《速度和靜力》PPT課件.ppt

1、1. 位置矢量的微分 用下面的符號(hào)表示某個(gè)矢量的微分: -位置矢量的速度是用位置矢量描述的空間一點(diǎn)的線速度. -位置矢量的速度可以通過(guò)計(jì)算Q相對(duì)于坐標(biāo)系B的微分進(jìn)行描述. -速度矢量可以在任意坐標(biāo)系中描述，其參考坐標(biāo)系可用左上標(biāo)注明:,第5章:速度和靜力 5.1 時(shí)變位姿的符號(hào)表示,速度矢量與空間某點(diǎn)相關(guān)，而描述此點(diǎn)速度的大小取決于兩個(gè)坐標(biāo)系：一個(gè)是進(jìn)行微分運(yùn)算的坐標(biāo)系，另一個(gè)是描述這個(gè)速度矢量的坐標(biāo)系. -微分運(yùn)算的坐標(biāo)系B，描述速度矢量的坐標(biāo)系 B: 當(dāng)兩個(gè)上標(biāo)相同時(shí)，不需要給出外層上標(biāo). -微分運(yùn)算的坐標(biāo)系A(chǔ)，描述速度矢量的坐標(biāo)系 B: 用相對(duì)于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣表示.,第5章:速度和

2、靜力 5.1 時(shí)變位姿的符號(hào)表示,自由矢量: 可能出現(xiàn)在空間任意位置但保持大小和方向不變的矢量. 速度、力和力矩矢量是自由矢量。,我們討論的是一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于某個(gè)常見(jiàn)的世界參考坐標(biāo)系的速度，而不考慮相對(duì)于任意坐標(biāo)系中一般點(diǎn)的速度，對(duì)于這種情況，定義一個(gè)縮寫符號(hào): 式中的點(diǎn)為坐標(biāo)系 C的原點(diǎn)，參考坐標(biāo)系為 U. 用 表示坐標(biāo)系 C原點(diǎn)的速度， 是坐標(biāo)系C的原點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中表示的速度 (盡管微分是相對(duì)于坐標(biāo)系 U進(jìn)行的).,第5章:速度和靜力 5.1 時(shí)變位姿的符號(hào)表示,例子: U 是固定世界坐標(biāo)系. T固連在速度為 100 mph的火車上.坐標(biāo)系 C固連在速度為 30 mph的汽車上. 兩車

3、前進(jìn)方向?yàn)?U的X方向。旋轉(zhuǎn)矩陣 已知并且為常數(shù).,第5章:速度和靜力 5.1 時(shí)變位姿的符號(hào)表示,2. 角速度 線速度描述了點(diǎn)的一種屬性，角速度描述了剛體的一種屬性。坐標(biāo)系總是固連在被描述的剛體上，所以可以用角速度來(lái)描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng). 描述了坐標(biāo)系 B相對(duì)于A的旋轉(zhuǎn). 的方向就是 B 相對(duì)于 A的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸, 大小表示旋轉(zhuǎn)速度.,第5章:速度和靜力 5.1 時(shí)變位姿的符號(hào)表示,像任意矢量一樣, 角速度矢量可以在任意坐標(biāo)系中描述，所以需要附加另一個(gè)左上標(biāo),例如 就是坐標(biāo)系 B 相對(duì)于 A 的角速度在坐標(biāo)系 C中的描述. 一種情況下的簡(jiǎn)化符號(hào): 這里, 為坐標(biāo)系 C 相對(duì)于某個(gè)已知參考坐標(biāo)系

4、 U的角速度. 例如, 是坐標(biāo)系 C 的角速度在坐標(biāo)系 A 中的描述(盡管這個(gè)角速度是相對(duì)于 U的).,第5章:速度和靜力 5.1 時(shí)變位姿的符號(hào)表示,1. 線速度 把坐標(biāo)系 B 固連在一個(gè)剛體上，要求描述相對(duì)于坐標(biāo)系 A 的運(yùn)動(dòng) . 坐標(biāo)系B 相對(duì)于A的位置矢量用 和旋轉(zhuǎn)矩陣 來(lái)描述.假設(shè)方位 不隨時(shí)間變化，則Q點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的運(yùn)動(dòng)是由于 或 隨時(shí)間的變化引起的. 坐標(biāo)系A(chǔ) 中的Q點(diǎn)的線速度: 適用于坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)的相對(duì)方位保持不變的情況.,第5章:速度和靜力 5.2 剛體的線速度和角速度,2. 角速度 考慮兩坐標(biāo)系重合，相對(duì)線速度為零的情況. 它們?cè)c(diǎn)始終保持重合.坐標(biāo)系 B相對(duì)于

5、A的方位隨時(shí)間變化。B相對(duì)于A的旋轉(zhuǎn)速度用矢量 來(lái)表示, 已知 是坐標(biāo)系B中一個(gè)固定點(diǎn)的位置。 Question: 從坐標(biāo)系 A看固定在坐標(biāo)系 B中的矢量，這個(gè)矢量將如何隨時(shí)間變化?這個(gè)系統(tǒng)是否轉(zhuǎn)動(dòng)？,第5章:速度和靜力 5.2 剛體的線速度和角速度,假設(shè)從坐標(biāo)系 B看矢量Q是不變的: . 從坐標(biāo)系A(chǔ)中看點(diǎn)Q的速度為旋轉(zhuǎn)角速度 . 的微分增量一定垂直于 和 . 微分增量的大小為: 矢量的大小和方向滿足:,第5章:速度和靜力 5.2 剛體的線速度和角速度,如果 Q 相對(duì)于 B是變化的: 利用旋轉(zhuǎn)矩陣消掉雙上標(biāo): 3. 線速度和角速度同時(shí)存在的情況,第5章:速度和靜力 5.2 剛體的線速度和角速度

6、,1. 正交矩陣的導(dǎo)數(shù)性質(zhì) 對(duì)任何 的正交矩陣 R ，有: 求導(dǎo)，得到: 定義 , 由此有 . S 是一個(gè)反對(duì)稱陣（skew-symmetric matrix）. 正交矩陣的微分與反對(duì)稱陣之間存在如下特性: .,第5章:速度和靜力 5.3 對(duì)角速度的進(jìn)一步研究,2. 由于參考系旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)速度 假定固定矢量 相對(duì)于坐標(biāo)系 B是不變的. 如果坐標(biāo)系 B是 旋轉(zhuǎn)的 ( 的微分非零), 也是變化的，即使 為常數(shù)。 引入 的表達(dá)式 : 利用正交矩陣的性質(zhì): 旋轉(zhuǎn)矩陣通常稱為角速度矩陣.,第5章:速度和靜力 5.3 對(duì)角速度的進(jìn)一步研究,3. 反對(duì)稱陣和矢量積 如果反對(duì)稱陣 S 的各元素如下: 容易證明:

7、(P 是任意矢量). 定義 為角速度矢量. 因此，得到: 這里與 相關(guān)的的符號(hào) 表明該角速度矢量確定了坐標(biāo)系 B 相對(duì)于 A運(yùn)動(dòng).,第5章:速度和靜力 5.3 對(duì)角速度的進(jìn)一步研究,4. 角速度矢量的物理概念 對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣 直接求導(dǎo): 把 寫成兩個(gè)矩陣的組合: 式中，在時(shí)間間隔 中, 繞軸 的微量旋轉(zhuǎn)為,第5章:速度和靜力 5.3 對(duì)角速度的進(jìn)一步研究,已知 于是有:,第5章:速度和靜力 5.3 對(duì)角速度的進(jìn)一步研究,最后，用 除以這個(gè)矩陣，并取極限得: 于是有: 角速度矢量 的物理意義是，在任一時(shí)刻，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方位的變化可以看作是繞著某個(gè)軸 的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，可作為單位矢量，與繞這個(gè)軸的

8、旋轉(zhuǎn)速度標(biāo)量 構(gòu)成角速度矢量。,第5章:速度和靜力 5.3 對(duì)角速度的進(jìn)一步研究,操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰桿有關(guān)，由于這種結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，我們可以由基坐標(biāo)系依次計(jì)算各連桿的速度。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上新的速度分量.,第5章:速度和靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),1. 角速度 連桿i+1的角速度等于連桿的角速度加上一個(gè)由于關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量,第5章:速度和靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),2. 線速度 坐標(biāo)系 i+1原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系 i原點(diǎn)的線速度加上一個(gè) 由于連桿i的角速度引起的新的分量. 在坐標(biāo)系 i+1中: 對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)

9、節(jié): 對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié):,第5章:速度和靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),從一個(gè)連桿到下一個(gè)連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計(jì)算出最后一個(gè)連桿的角速度 和線速度 ，注意，這兩個(gè)速度是按照坐標(biāo)系N表達(dá)的。在后面可以看到。如果用基坐標(biāo)來(lái)表達(dá)角速度和線速度的話，就可以用 去左乘速度，向基坐標(biāo)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換.,第5章:速度和靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),例子: 一個(gè)具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂.計(jì)算操作臂末端的速度，將它表達(dá)成關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系3來(lái)表示的，另一種是用坐標(biāo)系0來(lái)表示的。,第5章:速度和靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),基坐標(biāo)系的速度為零: Frame 13:,第5章:速度和

10、靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),第5章:速度和靜力 5.4 機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng),1. 雅可比 Jacobian 假設(shè)6個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)都有6個(gè)獨(dú)立的變量： 計(jì)算 的微分關(guān)于 的微分的函數(shù) :,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比矩陣,雅可比Jacobian: 偏導(dǎo)數(shù)矩陣就是雅可比矩陣, 這些偏導(dǎo)數(shù)都是 的函數(shù) . 將上式兩端同時(shí)除以時(shí)間微分，將雅可比矩陣看成是X中的速度向Y中速度的映射: . 在任一瞬時(shí)，X都有一個(gè)確定的值， 是一個(gè)線性變換。在每一個(gè)新時(shí)刻，如果X改變，線性變換也會(huì)隨之而變。所以，雅可比是時(shí)變的線性變換.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,2. 在機(jī)器人中的 應(yīng)用 在機(jī)器人學(xué)中，

11、通常使用雅可比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系起來(lái): 這里 是操作臂關(guān)節(jié)角矢量， 是笛卡爾速度矢量. 給雅可比表達(dá)式附加上左上標(biāo)，以此表示笛卡爾速度所參考的坐標(biāo)系. 對(duì)于任意已知的操作臂位形，關(guān)節(jié)速度和操作臂末端的速度的關(guān)系是線性的，然而這種線性關(guān)系僅僅是瞬時(shí)的，因?yàn)樵谙乱豢?，雅可比矩陣就?huì)有微小的變化.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,對(duì)于通常的6關(guān)節(jié)機(jī)器人，雅可比矩陣是 66階的矩陣，61的笛卡爾速度矢量是由一個(gè) 31的線速度矢量和一個(gè) 31 的角速度矢量組合起來(lái)的： 雅可比矩陣的行數(shù)等于操作臂在笛卡爾空間的自由度數(shù)量，雅可比矩陣的列數(shù)等于操作臂的關(guān)節(jié)數(shù)量。,第5章:速度和靜力

12、5.5 雅可比,例子: 以兩連桿操作臂為例, 寫出該操作臂的雅可比矩陣，該矩陣將關(guān)節(jié)速度和末端執(zhí)行器的速度聯(lián)系起來(lái)。 We could also consider a 32 Jacobian that would include the angular velocity of the end-effector.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,另一種雅可比矩陣的計(jì)算方法,另一種雅可比矩陣的計(jì)算方法，通過(guò)對(duì)操作臂的運(yùn)動(dòng)方程直接微分求雅克比矩陣： 這種方法可以直接求得線速度，但得不到 31的方位矢量，而這個(gè)矢量的導(dǎo)數(shù)就是 . 還有很多方法求雅可比矩陣.,第5

13、章:速度和靜力 5.5 雅可比,3. 奇異性 如果這個(gè)矩陣是非奇異的，那么一直笛卡爾速度的話，就可以對(duì)該矩陣求逆計(jì)算出關(guān)節(jié)的速度: 雅可比矩陣可逆性的性質(zhì): 雅可比矩陣對(duì)于所有的 值都是可逆的嗎？如果不是，在什么位置不可逆? 大多數(shù)操作臂都有使得雅可比矩陣出現(xiàn)奇異的 值，這些位置就稱為操作臂的奇異位形或簡(jiǎn)稱奇異狀態(tài)。 所有的操作臂在工作空間的邊界都存在奇異位形，并且大多數(shù)操作臂在它們的工作空間也有奇異位形.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,奇異位形大致分為兩類: 1) 工作空間邊界的奇異位形 出現(xiàn)在操作臂完全展開(kāi)或者收回使得末端執(zhí)行器處于或非常接近空間邊界的情況. 2) 工作空間內(nèi)部的奇異

14、位形 出現(xiàn)在遠(yuǎn)離工作空間的邊界，通常是由于兩個(gè)或兩個(gè)以上的關(guān)節(jié)軸線共線引起的.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,當(dāng)一個(gè)操作臂處于奇異位形時(shí)，它會(huì)失去一個(gè)或多個(gè)自由度。. 在笛卡爾空間的某個(gè)方向上（或某個(gè)子空間中），無(wú)論選擇什么樣的關(guān)節(jié)速度都不能使機(jī)器人手臂運(yùn)動(dòng).,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,例子: 簡(jiǎn)單的兩連桿操作臂，奇異位形在 什么位置?奇異位形的物理意義是什么? 它們是工作空間邊界的奇異位形還是工作空間內(nèi)部的奇異位形? 當(dāng) 等于0 或者 180度時(shí)，操作臂處于奇異位形. 當(dāng) , 操作臂完全展開(kāi)，末端執(zhí)行器僅可以沿著笛卡爾坐標(biāo)的某個(gè)方向，因此，操作臂失去了一個(gè)自由度. 當(dāng) , 操

15、作臂完全收回，手臂只能沿著一個(gè)方向運(yùn)動(dòng). 由于這類奇異位形處于操作臂工作空間的邊界上，因此稱為工作空間邊界的奇異位形.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,例子: 對(duì)于兩自由度操作臂，末端執(zhí)行器沿著 軸以1.0m/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)操作臂遠(yuǎn)離奇異位形時(shí)， 關(guān)節(jié)速度都在允許范圍內(nèi)。但是當(dāng) 操作臂接近奇異位形，此時(shí)關(guān)節(jié)速度趨向于無(wú)窮大. 首先計(jì)算坐標(biāo)系 0中雅可比矩陣的逆: 當(dāng)末端執(zhí)行器以 1m/s 的速度沿著 方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，按照操作臂位形的函數(shù)計(jì)算出關(guān)節(jié)速度: 當(dāng)操作臂伸展到接近 , 兩個(gè)關(guān)節(jié)的速度趨向無(wú)窮大.,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,例子: 對(duì)于puma560，給出兩個(gè)可能出現(xiàn)的奇異位

16、形的位置. 當(dāng) 接近于 -90 度，存在一個(gè)奇異位形.在這種情況下，連桿2和連桿3完全展開(kāi)。這種情況屬于工作空間邊界的奇異位形. 只要 , 操作臂都會(huì)處于奇異位置.在這個(gè)位形，關(guān)節(jié)軸4和關(guān)節(jié)軸6成一直線，所以這兩個(gè)關(guān)節(jié)軸的動(dòng)作會(huì)使末端執(zhí)行器產(chǎn)生相同的運(yùn)動(dòng)。由于這個(gè)奇異位形出現(xiàn)在工作空間內(nèi)部，所以它屬于工作空間內(nèi)部的奇異位形。,第5章:速度和靜力 5.5 雅可比,1. 作用在操作臂上的靜力 考慮力和力矩如何從一個(gè)連桿向下一個(gè)連桿傳遞 考慮操作臂的自由末端在工作空間推動(dòng)某個(gè)物體. 或者用操作臂舉起某個(gè)負(fù)載的情況. 我們希望求出 保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩. 首先鎖定所有的關(guān)節(jié)已使操作臂的結(jié)構(gòu)固定.

17、 寫出力和力矩對(duì)于各連桿坐標(biāo)系的平衡關(guān)系. 最后，為了保持操作臂的靜態(tài)平衡，計(jì)算出需要對(duì)各關(guān)節(jié)軸依次施加多大的靜力矩.,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,為相鄰連桿所施加的力和力矩定義以下特殊符號(hào)： 連桿i-1施加在連桿i上的力 連桿i-1施加在連桿i上的力矩 將力相加并令其等于零: 將繞坐標(biāo)系i原點(diǎn)的力矩相加：,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,我們從施加于手部的力和力矩的描述開(kāi)始，從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用出每一個(gè)連桿上的力和力矩: 為了按照定義在連桿本體坐標(biāo)系中的力和力矩寫出這些表達(dá)式，用坐標(biāo)系i+1相對(duì)于坐標(biāo)系i描述的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換，得到連桿之間靜力

18、傳遞的表達(dá)式: 一個(gè)問(wèn)題：為了平衡施加在連桿上的力和力矩，需要在關(guān)節(jié)上施加多大的力矩？,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可以由操作臂機(jī)構(gòu)本身來(lái)平衡，為求出保持系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積: 對(duì)于關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為： 通常，將使關(guān)節(jié)角增大的旋轉(zhuǎn)方向定義為關(guān)節(jié)力矩的正方向.,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,例: 兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量 ，求出所需的關(guān)節(jié)力矩. Starting from the last link and going toward the base of the robot:,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,Therefore: The relationship can be written as a matrix operator: It is not a coincidence that this matrix is the transpose of the Jacobian.,第5章:速度和靜力 5.6 操作臂上的靜力,2. 力域中的雅可比 在靜態(tài)下，可知關(guān)節(jié)力矩完