解三角形應(yīng)用舉例的知識點

1、準備方向應(yīng)該明確考什么如何測試我們可以利用正弦定理和余弦定理的知識和方法來解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。1.檢查正弦和余弦定理在解決與角度、方向、距離和測量相關(guān)的實際問題中的應(yīng)用。2.有選擇題、填空題和回答題，屬于中低年級的問題。歸納知識整合1.用正弦定理和余弦定理解決三角形的常見問題測量距離、高度、角度、計算面積、導(dǎo)航、物理等。2.實際應(yīng)用中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語含義圖示仰角和俯角在目標視線和水平視線之間的角度中，水平視線上方的目標視線稱為仰角，水平視線下方的目標視線稱為俯角方位角從某點的北行線順時針方向到目標方向線的水平角度稱為方位角。方位角的范圍是(0，360)方向角正北或正南

2、方向線與目標方向線形成的銳角通常表示為北(南)到東(西)的角度示例：(1)從北到東m:(2)南偏西n:傾角坡度和水平面之間的角度假設(shè)傾斜角為，斜率為I，那么I=tan 傾斜斜坡的垂直高度h與水平寬度l之比詢問 1。仰角、俯角和方位角有什么區(qū)別？有人認為這三個參考是不同的。仰角和俯角相對于水平線，而方位角相對于正北方向。2.如何使用方位角和方向角來確定一個點的位置？建議利用方位角或方向角以及目標與觀測點之間的距離來唯一確定點的位置。自測1.如果從a到b的仰角是，從b到a的俯角是，則和之間的關(guān)系是()A.B.=C.+=90 D.+=180分析：根據(jù)仰角和俯角的定義，選擇B表示=。2.兩個燈塔A和B

3、與海岸觀測站C之間的距離相等。燈塔甲在觀測站以南40度，燈塔乙在觀測站以南60度，那么燈塔甲在燈塔乙的()內(nèi)A.從北到東10 B .從北到西10C.東80度南80度西80度南分析：根據(jù)條件和數(shù)字，甲乙=40，乙丙=60，所以甲丙=30，乙丙=10，所以甲燈塔在乙燈塔以西80 .3.如圖所示，為了測量障礙物兩側(cè)的甲和乙之間的距離，給定以下四組數(shù)據(jù)，是()不能確定甲和乙之間的距離A.，a，b . b .，aC.a，b， D.，b分析：選擇甲，乙可以通過正弦定理得到，然后乙可以通過余弦定理確定。選項C可以由余弦定理決定。選項D與選項b相似.4.(課本練習改編)海上有三個小島。根據(jù)測量，甲和乙之間的距

4、離為10海里，BAC=60，ABC=75，因此乙和丙之間的距離為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：從正弦定理可知。獲得BC=5海里。答案：55.(課本練習改編)如圖所示，一座城市的電視塔光盤建在郊區(qū)的一座小山上，小山的高度BC為35米，地面上有一個點A，測得的A和C之間的距離為91米，從A看電視塔光盤的視角為45度。 那么這個電視塔的高度光盤是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：AB=84，譚cab=。CD=169，從=tan(45cab)=開始。回答：169測量距離問題示例1可以看到河

5、對岸有兩個目標a和b，但是無法到達。在岸上選擇兩個相距千米的點c和d。同時，ACB=75，巴塞爾公約秘書處=45，模數(shù)轉(zhuǎn)換器=30，亞銀=45(甲、乙、丙、丁自治解如圖所示，在ACD中，ACD=120，計算機輔助設(shè)計=模數(shù)轉(zhuǎn)換器=30，因此交流=直流=。在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60，正弦定理稱之為BC=。在ABC中，根據(jù)余弦定理，ab2=ac2 bc2-2 bccosACB=(2 2-2co 75=3 2-=5，所以AB=km。因此，a和b之間的距離是千米。在這個例子中，如果兩點a和b被放置在河的兩岸，測量器與a在河的同一側(cè)，點c被選擇在交流距離335433543354

6、3354335433543354333尋找距離應(yīng)注意的事項(1)選擇或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定該量所在的三角形，如果知道其他量，直接求解；如果有未知量，未知量將在另一個確定的三角形中求解。(2)確定是使用正弦定理還是余弦定理，如果兩者都可用，選擇更便于計算的定理。1.如圖所示，一條河的兩岸可以看作是平行的。為了測量河道斷面的寬度，在河道斷面的一邊選擇兩點a和b，觀察另一邊的點c，測量cab=75，CBA=45，ab=100m米。解決方案：cab=75，CBA=45，ACB=180-CAB-CBA=60.根據(jù)正弦定理，BC=.如圖所示，如果BD在交叉點B處垂直于另一個河岸，并且垂足為D，那么

7、BD的長度就是河流斷面的寬度。在RtBDC中，BCD=CBA=45，sinBCD=，bd=bcsin 45=辛45=米，河斷面的寬度是100米.高度測量問題例2當某人朝塔的東南偏西60度方向行駛40米后，他看到塔在東北方向。如果塔頂?shù)淖畲笱鼋鞘茄赝緶y量的30度，則詢問塔的高度。自治解如圖所示，有人在c，AB是塔的高度，他沿著CD走，此時CD=40，DBF=45。當穿過b點時，如e中的BECD，則aeb=30。在BCD中，光盤=40。DBC=135，從正弦定理，我們得到=，那么BD=20。*溴化二苯醚=180-135-30=15。在RtBED中，15=20=10(-1)。在RtABE中，aeb=

8、30。那么ab=30=(3-)。因此，塔高為(3-)米.3354335433543354335433543354333處理身高問題的注意事項(1)在處理高度問題時，理解仰角和俯角是關(guān)鍵(視線在水平線上下的角度分別稱為仰角和俯角)。(2)在實際問題中，可能會遇到同時研究空間和平面(地面)的問題。此時，最好畫兩個圖形，一個空間圖形和一個平面圖形，這是明確的，不容易出錯。(3)高度問題一般是將其轉(zhuǎn)化為三角形的問題，所以要注意角關(guān)系在三角形中的應(yīng)用。如果是空間問題，我們應(yīng)該注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合。2.如圖所示，在山腳下有一座小型的塔AB。在底部B測得的頂部C的仰角為60，在頂部C測得的頂部A的俯

9、角為45。眾所周知，塔高AB=20米，山高CD計算。解決方法：如圖所示，讓CD=x m，Ae=(x-20) m，tan60=，那么BD=x m。在AEC中，x-20=x，X=10 (3)米。因此，山高的臨界深度為10 (3)米.測量角度問題例3如圖所示，在距離甲-1海里的甲、乙東北45海里處發(fā)現(xiàn)一艘走私船。我們在丙的反走私船距甲2海里，奉命以每小時10海里的速度追捕該走私船。此時，走私船正以每小時10海里的速度從B向東北方向30度方向逃離。問：需要并找出所需的時間。自動回答如果反走私船沿著CD行駛t小時，走私船可以盡快被攔截(在d點)，那么CD=10 t海里，BD=10 t海里。在ABC中，根

10、據(jù)余弦定理，有BC2=AB2+AC2-2巴西卡=(-1)2+22-2(-1)2co 120=6。解決方案是BC=。而且，sinABC=，ABC=45，b點就在c點以東，CBD=90+30=120，在BCD中，根據(jù)正弦定理，=，sinBCD=.BCD=30，反走私船從北向東行駛60度。在BCD中，CBD=120，BCD=30，d=30， BD=BC，即10t=。時間=小時15分鐘。反走私船應(yīng)該向東北方向行駛60，以便盡快攔截走私船，這大約需要15分鐘。3354335433543354335433543354333解決測角問題的注意事項(1)首先，方位的含義應(yīng)該明確。(2)最關(guān)鍵和最重要的一步是分

11、析問題的含義，區(qū)分已知和所尋求的，然后根據(jù)問題的含義正確地畫出示意圖。(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為能用數(shù)學方法解決的問題后，注意聯(lián)合運用3.如圖所示，位于a的信息中心獲悉，一艘漁船在b處遇險，該處距離其正東方向40海里，并在同一地點等待救援。信息中心立即通知位于c的b船，該船距其西南方向30海里，現(xiàn)在b船正沿著直線CB從北到東的方向向b處的救援船前進，尋找cos 的值。解決方案：如圖所示，在ABC中，AB=40，AC=20，BAC120。根據(jù)余弦定理，BC2=AB2交流=20-2 ABAC 120=2800公元前=20。根據(jù)正弦定理，=sinACB=sinBAC=。從BAC=120，知道BAC是一個

12、銳角，cosACB=。當=ACB 30時，cos=cos(ACB 30)=cosacbcos30-sinacbsin 30=。1步驟解決三角形應(yīng)用問題的一般步驟兩個案例解決三角形應(yīng)用問題的兩個案例(1)將實際問題抽象概括后，已知量和未知量都集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。(2)對實際問題進行抽象概括后，已知量和未知量涉及兩個或兩個以上的三角形。這時，有必要制作這些三角形，首先用充分的條件求解三角形，然后逐步求解其他三角形。有時，需要設(shè)置未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，并求解方程(組)以獲得所需的解。注意兩點:解決三角形應(yīng)用問題應(yīng)注意的問題(1)畫完示意圖后，要注意尋找一些

13、特殊的三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等。從而優(yōu)化問題解決過程。(2)求解三角形時，為了避免誤差的積累，應(yīng)盡可能使用已知數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，使用較少的間接量。創(chuàng)新的數(shù)形結(jié)合在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中被廣泛使用。三角函數(shù)的應(yīng)用問題是基于解三角形、正(余)弦定理和正(余)弦函數(shù)的知識，以測量、導(dǎo)航、筑路和天文學為代表的實際應(yīng)用問題是高考應(yīng)用問題的熱點。要解決這樣的問題，我們應(yīng)該仔細檢查問題，提煉主題信息，畫一個示意圖，并利用正弦定理結(jié)合數(shù)字和形狀的思想?！臼纠?廣州模擬2013)在特定時間段內(nèi)，以e點為中心的7海里范圍內(nèi)的海域被設(shè)定為警戒水域。在e點以北55海里處有一個雷達

14、觀測站，在某個時間，測量到一艘勻速直線行駛的船舶位于a點東北45海里處，距離a點40海里，40分鐘后，測量到該船已經(jīng)向a點東北方向(45 )行駛。(1)計算船舶的行駛速度(單位：海里/小時)；(2)如果船舶不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷是否進入警戒水域并說明原因。解決方案如圖所示，AB=40，AC=10，BAC=，sin =。因為0 90，cos =。BC=10。因此，船的行駛速度是=15節(jié)。(2)方法1:如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，B點和C點的坐標分別為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與X軸的交點為d .根據(jù)標題，x1=y1=ab=40，x2=ACcosCAD=10 cos

15、(45-)=30，y2=ACsinCAD=10 sin(45-)=20。因此，通過點b和c的直線l的斜率為k=2，直線l的方程式是y=2x-40。并且從點E(0，-55)到直線l=3 40=AQ，點Q位于點A和點E之間，而QE=AE-AQ=15。如果EPBC在點p穿過點e，那么EP是從點e到直線BC的距離。在RtQPE中，PE=QE sinpqe=QE sinaqc=QE sin(45-ABC)=15=3 7。因此，船將進入警戒水域。1.對于問題(1)，已知在兩邊之間有一個角，用余弦定理可以得到BC的長度，用它除以行駛時間可以得到速度；對于問題(2)，將BC交線AE延伸到Q點，然后在ABQ中，

16、通過正弦定理得到AQ的長度和判斷點Q的位置，最后在QPE中，結(jié)合已知條件進行判斷。2.要解決這樣的問題，首先，根據(jù)問題的含義畫一張示意圖是解決問題的關(guān)鍵；將條件歸納成三角形是基本策略；合理應(yīng)用正弦和余弦定理，注意與平面幾何的結(jié)合，有助于問題的解決。某個港口想用小船把一件重要的東西送到一艘帆船上。當船離開時，船位于A處，西北30度，距離O港20海里，并以每小時30海里的速度在正東方向以恒定速度行駛。假設(shè)船以每小時五海里的速度勻速直線前進，并在三小時后與船相遇。(1)如果你想在相遇時小艇的航行距離最小，小艇的航行速度是多少？(2)假設(shè)小艇的最大航行速度只能達到30節(jié)，盡量設(shè)計航行方案(即確定航行方向和速度)，使小艇能在最短時間內(nèi)與船相遇，并說明原因。解決方法：(1)假設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里，則s=。因此，當t=，smin=10，v=30時。也就是說，船以每小時30海里的速度航行，當它相遇時，船的航行距離最