2-3函數(shù)的奇偶性與周期性.ppt

1、了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義/會判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性，并能夠用函數(shù)的奇偶性解決一些函數(shù)問題/了解周期函數(shù)的定義，并能夠用函數(shù)的周期性解決一些函數(shù)問題,2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性,1偶函數(shù) 設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函 數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 2奇函數(shù) 設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)任意一個x，都有 ，那么 函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,f(x)f(x),f(x)f(x),3周期性 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的 每一個值時，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做周期

2、函數(shù)，非零常 數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期 對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那 么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的 ,f(xT)f(x),最小正周期,1下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是() Ayx3，xR Bysin x，xR Cyx，xR Dy( )x，xR 答案：A,2(2010豫南九校聯(lián)考)f(x) x的圖象關(guān)于() Ay軸對稱 B直線yx對稱 C坐標原點對稱 D直線yx對稱 解析：f(x)的定義域為(，0)(0，)， 又 則f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱 答案：C,3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(6)的值為()

3、A1B0 C1D2 解析：由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 故知函數(shù)yf(x)的周期為4，f(6)f(42)f(2)f(0) f(x)是R上的奇函數(shù)，易知f(0)0，f(6)f(0)0，選B. 答案：B,4f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)f(x)g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函 數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的() A充要條件 B充分而不必要的條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要的條件 解析：“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)” “h(x)f(x)g(x)為偶函數(shù)”， 例如f(x)x3，g(x)x3，而h(x)f(x)g(x)為偶函數(shù) 答案

4、：B,5定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x0時，f(x)x2x1，則f(x)_. 解析：當x0時，f(0)f(0)，即f(0)0.當x0時， f(x)f(x)x2x1， f(x) 答案：,利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法： (1)首先求函數(shù)的定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 (2)如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，可進一步判斷f(x)f(x)，或f(x)f(x)是否對定義域內(nèi)的每一個x恒成立(恒成立要給予證明，否則要舉出反例),【例1】 下列函數(shù)： f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x )； f(x) ；f(x)lg .其中奇函數(shù)的個數(shù)是() A2 B3 C4 D5 解

5、析：f(x) 的定義域為1,1， 又f(x)f(x)0， 則f(x) 是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)；,f(x)x3x的定義域為R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)， 則f(x)x3x是奇函數(shù)； 由x x|x|0知f(x)ln(x )的定義域為R， 又f(x)ln(x )ln ln(x )f(x)， 則f(x)為奇函數(shù)；,f(x) 的定義域為R，又f(x) 則f(x)為奇函數(shù)； 由 0得1x1，f(x)ln 的定義域為(1,1)， 又f(x)ln ln( )1ln f(x)，則f(x)為奇函數(shù) 答案：D,研究函數(shù)奇偶性事實上是解決函數(shù)圖象的對稱問題，研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的大致過程應該是：求定義

6、域判斷奇偶性研究其它性質(zhì)或作函數(shù)圖象，這樣可起到事半功倍的作用(利用對稱可已知“一半”求“另一半”),【例2】 已知f(x) (1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)0.,解答：(1)解法一：f(x)的定義域是(，0)(0，) f(x) 故f(x)是偶函數(shù) 解法二：f(x)的定義域是(，0)(0，)， f(1) ，f(1) ，f(x)不是奇函數(shù),f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù),(2)證明：當x0時，2x1,2x10，所以f(x) 0. 當x0時，x0， 所以f(x)0，又f(x)是偶函數(shù)， f(x)f(x)，所以f(x)0.綜上，均有f(x)0.,變式2. 設偶函數(shù)f(x)對任意x

7、R，都有f(x3) ，且當x3，2時， f(x)2x，則f(113.5)的值是(),解析：f(x)f(x)，f(x6)f(x33) f(x)，故f(x)的周期為6. f(113.5)f(1960.5)f(0.5),答案：D,如果奇偶性是講函數(shù)圖象的對稱，那么函數(shù)的周期性就是討論函數(shù)圖象的平移，而函數(shù)圖象的對稱與函數(shù)的周期性也是密不可分的，比如：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa，xb(ab)對稱，則f(x)為周期函數(shù)，其周期為T2(ba)等,【例3】設函數(shù)f(x)在(，)上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)， 且在閉區(qū)間0,7上只有f(1)f(3)0. (1)試判斷函數(shù)yf(x)的奇

8、偶性； (2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2 005，2 005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論,解答：(1)f(1)0，且f(x)在0,7上只有f(1)f(3)0，且f(2x)f(2x)， 令x3，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，且f(1)f(1) f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) (2)f(10 x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(13x) f7(13x)f(20 x)， f(x)以10為周期又f(x)的圖象關(guān)于x7對稱知，f(x)0在(0,10)上有兩個根， 則f(x)0在(0,2 005上有2012402個根； 在2 005,0上有2002400個根；因此f(x)0在閉區(qū)間上

9、共有802個根,變式3. 定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足f(x)f(x)，f(1x)f(1x)，當 x 1,1時，f(x)x3，則f(2 009)的值是() A1 B0 C1 D2 解析：由已知條件f(4x)f1(3x)f(2x)f(2x)f1(1x)f(x)f(x)，則函數(shù)yf(x)是周期為4的周期函數(shù)f(2009)f(2009) f(45021)f(1)1. 答案：A,函數(shù)的奇偶性和周期性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在確定函數(shù)定義域的基礎上要首先考慮函數(shù)的奇偶性和周期性等，它對研究函數(shù)圖象、值域及單調(diào)性等問題都會起到事半功倍的作用，要重點研究，考點一是判斷函數(shù)的奇偶性和周期性；考點二是研究奇偶函

10、數(shù)的性質(zhì)；考點三是應用奇偶函數(shù)定義和奇偶函數(shù)的圖象對稱性和周期性解決函數(shù)問題在教學時要注意以下幾點：,【方法規(guī)律】,1正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題： (1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件； (2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式 2奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有 時需要先將函數(shù)進行化簡，或應用定義的等價形式： f(x)f(x)f(x)f(x)0 1(f(x)0) 3奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也真利用這一性 質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它

11、去判斷函數(shù)的奇偶性,4奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖 形，反之亦真因此，也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性； (2)奇奇奇，偶偶偶； (3)奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇； (4)函數(shù)yf(x)，當x0時有意義，則f(0)0為yf(x)是奇函數(shù)的必要條件 因此判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法： 定義法；圖象法；性質(zhì)法 5可考慮將奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義進行推廣 6若yf(x)關(guān)于直線xa，xb(ab)對稱，則f(x)一定為周期函數(shù)，2(ba)為 yf(x)的周期.,(本題滿分4分)對于函數(shù)f(x) (其中a為實數(shù)，x1)，給出下列命題：

12、當a1時，f(x)在定義域上為單調(diào)函數(shù)； f(x)的圖象關(guān)于點(1，a)對稱； 對任意aR，f(x)都不是奇函數(shù)； 當a1時，f(x)為偶函數(shù)； 當a2時，對于滿足條件2x1x2的所有x1、x2總有f(x1)f(x2)3(x2x1) 其中正確命題的序號為_,解析：(1)當a1時，f(x) 的定義域為(，1)(1，)， 又f(x)1 ，函數(shù)的兩個遞減區(qū)間分別為(，1)、(1，)， 命題錯誤 (2)f(2x) f(x)的圖象關(guān)于點(1，a)對稱，命題正確； (3)f(0)1，因此f(x)不是奇函數(shù)，是正確命題；,【答題模板】,(4)當a1時，f(x) 1(x1) 因此f(x)不是偶函數(shù)，命題不正確 (5)當2x1x2，a2時， f(x1)f(x2) 又x111，x211，則(x11)(x21)1， 因此f(x1)f(x2)3(x2x1)，命題正確 答案：,1. 本題源于教材中出現(xiàn)的y 類型的函數(shù)，此種類型函數(shù)與反比例函數(shù) y 有密切的關(guān)系，可通過解析式的變形和函數(shù)圖