D1_2數(shù)列的極限.ppt

1、,第一章,二 、收斂數(shù)列的性質(zhì),三 、極限存在準(zhǔn)則,一、數(shù)列極限的定義,第二節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)列的極限,數(shù)學(xué)語言描述:,一 、數(shù)列極限的定義,引例.,設(shè)有半徑為 r 的圓 ,逼近圓面積 S .,如圖所示 , 可知,當(dāng) n 無限增大時,無限逼近 S (劉徽割圓術(shù)) ,當(dāng) n N 時,用其內(nèi)接正 n 邊形的面積,總有,劉徽 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義:,自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作,或,稱為通項(一般項) .,若數(shù)列,及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,當(dāng) n N 時,總有,記作,此時也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .,幾何解釋 :,即,或,則稱該數(shù)列,的極限為 a

2、 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,趨勢不定,收 斂,發(fā) 散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 已知,證明數(shù)列,的極限為1.,證:,欲使,即,只要,因此 , 取,則當(dāng),時, 就有,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 已知,證明,證:,欲使,只要,即,取,則當(dāng),時, 就有,故,故也可取,也可由,N 與 有關(guān), 但不唯一.,不一定取最小的 N .,說明:,取,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 設(shè),證明等比數(shù)列,證:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 則當(dāng) n N 時,就有,故,的極限為 0 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),證

3、: 用反證法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,從而,同理, 因,故存在 N2 ,使當(dāng) n N2 時, 有,1. 收斂數(shù)列的極限唯一.,使當(dāng) n N1 時,假設(shè),從而,矛盾.,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.,則當(dāng) n N 時,故假設(shè)不真 !,滿足的不等式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 證明數(shù)列,是發(fā)散的.,證: 用反證法.,假設(shè)數(shù)列,收斂 ,則有唯一極限 a 存在 .,取,則存在 N ,但因,交替取值 1 與1 ,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在,長度為 1 的開區(qū)間,使當(dāng) n N 時 , 有,因此該數(shù)列發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 收斂數(shù)列一定有界.,證: 設(shè),取,

4、則,當(dāng),時,從而有,取,則有,由此證明收斂數(shù)列必有界.,說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立 .,例如,雖有界但不收斂 .,有,數(shù)列,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 收斂數(shù)列的保號性.,若,且,時, 有,證:,對 a 0 ,取,推論:,若數(shù)列從某項起,(用反證法證明),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*,4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .,證: 設(shè)數(shù)列,是數(shù)列,的任一子數(shù)列 .,若,則,當(dāng),時, 有,現(xiàn)取正整數(shù) K , 使,于是當(dāng),時, 有,從而有,由此證明,*,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、極限存在準(zhǔn)則,由此性質(zhì)可知 ,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極,限 ,例如

5、，,發(fā)散 !,夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則 .,則原數(shù)列一定發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,1. 夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則1) (P49),證:,由條件 (2) ,當(dāng),時,當(dāng),時,令,則當(dāng),時, 有,由條件 (1),即,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 證明,證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .,且,由,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則2 ) ( P52 ),( 證明略 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 設(shè),證明數(shù)列,極限存在 . (P52P54),證: 利用二項式公式 , 有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,

6、大,大,正,又,比較可知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列,記此極限為 e ,e 為無理數(shù) , 其值為,即,有極限 .,原題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又,*3. 柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理) (P55),數(shù)列,極限存在的充要條件是:,存在正整數(shù) N ,使當(dāng),時,證: “必要性”.,設(shè),則,時, 有,使當(dāng),因此,“充分性” 證明從略 .,有,柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用,2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):,唯一性 ; 有界性 ; 保號性;,任一子數(shù)列收斂于同一極限,3. 極限存在準(zhǔn)則:,夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則

7、; 柯西準(zhǔn)則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 如何判斷極限不存在?,方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;,方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.,2. 已知, 求,時,下述作法是否正確? 說明理由.,設(shè),由遞推式兩邊取極限得,不對!,此處,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P30 3 (2) , (3) , 4 , 6 P56 4 (1) , (3),4 (3) 提示:,可用數(shù)學(xué)歸納法證,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故極限存在，,備用題,1.設(shè), 且,求,解：,設(shè),則由遞推公式有,數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,故,利用極限存在準(zhǔn)則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

8、,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè),證:,顯然,證明下述數(shù)列有極限 .,即,單調(diào)增,又,存在,“拆項相消” 法,劉徽(約225 295年),我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.,他撰寫的重,差對九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評,注,指出并糾正了其中的錯誤 ,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué),理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) .,他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率,“ 割之彌細(xì) , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確”的重要,極限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎