二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)

1、北師大版九年級下冊第二章二次函數(shù),2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第二課時）,你能用配方的方法把y=3x2-6x+5變形成y=3(x-1)2+2的形式嗎?,二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象,二次函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象是什么形狀?它與我們已經(jīng)作過的二次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系?,駛向勝利的彼岸,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象,由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我們先作二次函數(shù)y=3(x-1)2的圖象,比較函數(shù)y=3x2 與y=3(x-1)2的圖象,駛向勝利的彼岸,(2)在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象,完成下表,并比較

2、3x2和3(x-1)2的值,它們之間有什么關(guān)系?,駛向勝利的彼岸,觀察圖象,回答問題,(3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,(4)x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？,圖象是軸對稱圖形 對稱軸是平行于 y軸的直線:x=1.,頂點(diǎn)坐標(biāo) 是點(diǎn)(1,0).,二次函數(shù)y=3(x-1)2 與y=3x2的圖象形狀 相同,可以看作是拋 物線y=3x2整體沿x軸 向右平移了1 個單位,(3)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是

3、軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,二次項(xiàng)系數(shù)相同 a0,開口都向上.,想一想,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,會在什么位置?,在對稱軸(直線:x=1)左側(cè) (即x1時),函數(shù)y=3(x-1)2 的值隨x的增大而減少,.,頂點(diǎn)是最低點(diǎn),函數(shù) 有最小值.當(dāng)x=1時, 最小值是0.,二次函數(shù)y=3(x-1)2 與y=3x2的增減性類似.,(4)x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？,在對稱軸(直線:x=1)左側(cè) (即x1時),函數(shù)y=3(x-1)2 的值隨x的增大而增大,.,想一想,在同一

4、坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,它的增減性會是什么樣?,駛向勝利的彼岸,真知 從實(shí)踐走來,1.在上面的坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象.它與二次函數(shù)y=3x2和y=3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,2.x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少？,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的圖象,完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它們之間有什么關(guān)系?,駛向勝利的彼岸,函數(shù)y=a(x-h)

5、2(a0)的圖象和性質(zhì),圖象是軸對稱圖形. 對稱軸是平行于 y軸的直線:x= -1.,頂點(diǎn)坐標(biāo) 是點(diǎn)(-1,0).,二次函數(shù)y=3(x+1)2 與y=3x2的圖象形狀 相同,可以看作是拋 物線y=3x2整體沿x軸 向左平移了1 個單位.,1.函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與y=3x2和y=3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,二次項(xiàng)系數(shù)相同 a0,開口都向上.,想一想,二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象的增減性會怎樣?,在對稱軸(直線:x=-1)左側(cè) (即x-1時),函數(shù)y=3(x+1)2 的值隨x的增大而減少,.,頂點(diǎn)是最低點(diǎn),函數(shù) 有最小值.當(dāng)x=

6、-1時, 最小值是0.,二次函數(shù)y=3(x+1)2 與y=3x2的增減性類似.,2.x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時,函數(shù)y=3(x+1)2的值隨x的增大而減少？,在對稱軸(直線:x=-1)右側(cè) (即x-1時),函數(shù)y=3(x+1)2 的值隨x的增大而增大,.,猜一猜,函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象的位置和形狀. 請你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質(zhì).,2.拋物線y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),它的開口向下,并且向下無限伸展.,y,3.拋物線y=-3(x-1)2在對稱軸(x

7、=1)的左側(cè),當(dāng)x1時, y隨著x的增大而減小.當(dāng)x=1時,函數(shù)y的值最大(是0); 拋物線y=-3(x+1)2在對稱軸(x=-1)的左側(cè),當(dāng)x-1時, y隨著x的增大而減小.當(dāng)x=-1時,函數(shù)y的值最大(是0).,二次函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象,4.拋物線y=-3(x-1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸向右平移了1個單位;拋物線y=-3(x+1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸向左平移了1個單位.,X=-1,X=1,1.拋物線y=-3(x-1)2的頂點(diǎn)是(1,0);對稱軸是直線:x=1;拋物線y=-3(x+1)2的頂點(diǎn)是(-1,0);對稱軸是

8、直線:x=-1.,1.拋物線y=a(x-h)2的頂點(diǎn)是(h,0),對稱軸是平行于y軸的直線x=h.,3.當(dāng)a0時,在對稱軸(x=h)的左側(cè),y隨著x的增大而減小;在對稱軸(x=h)右側(cè),y隨著x的增大而增大;當(dāng)x=h時函數(shù)y的值最小(是0). 當(dāng)a0時,在對稱軸(x=h)的左側(cè),y隨著x的增大而增大;在對稱軸(x=h)的右側(cè),y隨著x增大而減小;當(dāng)x=h時,函數(shù)y的值最大(是0).,二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì),2.當(dāng)a0時,拋物線y=a(x-h)2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),它的開口向上,并且向上無限伸展; 當(dāng)a0時,拋物線y=a(x-h)2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),它的開口向下,并且向下

9、無限伸展.,X=h,X=h,4. 越大,開口越小, 越小,開口越大.,二次函數(shù)y=a(x-h)2 與y=ax2的圖象形狀 相同,可以看作是拋 物線y=ax2整體沿x軸 平移了 個單位(當(dāng)h0時,向右移 個單位;當(dāng)h0時,向左移 個單位)得到的.,二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=a(x-h)2 (a0),y=a(x-h)2 (a0),（h，0）,（h，0）,直線x=h,直線x=h,在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),在x軸的下方( 除頂點(diǎn)外),向上,向下,當(dāng)x=h時,最小值為0.,當(dāng)x=h時

10、,最大值為0.,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,我思，我進(jìn)步,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.,駛向勝利的彼岸,二次函數(shù)y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?作圖看一看,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.,完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它們之

11、間有何關(guān)系?,駛向勝利的彼岸,函數(shù)y=a(x-h)2+k(a0)的圖象和性質(zhì),對稱軸仍是平行于y軸的直 線(x=1);增減性與y=3x2類似.,頂點(diǎn)是(1,2).,二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的 圖象可以看作是拋物線 y=3x2先沿著x軸向右平移 1個單位,再沿直線x=1向 上平移2個單位后得到的.,二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象和拋物線y=3x,y=3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向上,當(dāng) X=1時有最小 值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x-1)2-2,會是什么樣?,X=1,對稱軸仍是平行于y軸的直線

12、(x=1);增減性與y=3x2類似.,頂點(diǎn)是(1,-2).,二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的 圖象可以看作是拋物線 y=3x2先沿著x軸向右平移 1個單位,再沿直線x=1向 下平移2個單位后得到的.,二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的圖象與拋物線y=3x2和y=3(x-1)2有何關(guān)系?它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向上, 當(dāng)x=1時y有 最小值:且 最小值= -2.,想一想,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?再作圖看一看,X=1,我思，我進(jìn)步,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=-3(x-1

13、)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和y=-3(x-1)2的圖象,駛向勝利的彼岸,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2和y=-3x,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們是軸對稱圖形嗎?它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?,對稱軸仍是平行于y軸的直線 (x=1);增減性與y= -3x2類似.,頂點(diǎn)分別是 (1,2)和(1,-2).,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與 y=-3(x-1)2+2的圖象可 以看作是拋物線y=-3x2 先沿著x軸向右平移1個 單位,再沿直線x=

14、1向上 (或向下)平移2個單位后 得到的.,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系? 它的開口方向,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向下, 當(dāng)x=1時y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,想一想,二次函數(shù)y=-3(x+1)2+2與y=-3(x+1)2-2的圖象和拋物線y=-3x,y=-3(x+1)2,y,X=1,對稱軸仍是平行于y軸的直線 (x=-1);增減性與y= -3x2類似.,頂點(diǎn)分別是 (-1,2)和(-1,-2).,二次函數(shù)y=-3(x+1)2+2與 y=-3(x+1)2-2的圖象可 以看作

15、是拋物線y=-3x2 先沿著x軸向左平移1個 單位,再沿直線x=-1向上 (或向下)平移2個單位后 得到的.,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系? 它的開口方向,對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?,開口向下, 當(dāng)x=-1時y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,先想一想,再總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì).,X=1,二次函數(shù)y=a(x-h)+k與=ax的關(guān)系,一般地,由y=ax的圖象便可得到二次函數(shù)y=a(x-h)+k的圖象:y=a(x-h)+k(a0) 的圖象可以看成y=ax的圖象先沿x軸整

16、體左(右)平移|h|個單位(當(dāng)h0時,向右平移;當(dāng)h0時向上平移;當(dāng)k0時,向下平移)得到的. 因此,二次函數(shù)y=a(x-h)+k的圖象是一條拋物線,它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)與a,h,k的值有關(guān).,二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（-h，k）,（-h，k）,直線x=h,直線x=h,由h和k的符號確定,由h和k的符號確定,向上,向下,當(dāng)x=h時,最小值為k.,當(dāng)x=h時,最大值為k.,在對稱軸的左側(cè),y隨著

17、x的增大而減小. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,悟出真諦,練出本事,1.指出下列函數(shù)圖象的開口方向?qū)ΨQ軸和頂點(diǎn)坐標(biāo):,2.(1)二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么? (2)二次函數(shù)y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關(guān)系? 對于二次函數(shù)y=3(x+1)2,當(dāng)x取哪些值時,y的值隨x值的增大而增大?當(dāng)x取哪些值時,y的值隨x值的增大而減小?二次函數(shù)y=3(x+1)2+4呢?,駛向勝利的彼岸,1.相同點(diǎn): (1)形狀相同(圖像都是拋物線,開口方向相同). (2)都是軸對稱圖形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0時, 開口向上,在對稱軸左側(cè),y都隨x的增大而減小,在對稱軸右側(cè),y都隨 x的增大而增大. a0時,開口向下,在對稱軸左側(cè),y都隨x的增大而增大,在對稱軸右