高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第二章.ppt

1、第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具,(從微觀上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó),數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究,極值問(wèn)題中提出.,英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、單側(cè)導(dǎo)數(shù),第一節(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,導(dǎo)數(shù)的概念,第二章,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動(dòng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 曲線的切線斜率

2、,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,割線 M N 的極限位置 M T,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,兩個(gè)問(wèn)題的共性:,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類似問(wèn)題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問(wèn)題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作:,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,說(shuō)明: 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo).,若,也稱,在,若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).,記作:,注意:,就說(shuō)函數(shù),就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 求函數(shù),(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù).,解:,即,例2. 求函數(shù),解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,對(duì)一般冪函數(shù),( 為常數(shù)),例如，,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

4、,例3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,即,類似可證得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,原式,是否可按下述方法作:,例6. 證明函數(shù),在 x = 0 不可導(dǎo).,證:,不存在 ,例6. 設(shè),存在, 求極限,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,曲線過(guò),上升;,若,曲線過(guò),下降;,若,切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn);,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 問(wèn)曲線,哪一

5、點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行 ? 寫出其切線方程.,解:,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此必有,其中,故,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).,反例:,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在點(diǎn),的某個(gè)右 鄰域內(nèi),五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱此極限值為,在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作,即,(左),(左),例

6、如,在 x = 0 處有,定義2 . 設(shè)函數(shù),有定義,存在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理2. 函數(shù),在點(diǎn),且,存在,簡(jiǎn)寫為,定理3. 函數(shù),(左),(左),若函數(shù),與,都存在 ,則稱,顯然:,在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,可導(dǎo)的充分必要條件,是,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限;,切線的斜率;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

7、 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導(dǎo)函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 設(shè),存在 , 則,3. 已知,則,4. 若,時(shí), 恒有,問(wèn),是否在,可導(dǎo)?,解:,由題設(shè),由夾逼準(zhǔn)則,故,在,可導(dǎo), 且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5. 設(shè), 問(wèn) a 取何值時(shí),在,都存在 , 并求出,解:,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),P83 6, 9(4)(6)(7) , 13, .,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,牛頓(1642 1727),偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671,年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書 (1736年出版).,他,還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .,萊布尼茲(1646 1716),德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,他在學(xué)藝雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 .,他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) ,系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì),數(shù)法 ,并把它與中國(guó)的八