M04N2007-數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.ppt

1、第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售 4.2 自來水輸送與貨機裝運 4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購 4.4 接力隊選拔和選課策略 4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修 4.6 鋼管和易拉罐下料,數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,實際問題中 的優(yōu)化模型,x決策變量,f(x)目標(biāo)函數(shù),gi(x)0約束條件,多元函數(shù)條件極值,決策變量個數(shù)n和 約束條件個數(shù)m較大,最優(yōu)解在可行域 的邊界上取得,數(shù)學(xué)規(guī)劃,線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 整數(shù)規(guī)劃,重點在模型的建立和結(jié)果的分析,企業(yè)生產(chǎn)計劃,4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售,空間層次,工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；,車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、

2、工藝流程、資源約束及費用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計劃.,時間層次,若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計劃.,例1 加工奶制品的生產(chǎn)計劃,50桶牛奶,時間480小時,至多加工100公斤A1,制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大,35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?,可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?,A1的獲利增加到 30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？,每天：,問題,x1桶牛奶生產(chǎn)A1,x2桶牛奶生產(chǎn)A2,獲利 243x1,獲利 164 x2,原料供應(yīng),勞動時間,加工能力,決策變量,目標(biāo)函數(shù),每天獲利,約束條件,非負(fù)約

3、束,線性規(guī)劃模型(LP),時間480小時,至多加工100公斤A1,基本模型,模型分析與假設(shè),比例性,可加性,連續(xù)性,xi對目標(biāo)函數(shù)的“貢獻”與xi取值成正比,xi對約束條件的“貢獻”與xi取值成正比,xi對目標(biāo)函數(shù)的“貢獻”與xj取值無關(guān),xi對約束條件的“貢獻”與xj取值無關(guān),xi取值連續(xù),A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),每桶牛奶加工A1,A2的數(shù)量, 時間是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),A1,A2每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),每桶牛奶加工A1,A2的數(shù)量,時間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實數(shù),線性規(guī)劃模型,模型求解,圖解法,約束條件,目標(biāo)函數(shù),z=c (常

4、數(shù)) 等值線,在B(20,30)點得到最優(yōu)解,目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù),可行域為直線段圍成的凸多邊形,目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線,最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。,模型求解,軟件實現(xiàn),LINDO 6.1,max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3x1100 end,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

5、2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?,No,20桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元。,結(jié)果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.0

6、00000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3x1100 end,三種資源,“資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）,結(jié)果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL P

7、RICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量,影子價格,35元可買到1桶牛奶，要買嗎?,35 48, 應(yīng)該買！,聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元?,2元！,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000

8、000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,最優(yōu)解不變時目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍,DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?,Yes,x1系數(shù)范圍(64,96),x2系數(shù)

9、范圍(48,72),A1獲利增加到 30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃?,x1系數(shù)由24 3=72增加為303=90，在允許范圍內(nèi),不變！,(約束條件不變),結(jié)果解釋,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRE

10、NT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍,原料最多增加10,時間最多增加53,35元可買到1桶牛奶, 每天最多買多少?,最多買10桶!,(目標(biāo)函數(shù)不變),例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計劃,在例1基礎(chǔ)上深加工,制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大,30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小時時間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？,5

11、0桶牛奶, 480小時,至多100公斤A1,B1，B2的獲利經(jīng)常有10%的波動，對計劃有無影響？,出售x1 kg A1, x2 kg A2，,x3 kg B1, x4 kg B2,原料供應(yīng),勞動時間,加工能力,決策變量,目標(biāo)函數(shù),利潤,約束條件,非負(fù)約束,x5 kg A1加工B1， x6 kg A2加工B2,附加約束,基本模型,模型求解,軟件實現(xiàn),LINDO 6.1,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.

12、200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED C

13、OST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2,結(jié)果解釋,每天

14、銷售168 kgA2和19.2 kgB1， 利潤3460.8（元）,8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2， 將得到的24kgA1全部加工成B1,除加工能力外均為緊約束,結(jié)果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR S

15、URPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000,增加1桶牛奶使利潤增長3.1612=37.92,增加1小時時間使利潤增長3.26,30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小時時間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？,投資150元增加5桶牛奶,可賺回189.6元。(大于增加時間的利潤增長),結(jié)果解釋,B1,B2的獲利有10%的波動，對計劃有無影響,RANGES IN WHICH THE BASI

16、S IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY ,B1獲利下降10%，超出

17、X3 系數(shù)允許范圍,B2獲利上升10%，超出X4 系數(shù)允許范圍,波動對計劃有影響,生產(chǎn)計劃應(yīng)重新制訂：如將x3的系數(shù)改為39.6計算，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果有很大變化。,奶制品的生產(chǎn)與銷售,由于產(chǎn)品利潤、加工時間等均為常數(shù)，可建立線性規(guī)劃模型.,線性規(guī)劃模型的三要素：決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件.,用LINDO求解，輸出豐富，利用影子價格和靈敏性分析可對結(jié)果做進一步研究.,建模時盡可能利用原始的數(shù)據(jù)信息，把盡量多的計算留給計算機去做（分析例2的建模）.,4.2 自來水輸送與貨機裝運,生產(chǎn)、生活物資從若干供應(yīng)點運送到一些需求點，怎樣安排輸送方案使運費最小，或利潤最大?,運輸問題,各種類型的貨物裝箱，由于受體

18、積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少?,其他費用:450元/千噸,應(yīng)如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？,若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？,例1 自來水輸送,收入：900元/千噸,支出,總供水量：160,確定送水方案使利潤最大,問題分析, 總需求量：120+180=300,總收入900160=144,000(元),收入：900元/千噸,其他費用:450元/千噸,支出,引水管理費,其他支出450160=72,000(元),供應(yīng)限制,約束條件,需求限制,線性規(guī)劃模型(LP),目標(biāo)函數(shù),水庫i 向j 區(qū)的日供水量為 xij（x34=0）,決策變量,模型建立,確定3

19、個水庫向4個小區(qū)的供水量,模型求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 24400.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 30.000000 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.0000

20、00 10.000000 X33 10.000000 0.000000,利潤=總收入-其它費用-引水管理費=144000-72000-24400 = 47600（元）,引水管理費 24400(元),目標(biāo)函數(shù),總供水量(320) 總需求量(300),每個水庫最大供水量都提高一倍,利潤 = 收入(900) 其它費用(450) 引水管理費,供應(yīng)限制,B, C 類似處理,問題討論,確定送水方案使利潤最大,需求約束可以不變,求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000

21、X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000,運輸問題,總利潤 88700（元）,供需平衡或不平衡,如何裝運，使本次飛行獲利最大？,三個貨艙最大載重(噸),最大容積(米3),例2 貨機

22、裝運,三個貨艙中實際載重必須與其最大載重成比例.,飛機平衡,決策變量,xij-第i 種貨物裝入第j 個貨艙的重量(噸） i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分別代表前、中、后倉),模型假設(shè),每種貨物可以分割到任意?。?貨機裝運,每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；,多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；,所給出的數(shù)據(jù)都是精確的，沒有誤差.,模型建立,貨艙容積,目標(biāo)函數(shù)(利潤),約束條件,貨機裝運,模型建立,貨艙重量,xij-第i 種貨物裝入第j 個貨艙的重量,約束條件,平衡要求,貨物供應(yīng),貨機裝運,模型建立,xij-第i 種貨物裝入第j 個貨艙的重量,OBJECTIVE FUNCTION

23、VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X

24、43 0.000000 650.000000,貨物2：前倉10,后倉5； 貨物3: 中倉13, 后倉3；貨物4: 中倉3。,貨機裝運,模型求解,最大利潤約121516元,貨物供應(yīng)點 貨艙需求點,裝載平衡要求,如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)80輛， 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應(yīng)作何改變？,例1 汽車廠生產(chǎn)計劃,汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量.,制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大.,4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購,設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3,汽車廠生產(chǎn)計劃,模型建立,線性規(guī)劃模型(LP),模型求解,3）模型中增加條件：

25、x1, x2, x3 均為整數(shù)，重新求解.,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226,結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？,1）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標(biāo)函數(shù)值 z=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大.,2）試探：如

26、取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解.,但必須檢驗它們是否滿足約束條件. 為什么？,IP可用LINDO直接求解,整數(shù)規(guī)劃(Integer Programming,簡記IP),“gin 3”表示“前3個變量為整數(shù)”，等價于： gin x1 gin x2 gin x3,IP 的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z=632,max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3600 280 x1+250 x2+400 x360000 end gin 3,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.

27、0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000,模型求解,IP 結(jié)果輸出,其中3個子模型應(yīng)去掉，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：,方法1：分解為8個LP子模型,汽車廠生產(chǎn)計劃,若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃.,x1,x2, x3=0 或 80,x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值z=610,LINDO中對0-1變量的限定： int y1 int y2 int y3,方法2：引入0-1變量，化為整

28、數(shù)規(guī)劃,M為大的正數(shù),可取1000,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000,若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃.,x1=0 或 80,最優(yōu)解同前,NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解(如LINGO, MATLAB)，但是其結(jié)果常依賴于初值的

29、選擇.,方法3：化為非線性規(guī)劃,非線性規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡記NLP）,實踐表明，本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果.,若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃.,x1=0 或 80,汽車廠生產(chǎn)計劃,決策變量為整數(shù), 建立整數(shù)規(guī)劃模型.,求解整數(shù)規(guī)劃比線性規(guī)劃困難得多 (即便用數(shù)學(xué)軟件) .,當(dāng)整數(shù)變量取值很大時, 可作為連續(xù)變量處理, 問題簡化為線性規(guī)劃.,對于類似于“x=0 或 80”這樣的條件，通常引入0-1變量處理，盡量不用非線性規(guī)劃.,應(yīng)如何安排原油的采購和加工 ？,例2 原油采購與加工,市場上可買到不超過1500噸的

30、原油A： 購買量不超過500噸時的單價為10000元/噸； 購買量超過500噸但不超過1000噸時，超過500噸的 部分8000元/噸； 購買量超過1000噸時，超過1000噸的部分6000元/噸.,決策變量,目標(biāo)函數(shù),問題分析,利潤：銷售汽油的收入購買原油A的支出. 難點：原油A的購價與購買量的關(guān)系較復(fù)雜.,原油A的購買量,原油A, B生產(chǎn)汽油甲,乙的數(shù)量,c(x) 購買原油A的支出,利潤(千元),c(x)如何表述？,原油供應(yīng),約束條件,x 500噸單價為10千元/噸； 500噸 x 1000噸，超過500噸的8千元/噸； 1000噸 x 1500噸，超過1000噸的6千元/噸.,目標(biāo)函數(shù),

31、目標(biāo)函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解.,汽油含原油A的比例限制,約束條件,x1 , x2 , x3 以價格10, 8, 6(千元/噸)采購A的噸數(shù),目標(biāo)函數(shù),只有當(dāng)以10千元/噸的價格購買x1=500(噸)時，才能以8千元/噸的價格購買x2,方法1,非線性規(guī)劃模型，可以用LINGO求解,模型求解,x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3,500噸 x 1000噸，超過500噸的8千元/噸,x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3

32、,類似地有,方法1：LINGO求解,Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3; x11+x12 0; 2*x12 - 3*x22 0; x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 0; x11 0; x12 0; x21 0; x22 0; x1 0; x2 0; x3 0; end,Objective value: 4800.000 Variable Value Reduced Cost X11 500.0000 0.000000

33、0E+00 X21 500.0000 0.0000000E+00 X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00,LINGO得到的是局部最優(yōu)解,還能得到更好的解嗎？,用庫存的500噸原油A、500噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油A，利潤為4,800千元。,y1, y2 , y3=1 以價格10, 8,

34、 6(千元/噸)采購A,增加約束,方法2,0-1線性規(guī)劃模型, 可用LINDO求解.,y1,y2,y3 =0或1,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0

35、.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000,購買1000噸原油A，與庫存的500噸原油A和1000噸原油B一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤為5,000千元 。,x1 , x2 , x3 以價格10, 8, 6(千元/噸)采購A的噸數(shù),優(yōu)于方法1的結(jié)果,引入0-1變量,b1 b2 b3 b4,方法3,b1 xb2，x= z1b1+z2b2， z1+z2=1，z1, z20, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).,b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c

36、(x)= z2c(b2)+z3c(b3).,b3 x b4，x= z3b3+z4b4， z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4).,直接處理處理分段線性函數(shù)c(x),IP模型，LINDO求解，得到的結(jié)果與方法2相同.,bkxbk+1yk=1,否則,yk=0,方法3,bkxbk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1 zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).,對于k=1,2,3,方法3: 直接處理分段線性函數(shù)，方法更具一般性.,分段函數(shù)無法直接用非線性規(guī)劃方法或軟件求解.,原油采購與加工,方法

37、1: 增加約束化為非線性規(guī)劃,可以用LINGO 求解, 但得到的是局部最優(yōu)解.,方法2: 引入0-1變量, 化為線性規(guī)劃模型, 可用LINDO求解.,分派問題,4.4 接力隊選拔和選課策略,若干項任務(wù)分給一些候選人來完成，每人的專長不同,完成每項任務(wù)取得的效益或需要的資源不同，如何分派任務(wù)使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少?,若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各個策略之間有相互制約關(guān)系，如何在滿足一定條件下作出抉擇，使得收益最大或成本最小?,討論:丁的蛙泳成績退步到115”2；戊的自由泳成績進步到57”5, 組成接力隊的方案是否應(yīng)該調(diào)整？,如何選拔隊員組成4100米混

38、合泳接力隊?,例1 混合泳接力隊的選拔,5名候選人的百米成績,窮舉法：組成接力隊的方案共有5!=120種.,目標(biāo)函數(shù),若選擇隊員i參加泳姿j 的比賽，記xij=1, 否則記xij=0,0-1規(guī)劃模型,cij(秒)隊員i 第j 種泳姿的百米成績,約束條件,每人最多入選泳姿之一,每種泳姿有且只有1人,模型求解,最優(yōu)解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它變量為0; 成績?yōu)?53.2(秒)=413”2,MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x1

39、3+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20,輸入LINDO求解,甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳.,丁蛙泳c43 = 69.675.2 (秒)，戊自由泳c54= 62.4 57.5 (秒), 方案是否調(diào)整？,敏感性分析？,新方案:乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳、戊 自由泳,IP一般沒有與LP相類似的理論，LINDO輸出的敏感性分析結(jié)果通常是沒有意義的.,最優(yōu)解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成績?yōu)?17”7,c43, c54 的新數(shù)據(jù)重新輸

40、入模型，用LINDO求解,原分配方案: 甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳.,討論,混合泳接力隊的選拔,指派(Assignment)問題：有若干項任務(wù), 每項任務(wù)必有且只能有一人承擔(dān)，每人只能承擔(dān)一項，不同人員承擔(dān)不同任務(wù)的效益(或成本)不同，怎樣分派各項任務(wù)使總效益最大(或總成本最小)?,人員數(shù)量與任務(wù)數(shù)量相等,人員數(shù)量大于任務(wù)數(shù)量(本例),人員數(shù)量小于任務(wù)數(shù)量 ?,建立0-1規(guī)劃模型是常用方法,為了選修課程門數(shù)最少，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程 ？,例2 選課策略,要求至少選兩門數(shù)學(xué)課、三門運籌學(xué)課和兩門計算機課,選修課程最少，且學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程 ？,0-1規(guī)劃模型,決策變量,目標(biāo)函數(shù),

41、xi=1 選修課號i 的課程（xi=0 不選）,選修課程總數(shù)最少,約束條件,最少2門數(shù)學(xué)課，3門運籌學(xué)課， 2門計算機課.,先修課程要求,最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它為0；6門課程，總學(xué)分21.,0-1規(guī)劃模型,約束條件,x3=1必有x1 = x2 =1,模型求解（LINDO）,學(xué)分最多,多目標(biāo)優(yōu)化的處理方法：化成單目標(biāo)優(yōu)化。,兩目標(biāo)(多目標(biāo))規(guī)劃,討論：選修課程最少，學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？,課程最少,以學(xué)分最多為目標(biāo),不管課程多少.,以課程最少為目標(biāo),不管學(xué)分多少.,多目標(biāo)規(guī)劃,在課程最少的前提下以學(xué)分最多為目標(biāo).,最優(yōu)解： x1 =

42、x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它為0；總學(xué)分由21增至22.,注意：最優(yōu)解不唯一！,LINDO不能告訴優(yōu)化問題的解是否唯一.,可將x9 =1 易為x6 =1,多目標(biāo)規(guī)劃,對學(xué)分?jǐn)?shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個目標(biāo)，如三七開.,最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它為0；總學(xué)分28.,討論與思考,最優(yōu)解與1=0，2=1的結(jié)果相同學(xué)分最多.,多目標(biāo)規(guī)劃,最優(yōu)解與1=1，2=0的結(jié)果相同課程最少.,選 課 策 略,用0-1變量表示策略選擇是常用的方法,“要選甲 (x1)必選乙 (x2)” 可用x1 x2描述.,“要選甲 (x

43、1)必不選乙 (x2)” 怎樣描述?,“甲乙二人至多選一人” 怎樣描述?,“甲乙二人至少選一人” 怎樣描述?,雙(多)目標(biāo)規(guī)劃的處理方法,加權(quán)組合成一個新目標(biāo), 化為單目標(biāo)規(guī)劃.,一個目標(biāo)作為約束, 解另一個目標(biāo)的規(guī)劃.,問題1 公司應(yīng)該與哪些候選企業(yè)建立代理關(guān)系 ？,例3 銷售代理的開發(fā)與中斷,公司未來5年的業(yè)務(wù)量分別為400，500，600，700和800,問題2 若目前全部建立了代理關(guān)系，應(yīng)如何進行調(diào)整 ？,問題的建模,決策變量,目標(biāo)函數(shù),xit=1 在第t年初(首次)與代理i建立代理關(guān)系 xit=0 否,總費用（建立代理 運行費用）最小,公司可在任一年開始與代理建立代理關(guān)系. 代理關(guān)系

44、一旦建立，將長期保持.,假 設(shè),建立代理,運行費用,問題的建模,約束條件,公司每年的業(yè)務(wù)量必須能夠由足夠的代理承擔(dān),第1年,第2年,第3年,第4年,第5年,問題的求解,LINDO求解結(jié)果,x11= x21= x44=1(其他變量為0)，最小總費用313.5萬元,公司應(yīng)在第1年初與代理1、2建立代理關(guān)系; 在第4年初與代理4建立代理關(guān)系.,問題2的建模,決策變量,目標(biāo)函數(shù),xit=1 第t年代理i從事代理業(yè)務(wù)； xit=0 否,總費用（運行費+中斷費恢復(fù)費）最小,公司目前已與所有代理建立代理關(guān)系. 公司每年初可中斷或恢復(fù)代理關(guān)系.,假 設(shè),yit=1 第t年與代理i中斷代理關(guān)系； yit=0 否

45、,zit=1 第t年與代理i恢復(fù)代理關(guān)系； zit=0 否,問題2的建模,約束條件,業(yè)務(wù)量約束、業(yè)務(wù)中斷約束、業(yè)務(wù)恢復(fù)約束,業(yè)務(wù)量約束：每年公司的業(yè)務(wù)量由足夠的代理承擔(dān),業(yè)務(wù)中斷約束：某年運行，下一年不運行，則需中斷,如果xit=1而xi,t+1=0， 則yi,t+1=1,業(yè)務(wù)恢復(fù)約束：某年不運行，下一年運行，則需恢復(fù),如果xit=0而xi,t+1=1， 則zi,t+1=1,問題2的求解,模型分析,xit的值：x11= x12= x13= x14= x15= x23= x24= x25= x41= x42= x43= x44= x45=1 (其他為0); 最小總費用86.5萬元.,公司應(yīng)在第1

46、年初臨時中斷與代理2、3的代理關(guān)系，而在第3年初重新恢復(fù)與代理2的代理關(guān)系.,LINDO求解結(jié)果,可只要求xit為0-1變量，最優(yōu)解中yit (zit)自然是0-1變量,設(shè)法減少整數(shù)變量數(shù)目,4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修,單階段生產(chǎn)計劃,多階段生產(chǎn)計劃,生產(chǎn)批量問題,企業(yè)生產(chǎn)計劃,考慮與產(chǎn)量無關(guān)的固定費用.,給優(yōu)化模型求解帶來新的困難.,安排生產(chǎn)計劃, 滿足每周的需求, 使4周總費用最小.,存貯費:每周每千箱飲料 0.2 (千元).,例1 飲料廠的生產(chǎn)與檢修計劃,在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周?,某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本

47、,問題分析,除第4周外每周的生產(chǎn)能力超過每周的需求； 生產(chǎn)成本逐周上升； 前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些.,飲料廠在第1周開始時沒有庫存； 從費用最小考慮, 第4周末不能有庫存； 周末有庫存時需支出一周的存貯費； 每周末的庫存量等于下周初的庫存量.,模型假設(shè),目標(biāo)函數(shù),約束條件,產(chǎn)量、庫存與需求平衡,決策變量,能力限制,非負(fù)限制,模型建立,x1 x4：第14周的生產(chǎn)量,y1 y3：第13周末庫存量,存貯費:0.2(千元/周千箱),模型求解,4周生產(chǎn)計劃的總費用為528 (千元),最優(yōu)解： x1 x4：15，40，25，20； y1 y3： 0，15，5 .,LINDO求解,討論,增加庫存量(y1 y3)為

48、決策變量使模型清晰并便于檢查.,檢修計劃,0-1變量wt ：wt=1 檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）,在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修,占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力,能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周?,檢修安排在任一周均可,約束條件,能力限制,產(chǎn)量、庫存與需求平衡條件不變,增加約束條件：檢修1次,檢修計劃,目標(biāo)函數(shù)不變,0-1變量 wt=1 檢修安排在第t周,LINDO求解,總費用由528降為527(千元),檢修所導(dǎo)致的生產(chǎn)能力提高的作用, 需要更長的時間才能得到充分體現(xiàn) .,最優(yōu)解：w1=1, w2 , w3, w4=0; x1 x4：15,45,15,25； y1 y3：0,20,0

49、 .,討論,引入0-1變量表示檢修,例2 飲料的生產(chǎn)批量問題,安排生產(chǎn)計劃, 滿足每周的需求, 使4周總費用最小.,存貯費:每周每千箱飲料 0.2 (千元) (與例1同) .,飲料廠使用同一條生產(chǎn)線輪流生產(chǎn)多種飲料。 若某周開工生產(chǎn)某種飲料, 需支出生產(chǎn)準(zhǔn)備費8千元.,某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本(與例1同),ct 時段t 生產(chǎn)費用(元/件);ht 時段t (末)存貯費(元/件) st 時段t 生產(chǎn)準(zhǔn)備費(元)；dt 時段t 市場需求(件)； Mt 時段t 生產(chǎn)能力(件).,假設(shè)初始庫存為0.,制訂生產(chǎn)計劃, 滿足需求并使T個時段的總費用最小.,決策變量,xt 時段t 生產(chǎn)量；yt 時

50、段t (末)存貯量；,問題分析,與例1的主要差別:,需考慮與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)的費用生產(chǎn)準(zhǔn)備費,模型建立,wt =1 時段t 開工生產(chǎn) (wt =0 不開工).,混合0-1規(guī)劃模型,目標(biāo)函數(shù),約束條件,模型建立,ct 生產(chǎn)費,ht 存貯費,st 準(zhǔn)備費,dt 需求量, Mt 生產(chǎn)能力,xt 生產(chǎn)量,yt 存貯量,wt 開工生產(chǎn)0-1變量., 滿足需求,既含可變費用(生產(chǎn)成本、存貯費)又含固定費用(生產(chǎn)準(zhǔn)備費)的多階段生產(chǎn)計劃問題.,最優(yōu)解：x1 x4：15，40，45，0；總費用：554.0(千元),將所給參數(shù)代入模型，用LINDO求解,模型求解,與例1的最優(yōu)解： x1 x4：15,45,15,25

51、 的區(qū)別!,生產(chǎn)批量(Lot-sizing)問題,關(guān)鍵是引入0-1變量wt表示時段t是否開工生產(chǎn).,生產(chǎn)中通過切割、剪裁、沖壓等手段，將原材料加工成規(guī)定大小的成材.,6 鋼管和易拉罐下料,原料下料問題,優(yōu)化問題: 按照工藝要求，確定下料方案，使所用材料最省，或利潤最大.,問題1. 如何下料最節(jié)省 ?,例1 鋼管下料,問題2. 客戶增加需求：,節(jié)省的標(biāo)準(zhǔn)是什么？,由于采用不同切割模式太多, 會增加生產(chǎn)和管理成本,規(guī)定切割模式不能超過3種. 如何下料最節(jié)省？,按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合,如:,切割模式,合理切割模式的余料應(yīng)小于客戶需要鋼管的最小尺寸.,鋼管下料,為滿足客戶需要，

52、按照哪些種合理模式切割，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節(jié)?。?合理切割模式,2. 所用原料鋼管總根數(shù)最少 .,鋼管下料問題1,節(jié)省的 兩種標(biāo)準(zhǔn),1. 原料鋼管剩余總余量最小 .,xi 按第i 種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,7),約束,滿足需求,決策變量,目標(biāo)1（總余量）,按模式2切割12根,按模式5切割15根,共27根,余料27米.,最優(yōu)解：x2=12, x5=15, 其余為0； 最優(yōu)值：27.,整數(shù)約束： xi 為整數(shù),目標(biāo)2（總根數(shù)）,鋼管下料問題1,約束條件不變,最優(yōu)解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余為0； 最優(yōu)值：25.,xi 為整數(shù),按模式2切割15根，按模式5切割

53、5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米 .,目標(biāo)2切割減少了2根, 但余料增加8米, 為什么?,與目標(biāo)1的結(jié)果“共切割27根，余料27米” 相比.,若余料沒有用處, 通常以總根數(shù)最少為目標(biāo).,鋼管下料問題1,目標(biāo)1(總余量) x2=12, x5=15, 共27根,余27米,目標(biāo)2(總根數(shù)) x2=15, x5=5, x7=5, 共25根, 余35米,按照目標(biāo)1比需求多生產(chǎn)1根4米、7根6米, 共46米, 正好等于2根原料(38米)再加8米.,原料鋼管:每根19米,若多生產(chǎn)的也視為余料, 則總余量最小等價于總根數(shù)最少.,鋼管下料問題2,對大規(guī)模問題，用模型的約束條件界定合理模式.,增加一種

54、需求：5米10根；切割模式不超過3種.,現(xiàn)有4種需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚舉法確定合理切割模式，過于復(fù)雜.,決策變量,xi 按第i 種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,3).,r1i, r2i, r3i, r4i 第i 種切割模式下，每根原料鋼管生產(chǎn)4米、5米、6米和8米長的鋼管的數(shù)量.,滿足需求,模式合理：每根余料不超過3米,整數(shù)非線性規(guī)劃模型,鋼管下料問題2,目標(biāo)函數(shù)（總根數(shù)）,約束條件,整數(shù)約束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)為整數(shù),增加約束，縮小可行域，便于求解.,原料鋼管總根數(shù)下界：,特殊生產(chǎn)計劃：對每根原料鋼管 模式1：切割成4根4米鋼管，需13根； 模式2：切割成1根5米和2根6米鋼管，需10根； 模式3：