國維人間詞話） （解題意境）,4,4,75,例7。 丘成桐談史記,2002年8月20日早上中央電視臺東方時空的“東方之子”欄目 （方靜采訪） “我讀史記象欣賞歌劇， 一幕幕地展開?！?華彩樂章如

32、：高山仰止， 景行景止。 歷史是宏觀的。 學(xué)習(xí)歷史會使人用宏觀觀點考察事物。 我提出的數(shù)學(xué)想法往往和別人的不一樣， 就是得力于史記,4,4,76,例8。 微積分中的中國史料,李善蘭、偉列亞力譯：代微積拾級（1859） 日本學(xué)者學(xué)習(xí)微積分的唯一通道（1870年以前） 京師同文館，除“經(jīng)學(xué)”和“數(shù)學(xué)”外， 物理、化學(xué)、博物等全聘外國人。 數(shù)學(xué)教習(xí)就是李善蘭。,4,4,77,中國最早的微積分譯作,李善蘭（1811 1882）,禾彳天 意思是 dx,4,4,78,清末中國數(shù)學(xué)的亮點,李善蘭恒等式: 戴煦數(shù) tan x = ( Dn / (2n-1)!) x2n-1 . 歐拉數(shù) secx = ( En

33、/ 2n!) x2n Dn 1， 2，16，272，7936，353792， (可惜不懂微積分，沒有用泰勒公式）,4,4,79,例7。 線性組合與通解（項武義）,孫子算經(jīng)中國剩余定理 同余式組：x = b1 (mod m1), x = b2 (mod m2) x = b3 (mod m3) 可以歸結(jié)為 b1 b2 b3 為（1，0，0）， （0，1，0）（0，0，1）時的特解， 然后可以用系數(shù)乘特解的線性組合得到通解。,4,4,80,例8。 偉大的期望值,中國的麻將為什么不能產(chǎn)生概率論？ 概率是一定會有的。 數(shù)學(xué)期望才是催生理性思考的問題 有一筆賭金， 甲、乙兩人競賭， 輸贏的概率各為1/2，

34、 以先累計達(dá)到5盤勝利者獲得這筆賭金。在進(jìn)行過程中， 因故突然終止。 此時， 甲贏了4局， 乙贏了3局。 問這筆賭金該如何分配才合理？ 4/7 和 3/7 比較合理 ？,4,4,81,例9 戰(zhàn)后： 1948年的數(shù)學(xué)地圖,1948： 美國仙農(nóng)發(fā)表信息的數(shù)學(xué)理論 1948：維納發(fā)表控制論。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？ 1948： von Neuman 計算機方案形成 中國缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像,4,4,82,例10。1970年走出布爾巴基的光環(huán),布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義 沖破“函數(shù)論”王國 用“代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”統(tǒng)一數(shù)學(xué)。 集合論、測度論、李群論、抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分?融為一體。 不能包括微分幾何

35、、數(shù)論、概率統(tǒng)計、計算數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué) 1950年。吳文俊在科學(xué)通報介紹布爾巴基。 無人喝彩。 1970年。 年輕數(shù)學(xué)家走出布爾巴基的影響 1980年。 中國大規(guī)模介紹布爾巴基學(xué)派。,4,4,83,函數(shù)內(nèi)容的文化點設(shè)計,4,4,84,1。函數(shù)的本質(zhì),函數(shù)從其本質(zhì)屬性來看，是一種變量之間的對應(yīng)的依賴關(guān)系。 數(shù)學(xué)是關(guān)系學(xué)，相等、不等、大小、全等、相似、對稱和等價等等都是關(guān)系。 最重要的兩個關(guān)系是：方程是未知數(shù)與已知數(shù)之間的等式關(guān)系，函數(shù)是變量間的依賴關(guān)系。 世界靠關(guān)系維持著，國際關(guān)系，國內(nèi)各階層的關(guān)系，上下級關(guān)系，同學(xué)關(guān)系，師生關(guān)系，社會關(guān)系，公共關(guān)系，而數(shù)學(xué)主要研究的是數(shù)量關(guān)系。 事物間都彼此聯(lián)系

36、著，看問題不要割裂關(guān)系。,4,4,85,2。 函數(shù)的定義,初中定義和高中定義的比較，各有所長，不是傳統(tǒng)與現(xiàn)代、高級與低級之分。 變量說(初中)，是原始定義，強調(diào)變量的依賴關(guān)系，生動直觀，是宏觀的、動態(tài)的。 對應(yīng)說(高中)，是近代定義，強調(diào)具體的對應(yīng)關(guān)系，細(xì)致入微，是微觀的、靜態(tài)的。 看問題的兩種視角：從政治看，全局與局部；從哲學(xué)看，唯物與唯心；從邏輯學(xué)看，歸納與演繹；從繪畫看，潑墨與工筆；從物理學(xué)看，原子與天體；從光學(xué)看，顯微與放大。,4,4,86,3。函數(shù)的名稱,函數(shù)function一語，起用于公元1692年，最早見自德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲的著作。記號f（x）則是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于公元1724年首次使用的。 英文function一詞，譯為函數(shù)，始于1859年，意為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)?！笔滓娪谇宕鷶?shù)學(xué)家李善蘭(18111882)與英國人偉列亞力合譯的美國數(shù)學(xué)家羅密士E. Loomis，1811-1899的代微積拾級(1859)。 此書傳至日本，成為當(dāng)時日本了解微積分的主要著作。函數(shù)一詞隨為日本沿用。日本后來限制使用漢字的數(shù)量?！昂钡娜毡景l(fā)音與“關(guān)”類似，所以現(xiàn)在日本使用“關(guān)數(shù)”一詞。十九世紀(jì)七十年代，日本還在向中國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但是1892年甲午戰(zhàn)爭之后，中國派留學(xué)生到日本學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。數(shù)學(xué)的盛衰與國力的強弱有關(guān)