七-4第四節(jié)數(shù)量積、向量積、混合積.ppt

1、,啟示,實(shí)例,兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.,定義,一、兩向量的數(shù)量積,第四節(jié) 數(shù)量積、向量積、混合積,數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.,結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.,關(guān)于數(shù)量積的說明：,證,證,數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）分配律：,（3）若 為數(shù)：,若 、 為數(shù)：,設(shè),數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為,解,證,實(shí)例,二、兩向量的向量積,定義,的方向既垂直于,，又垂直于,，指向符合,右手系,.,關(guān)于向量積的說明：,/,向量積也稱為“叉積”、“外積”.,向量積符合下列運(yùn)

2、算規(guī)律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 為數(shù)：,證,/,/,設(shè),向量積的坐標(biāo)表達(dá)式,向量積還可用三階行列式表示,/,由上式可推出,補(bǔ)充,例如，,解,解,三角形ABC的面積為,解,定義,設(shè),混合積的坐標(biāo)表達(dá)式,三、向量的混合積,（1）向量混合積的幾何意義：,關(guān)于混合積的說明：,解,例6,解,式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.,向量的數(shù)量積,向量的向量積,向量的混合積,（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）,（結(jié)果是一個(gè)向量）,（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）,（注意共線、共面的條件）,四、小結(jié),練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,例5,解,例6,試在xOy平面上，求與a=-4,3,7垂直的單位向量。,解,設(shè)所求單位向量為b=m,n

3、,p,由于它在xOy平面上，且是單位向量，所以滿足,六、向量的向量積,a,b,a b,圖514,由圖514及定義知， a b的模在幾何上恰為以a和b為平行四邊形的面積， a b的方向垂直于這個(gè)平行四邊形所在平面。,兩個(gè)向量的向量積滿足以下運(yùn)算率及性質(zhì)： 反交換率 b a a b 與數(shù)乘向量的結(jié)合率 (a) b=a (b) = a b (是實(shí)數(shù)) 分配率(a+b) c=a cb c a (b+c)= a ba c 兩個(gè)非零向量a與b平行的充分必要條件是a b0 a a=0,為了便于記憶，上式可用行列式表示：,由上式容易推得，向量a與b平行的充要條件是,即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例。,已知a=4,2,1,b=3,0,2,求ab.,例