第3章 線性方程組.ppt

1、第3章 線性方程組,3.1 n 維向量及其線性相關(guān)性,3.1 n 維向量及其線性相關(guān)性,如果 ai (i=1,2,n )是實(shí)(復(fù))數(shù)叫做實(shí)(復(fù))向量。,行向量是 1n 矩陣,記作 (a1,a2,an)； 列向量是 n1 矩陣,記作 (a1,a2,an)T。 如果 n 個分量全為零，叫做零向量，用 0 表示。 全體 n 元實(shí)向量組成的集合記作 Rn 。,常用 , , 等表示 n 元向量。,1n元向量的概念,定義3.1 由 n 個數(shù) a1,a2,an 組成的有序數(shù)組稱為 n 元向量,記作 (a1,a2,an)，其中 ai 稱為第 i 個分量。,2向量的線性運(yùn)算,(2) 與 之和 : + = (a1

2、+b1, a2+b2, an+bn)。,k= 1時， = ( a1, a2, an), = +( ),加法滿足4條運(yùn)算律：,(1) + = + ； (2) ( + )+ = +( + )； 有+0n = ； 有( ) ,使 + ( ) =0n。,定義3.2 設(shè) = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, F。,(3) 數(shù) 與 之乘積: = (a1,a2,an) ，簡稱數(shù)乘。,向量的加法與數(shù)量乘法統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，其運(yùn)算規(guī)律與矩陣的相同,(1) = 當(dāng)且僅當(dāng) ai=bi ， i=1,2,n。,F為數(shù)域, = 11 + 22 + + m m, Fn, , F有：

3、 1=；,數(shù)乘滿足4條運(yùn)算律：,其他: (1) 有 0=0n ; k0n = 0n。,()=()；,(+)=+；,(2) 若 k =0n，則 = 0n 或 k=0。,(3) 向量方程 +x= 有唯一解: x= ,定義3.3 數(shù)域 F上的全體 n 元向量，在其中定義了上述的加法和數(shù)乘運(yùn)算 , 稱為數(shù)域 F上的n維向量空間，記作 Fn (Rn為實(shí)空間)。,稱為向量1, 2 , , m的線性組合，或 可用1, 2 , ,m 線性表示。,矩陣A=1, 2 , , m，x= 1, 2 , , nT。,定義3.4 設(shè)i Fn , iF (i = 1, 2, , m), 則向量, = 1 1 + 2 2 +

4、 + m m (1),(1)式可表示為：A x =，此時， 1, 2 , , m , 為列向量，,(+)=+。,例如，在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量 e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 線性表示為 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3,在R3中，如果三個向量 1, 2, 3共面，則至少有一個向量可以由另兩個向量線性表示，如圖，,即存在不全為 0 的 k1 ， k2 ，k3 使 k1 1 + k2 2 + k33 =0,如果三個向量 1, 2, 3不共面，則任意一個向量都不能由其余兩個向量線性表示，如,1=

5、 a1 e1 ，2= a2 e2 ， 3 = a3 e3,3 = k1 1+ k2 2,定義3.5 設(shè) 1, 2, , m Rn , 如果存在不全為零的 1, 2,m R ,使,成立，則稱1, 2, , m線性相關(guān)，否則，線性無關(guān)。,“否則”是指：不線性相關(guān)就是線性無關(guān)， “僅當(dāng)1, 2,m全為零時，才使(*)式成立”。這等價于 “如果(*)式成立，則1, 2,m必須全為零”。,11 + 2 2 + + m m = 0 （*）,1 1 + 2 2 + + m m = 0,定理3.1 向量組 1, 2, , m(m 2) 線性相關(guān)的充要條 件是 1, 2, , m中至少有一個向量可由其余向量線性

6、表示。,證 必要性：設(shè)1, 2, , m線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)1, 2,m, 使得,不妨設(shè) 1 0 , 于是,1= 112 2 11m m,3向量的線性相關(guān)性,其中1, j1,1, j+1, , m不全為零，充分性得證。,例1 Rn中的 e1, e2, , en 是線性無關(guān)的。 其中 ei = (0, 0, 1, 0,0) 是第 i 個分量為 1 (i=1,2, , , n）其余分量全為零的向量。 解：因?yàn)椋?1e1 + 2e2 + + mem = 0 即 (1, 2, , n) = (0, 0, , 0) 必有 1 = 2 = = n = 0.,定理3.1 的等價命題： 1, 2,

7、, m(m 2)線性無關(guān)的 充要條件是其中任一個向量都不能由其余向量線性表示。,充分性：若1, 2, , m中的一個向量可由其余向量線性表示，如,j = 1 1 + j1 j1 + j+1 j+1 + m m,則1 1 + j1 1 j + j+1 j+1 + m m = 0,注意: (1) 單個向量 線性相關(guān)的充分必要條件是： 為零向量 因?yàn)?0 使 = 0 成立的充要條件是 = 0； (2) 兩個非零向量 ， 線性相關(guān)的充分必要條件是： ， 成比例 即存在 k 或 l 。 (3) R3中三個向量 ， 線性相 關(guān)的充分必要條件是 ， 共面,例2 含零向量的任何向量組0, 1, 2 , , m

8、都線性相關(guān)。因?yàn)?1 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 n = 0,從而有不全為零的 1 , 2 , k , 0, ,0 使,例如， 1 = (1, 2, 1)T, 2 =(2, 4, 2)T , 3 =(1,1,3)T。因?yàn)?1, 2 線性相關(guān)（成比例），所以， 1, 2, 3 線性相關(guān)。 例3 的等價命題是：線性無關(guān)向量組的任一子集（任一部分向量）都線性無關(guān)。 總之：向量組部分線性相關(guān)，則整體線性相關(guān)； 整體線性無關(guān)，則任一部分都線性無關(guān)。,例3 如果向量組 1, 2, , m中有一部分向量線性相關(guān)， 則 整個向量組也線性相關(guān)。,證：不妨設(shè)1, 2, , k線性相關(guān), 于是有不全為零

9、的 1 , 2 , ,k , 使 1 1 + 2 2 + + k k = 0 成立，,1 1 + 2 2 + + k k + 0 k+1 + 0 k+2 + + 0 m = 0 成立，所以1, 2, , m線性相關(guān)。,則 1, 2, ,s線性相關(guān)的充要條件是 s 元線性齊次方程組 Ax=0 有非零解,其中,定理3.2 設(shè) 1, 2, ,s Fn, 其中,1 = (a11 , a21 , , an1)T,2 = (a12 , a22 , , an2)T, s = (a1s , a2s , ans)T,此定理的等價命題是： 1, 2, , s線性無關(guān)的充要條件是 Ax=0只有零解。,因?yàn)?s 個未

10、知量, n個方程的齊次線性方程組必有非零解， 即 sn 時 Ansx=0 必有非零解。,定理3.3 若向量組1, 2, , r 線性無關(guān) , 而向量組 , 1, 2, , r 線性相關(guān) , 則 可由1, 2, , r 線性表示，且表示法唯一。,證： 由于向量組, 1, 2, , r 線性相關(guān)，所以存在不全 為零的數(shù) , 1 , 2 , ,r 使得, + 11 + 2 2 + + r r = 0,其中 必不等于零(如果 = 0, 則由1, 2, ，r 線性無關(guān) 又得 1 , 2 , , r 全為零，與題設(shè)矛盾), 于是, = 1 1 1 1 2 2 1 r r,則 可由 1, 2, , r 線性

11、表示。,推論. 任意 s 個 n 維向量，當(dāng) sn 時都線性相關(guān)。,故n+1個n維向量必線性相關(guān)。,于是，( b1 c1 )1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r = 0,則 Rn 中任一個向量 可由 1, 2 , , n 線性表示， 且表示法 唯一。 這是因?yàn)?Rn 中任何 n+1個向量都線性相關(guān)。故 1, 2, , n線性相關(guān)，由 定理3.3，向量 可由 1, 2, , n 線性表示，且表示法 唯一。,再證表示法唯一。設(shè)有兩種表示法：, = b11 + b22 + +br r = c11 + c22 + +cr r,而 1, 2, , r線性無關(guān)，所以 bi = ci ( i

12、 = 1, 2, r ),故 由 1, 2, , r 表示是唯一的。,推論 如果1, 2, , n是 Rn 中線性無關(guān)的 n 個向量,例4 (1) a 取何值時，1 = (1, 3, 6, 2)T , 2 =(2, 1, 2, 1)T , 3 =(1, 1, a, 2)T 線性無關(guān)？,解 (1)設(shè)x1 1x2 2x3 30(*),(2) a = 2時，3可否由1, 2 線性表示？若可以，求表示式。,解 (2)設(shè) 3 x1 1x2 2(*),得 x2=4/5 x1=3/5 所以，,例5 若,問：,解,是否線性無關(guān)？,思考：由定理3.2， 若向量組 1, 2, , r線性無關(guān) , 對每一個i 各增

13、加 m個分量得到的向量組1, 2, , r 也線性無關(guān)。其逆否命題是什么？,3.2 向量組的秩及其極大線性無關(guān)組,定義3.6 向量組1, 2 , s中存在 r 個線性無關(guān)的向量： i1, i2 , ir,且任意一個向量均可由它們線性表示,則稱向量組的秩為 r，記 作,秩1, 2 , sr 或 r1, 2 , sr,并稱 i1, i2 , ir是一個極大線性無關(guān)組。,注意：一個向量組的秩是唯一確定的，但它的極大線性 無關(guān)組不是唯一的。例如,1(1, 0); 2(0, 1); 3(1, 2); 4(2, 1),秩1, 2 , 3, 42,其中任意兩個i, j (i, j =1,2,3,4且 ij

14、) 都線性無關(guān)，都是 1, 2 , 3, 4的一個極大線性無關(guān)組。,定義3.7 若向量組 1, 2 , k 中每個向量均可由向量組1, 2 , s線性表示，則稱 1, 2 , k可由向量組1, 2 , s線性表示。如果它們可以互相線性表示，則稱它們等價，記作 1, 2 , s1, 2 , k ,定理3.4 設(shè)向量 1, 2 , s可由另一向量組 1, 2 , r 線性表示。如果 sr, 則 1, 2 , s 線性相關(guān)。 在R3中的幾何背景是：如果1, 2線性無關(guān), 1, 2, 3可由 1, 2 線性表示，則 1, 2, 3都位于 1, 2所確定的平面上, 故 1, 2, 3線性相關(guān)。,證 :

15、設(shè),j = 1, s,再設(shè) x1 1 + x2 2 + xs s = 0,(交換和號順序),推論(1)(定理2.5的等價命題): 若1, 2 , s 線性無關(guān), 則 s r。,故1, 2, s線性相關(guān)。,令,中 i (i = 1, 2, n)的系數(shù)全為零, 即,（i = 1, r）（*）,此式是關(guān)于 x1 , x2 ,xs 的齊次線性方程組，由于 r s （方程個數(shù) 未知數(shù)個數(shù) ), 必有非零解，從而有不全為零的 x1 , x2 ,xs 使 (*) 式成立，即有不全為零的 x1 , x2 , xs 使,x1 1 + x2 2 + xs s = 0,推論(2) 若秩1, 2 , sr, 則 1,

16、 2 , s中任意 r +1 個向量都是線性相關(guān)的。,因?yàn)槿我?r +1個向量都可經(jīng)線性無關(guān)的 r 個向量線性表示。,若秩1, 2 , sr, 則 1, 2 , s中任意 r 個線性 無關(guān)的向量都是 1, 2 , s的一個極大線性無關(guān)組。,推論(3) 若向量組 1, 2 , k 可由向量組 1, 2 , s 線性表示，則 秩1, 2 , k 秩1, 2 , s,證 設(shè) 1, 2 , r和 1, 2 , p 分別是 1, 2 , k 和 1, 2 , s 的一個極大線性無關(guān)組，則,1, 2 , p 線性表示，由推論(1)得r p。,1, 2 , r可經(jīng) 1, 2 , k線性表示。,已知 1, 2

17、 , k,可由 1, 2 , s 線性表示，,又1, 2 , s可經(jīng)其極大線性,無關(guān)組 1, 2 , p 線性表示。因此， 1, 2 , r可經(jīng),推論(4)的逆命題不成立。例如， 1(1, 0，0); 2(0, 1, 0); 3(0, 0, 1) 秩1, 2 =秩 1, 32 但1, 2 和1, 3不是等價向量組。,除掌握秩和極大線性無關(guān)組的定義外，還要掌握秩和極大線性無關(guān)組的求法，以及向量組中的一個向量如何用極大線性無關(guān)組線性表示。 這在下一節(jié)中講。,推論(4) 若向量組1, 2 , k 1, 2 , s，則 秩1, 2 , k秩1, 2 , s,3.3 矩陣的秩 相抵標(biāo)準(zhǔn)形,A的n個列(m

18、個行)向量組成的向量組的秩稱為A的列秩(行秩)。,在階梯形矩陣中，非零行的行數(shù)=A的行秩= A的列秩。,方程 x11 + x2 2 + x3 3 = 0 , 易得只有零解 ，三個行向量 1, 2 , 3 線性無關(guān)，A的行秩=3。,方程y11 + y3 3 + y4 4= 0 也只有零解 ，三個列向量1, 3 , 4線性無關(guān)，且任意4個列向量線性相關(guān)。所以 A的列秩=3。,定義3.8 矩陣A=(aij)mn的每一列(行)稱為A的一個列(行)向量。,A的列秩 n；A的行秩 m,1.矩陣的行秩=列秩=矩陣的秩,(3) 將A的第i行乘常數(shù)c加到第j行得到B，則B的行向量組 1, ,j , m為 j=c

19、i+j ; k=k (kj)。相應(yīng)地 也有j=jci ; k=k (kj)。因此A與B的行向量組可以 互相線性表示（等價）。所以A與B的行秩相等。,定理3.5 初等行（列）變換不改變矩陣的行（列）秩。,證：只需證明作一次倍乘，倍加和對換行變換， A的行秩不變。設(shè)mn矩陣A的m個行向量為1, 2 , m。,將A的第 i, j 行對換得到B, 則B與A的行向量組相同（只 是排列順序不同），故A, B的行秩相等。,將A的第 i 行乘非零常數(shù) c 得到B, 則B的行向量組為 1, i-1, ci , i+1, m，它與A的行向量組等價。 因此 A與B的行秩相等。,所以，初等行變換不改變矩陣的行秩。同理

20、，初等列變換不改變矩陣的列秩。,這個定理給出了求向量組的秩及其極大線性無關(guān)組的一個簡單而有效的方法。,定理3.6 對矩陣A作初等行變換化為B, 則A與B的任何對應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性。即,則向量組 i1, i2 , ri 與 i1, i2 , ir （1i1 i2 ir s),有相同的線性相關(guān)性。,證：對A做行變換化為B，即 B =PkP2P1A, 其中 PkP2P1 為若干初等矩陣的乘積，記 P= PkP2P1(P可逆)， 則,PA= B 或 Pj =j , j=1,2,s,記A1= i1, i2 , ir , B1= i1, i2 , ir , 則,齊次線性方程組A1x=0 與 B

21、1x =0 (即PA1x=0）為同解方程組。,所以，A1 與 B1的列向量組有相同的線性相關(guān)性。,推論：對矩陣A做初等行變換，不改變A的列秩。,例1 求向量組 1,2, ,5的秩及其一個極大線性無關(guān)組, 并將其余向量用極大線性無關(guān)組線性表示。其中 1=(1,1,0,0), 2=(1,2,1,1) , 3=(0,1,1,1)， 4=(1, 3, 2, 1), 5=(2, 6, 4,1) (i為行向量),解：對A=1T, 2T ,3T, 4T, 5T (將 i 豎排)作初等行變換，將其化為階梯形矩陣U，即,記階梯形矩陣U=1, 2, 3, 4, 5 。U中每個非零行第一個非零元所在的第1, 2,

22、4列 線性無關(guān)， 所以， 1, 2, 4 是U的一個極大線性無關(guān)組， 從而， 1T, 2T, 4T 是A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組。即 1, 2, 4 是 1， 2，3， 4 ， 5 的一個極大線性無關(guān)組。,(1) 設(shè) x11+x2 2= 3，此非齊次方程組的增廣矩陣為 1， 2， 3，用高斯消元法（初等行變換）化為U中的 前三列，其同解方程組為,x1x20, x21，解得：x1 x2 =1。所以， 31+2 。,(2) 設(shè) x1 1+x2 2+x4 4= 5，同理，方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為U中的第1，2，4，5列,得同解方程組,3, 5 可以用1, 2, 4 線性表示，做法如下：

23、,3, 5 用 1, 2, 4線性表示的另一個做法如下：,設(shè) x11T+x2 2T+x3 3T +x4 4T+x5 5T= 0,此齊次方程組的系數(shù)矩陣A用初等行變換化為U，對U再做行變換得U 1 。,其同解方程組為,由定理3.5 和定理3.6的推論 得,定理3.7 初等變換不改變矩陣的行秩和列秩。,定理3.8 矩陣A的行秩= A的列秩。,證：對A做初等行變換，將其化為階梯形矩陣U，則 A的行秩= U的行秩= U的列秩= A的列秩,定義3.8 A的行秩= A的列秩, 統(tǒng)稱為A的秩，記作秩(A)，或 r(A). 對n 階矩陣A ， r(A)= n時稱為滿秩矩陣。,定理3.9 n 階矩陣A ， r(

24、A)= n 的充要條件是A為非奇異矩陣（即 A 0）。,證：若 r(A)=n，則對A做初等行變換，將其化為階梯 形矩陣U ，則 U 有n個非零行，可以繼續(xù)化為單位矩陣 I , 即 存在可逆矩陣 P 使得 PA=I 。,所以， PA = P A =1, 故 A 0。,若 A 0 ，則 A x=0 只有零解 x= A10 =0,A的n個列向量線性無關(guān)，故 r(A)= n。,矩陣A若存在 r 階非零子式且所有 r +1 階子式都等于零，則矩陣A的非零子式的最高階數(shù)為 r（因?yàn)橛尚辛惺降恼归_可知更高階的子式也都等于零），并稱r為A的行列式的秩。,定義3.9 矩陣A=(aij)mn 的任意k行 (i1i

25、2ik行)和任意 k列 (j1j2jk列) 的交點(diǎn)上的 k2 個元素排成的行列式,稱為矩陣 A 的一個 k 階子式 (k 階子式)。 等于零的 k 階子式, 稱為 k 階零 子式, 否則叫做非零子式。 當(dāng) jt= it ( t =1,2, , k ) 時，稱為 A 的 k 階主子式。,2. 矩陣的行列式的秩=矩陣的秩,定理3.10 秩(A)=r的充要條件是A的非零子式的最高階數(shù)為r 。,證必要性。設(shè)秩(A)= r,不妨設(shè)A的前 r行線性無關(guān)。記,充分性。不妨設(shè)A的左上角 r 階子式| Ar|0，則 Ar可逆, Ar 的 r個行向量線性無關(guān), 添分量成為 A1 的行向量組也線性無關(guān)。而A中任何

26、r +1 行線性相關(guān)（否則，由必要性的證明可知A中存在r +1階非零子式）。,A的任意 r +1個行向量線性相關(guān)， 所以 A的任意 r +1階子式都等于零(*)。由(*)和(*)得A的行列式的秩為 r.,A1 =Ar B,其中Ar是 r 階方陣, r(A1)= r。,不妨再設(shè)A1的前 r 列向量線性無關(guān), 即 r(Ar)=r, 故 | Ar|0. 即 存在一個 r 階子式不等零（*），,故 矩陣A的行秩=秩(A)= r。,3. 矩陣的秩的性質(zhì),(1) 對任意的Amn，都有: 秩(A) minm,n 和 秩(AT)=秩(A)。,秩(A+B) 秩(A)+秩(B)。 證： 設(shè) Amn =1, 2,

27、n, Bmn =1,2, ,n , 秩(A) =p, 秩(B)=q， 1, , n和 1, ,n的極大線性無關(guān)組 分別為1, , p和 1, ,q ，則 A+B=1+ 1, 2+ 2, , n +n A+B的列向量組可以由向量組1, 2, n, 1, ,n線性 表示。所以，r(A+B) r(1, 2, n, 1, ,n) p+q。,(3) 秩(AB) min秩(A),秩(B)。,證：設(shè) A， B 分別是 mn 和 ns 矩陣，A依列分塊有,(4) 設(shè)A為 mn 矩陣， P 和 Q 分別是 m 和 n 階可逆矩陣, 則 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 證: 秩(PA)秩(A),

28、由 P1 (PA)= A ，得: 秩(A)秩(PA) 所以 秩(PA)=秩(A) ; 同理可證明其他情形。 或利用:可逆矩陣可表示為若干初等陣的乘積，初等陣左(右)乘A是對A作初等行(列)變換，初等變換不改變矩陣的秩。,AB的列向量組可以由A的列向量組1, , n線性表示。 所以， r(AB) = AB的列秩 A的列秩= r(A) 類似地，對B依行分塊，可以證明r(AB) r(B)?；蚶?r(AB) = r(AB)T ) = r(BT A T) r(BT) = r(B),例2 設(shè)A為 mn 矩陣，且 mn，證明：|ATA |=0。 證：由于秩(ATA)秩(A) minm,n=mn，而 AT

29、A是 n 階矩陣，故 AT A 是不可逆矩陣，于是 | AT A |=0。,4. 矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相抵關(guān)系( ) 是一個等價關(guān)系。具有性質(zhì)： (1)反身性， 即A A ; (2)對稱性：若A B，B A； (3)傳遞性：若A B, B C, 則A C。,定義3.10 設(shè) A是 mn 矩陣， A 經(jīng)過初等變換化為 B (或存在可逆矩陣 P 和 Q, 使得 PAQ=B），就稱A相抵于B (或A等價于B)，記作 A B .,定理 3.11 若 秩(Amn)= r，則一定存在可逆矩陣P (m階）和Q（n階）使得,證： A可以經(jīng)一系列行初等變換化為階梯形矩陣Ur，即存在初等陣P1 ,.P2, Ps,

30、使得. Ps P2P1 A= Ur , 再對 Ur 做倍加列變換和列對換,即存在初等陣Q1 ,.Q2, ,Qt，使得,其中Ir 為r階單位矩陣。,UrQ1 Q2 Qt = U 令Ps P2P1 =P， Q1 Q2 Qt =Q (P,Q均可逆) ，則,稱矩陣U為A 的相抵(或等價)標(biāo)準(zhǔn)形。所有秩為r 的mn矩陣都相抵于U 。,*例3 設(shè)A是mn矩陣(mn), 秩(A) = n. 證明：存在nm矩陣B, 使BA=In. 證：A是mn矩陣，秩(A) = n, 則存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q, 使得,則,其中01是(mn)n零矩陣; 02是n (mn)零矩陣。,故存在nm矩陣B=CP, 使BA=

31、In 。,解: 若a=1, 則A的各行成比例，r(A)=1。所以，排除a=1。,例4. 設(shè)n 階矩陣(n3),若矩陣A的秩為n 或 n 1，則a必為_。,(1) 若 k = 1+(n 1)a 0 即,第一列乘,再將各行減去第一行，得到,可知 a1且,時， r(A)=n。,利用初等變換不改變矩陣的秩，將A的各列加到第一列。,(2) 若,所以，r(A)= n 1。,即 k = 1+(n1)a =0。 A的各列加到第1列。,再將第2， n行各行都減去第1行,再將第2， ,n行各行都乘,加到第1行，將第1行化為全零行,例5. 設(shè),已知r(A)=2, 求t。,解：,利用初等變換不改變矩陣的秩，將A化為B

32、。,B中第2，3行成比例,3.4 齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu),1.齊次線性方程組有非零解的充要條件,以Amn為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 Ax=0 當(dāng)A按列分塊為 A=(1, 2 , n), 列向量 x=x1, x2, xn T 時， 方程組表示為向量方程：,x1 1 + x2 2+ xn n=0。,定理3.12 齊次線性方程組Ax=0 有非零解的充要條件是,r(A)=r( 1, 2 , n) n ，或 1, 2 , n線性相關(guān)。,當(dāng)r(A)=r時，對A做初等行變換，可化為行階梯形矩陣,Ax=0 與Ux=0為同解方程組,有非零解的充要條件:rn 。,推論1： A為mn矩陣, A x=

33、0 只有零解的充要條件:r=n。,推論2： A為n階矩陣時, A x=0 有非零解的充要條件:A =0。,證： 設(shè) B =(b1, b2, bn)， AB=0, 即 A (b1, b2, bn)= (A b1, A b2, A bn)=(0,0, , 0)。,例1 設(shè)A是n階矩陣，證明：存在ns矩陣B0,使得AB=0 的充要條件是:A =0。,A bi=0（ i=1,2, , n) 意味著B的每一列都是A x=0 的解。 由 B0，即A x=0 有非零解。所以，A =0。,反之，若A =0， A x=0有非零解。取非零解為 B 的 s 個 列向量。則 B 0, 且AB=0。,2. 齊次線性方程

34、組解的結(jié)構(gòu),定理3.13 齊次線性方程組A x=0 的任意兩個解x1，x2 的 線性組合k1 x1+k2 x2(k1 ,k2 為任意常數(shù)) 也是它的解。,證：因?yàn)锳(k1 x1+k2 x2)= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0。,定義3.13 設(shè) x1, x2, xp 是Ax=0 的解向量，且Ax=0 的 任意一個解向量都可由 x1, x2, xp 線性表示，則稱 x1, x2, xp為Ax=0的一個基礎(chǔ)解系。,基礎(chǔ)解系的任意線性組合也都是Ax=0的解，稱,證：對A作初等行 變換，化為行簡 化階梯形矩陣， 不妨設(shè)為U，,3. 求Ax=0 的基礎(chǔ)解系的常用方法,定理3.14

35、 設(shè)A是mn矩陣，r(A)=rn, 則齊次線性方程組,Ax=0 與U x=0為 同解方程組。,x= k1x1+ k2x2+ kpxp,(其中k1, k2,kp 為任意常數(shù)）為Ax=0的一般解（通解）,Ax=0 存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系包含 nr 個解向量。,Ux=0，即,選xr+1, xr+2, , xn為自由未知量，對它們?nèi)∠铝衝 r 組值 (1,0, ,0) , (0,1, ,0) , ， (0,0, ,1) 再分別代入(*)，即可得到Ax=0 的n r個解： x1=( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T x2=( c1,r+2, c2,r+2, ,

36、 cr,r+2, 0, 1, , 0)T x n-r = ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T 這 n r個解顯然是線性無關(guān)的（增加分量不改無關(guān)性），,(*),再證Ax=0 的任意一個解向量都可由 x1, x2, xn-r 線性表示。,且 x*= k1 x 1+ k2 x 2+kn-r xn-r 也是Ax=0的解。,Ax=0 的任意一個解向量 x ，可取自由未知量xr+1, xr+2, , xn和任意常數(shù) k1, k2, kn-r, 代入(*)得 x=（ d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T,所以 x1, x2, xn-r 是齊次線性方程組Ax

37、=0 的基礎(chǔ)解系。,x- x*也是Ax=0的解。,x x*=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T (k1 x 1+ k2 x 2+kn-r xn-r ),是自由未知量 xr+1, xr+2, , xn 全部取0時的解，此時由(*)得 x1 = = xr =0， 即 d1*= d2 *= dr *=0，所以， x x*=0，即,x =x*= k1 x1+ k2 x2+kn-r xn-r可由 x1, x2, xn-r 線性表示。,=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T, k1 ( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T,

38、k2 ( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1, , 0)T kn-r ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T,= (d1*, d2 *, dr *,0, 0, 0)T,Ax=0 的基礎(chǔ)解系不是唯一的，但基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)一 定是n r。任意一個基礎(chǔ)解系的線性組合都是Ax=0 的通解。,例2求方程組 Ax=O 的基礎(chǔ)解系和一般解。其中,Ax=0的一般解為： x = k1 x1+k2 x2，即 x = k1(3,1,0,0,0)T + k2(7,0, 2,0,1)T,解 對A做初等行變換，將 A化為行簡化階梯形矩陣U。,選x1, x3,

39、x4為主元，x2, x5為自由未知量，,取x2=0, x5 =1，得x2=(7,0,2,0,1)T,x1，x2 為Ax=0 一個基礎(chǔ)解系。,取x2=1, x5 =0 得 x1=(3,1,0,0,0)T。,r(A)=3, n-r=2,（k1，k2為 任意常數(shù)）,r(B)秩 1, 2 , s nr(A), 即 r(A)+r(B)n,證：記 B=(1, 2 , s) （i 為B的第 i 列向量）。,例3 若AmnBns=0, 則 r(A)+r(B)n。,由AB=0 ，得 Ai=0 (i=1, s), 即1, 2 , s都是Ax=0的解，,又Ax=0 的基礎(chǔ)解系含nr(A) 個解，即 Ax=0 的任意

40、一組解,中至多包含 nr(A) 個線性無關(guān)的解，所以，,設(shè)(ATA) x=0 (xRn)，則 xT(ATA) x= 0 ，即 (Ax)TAx= 0 。 令A(yù)x= (b1, b2 , bm) Rm（實(shí)向量），則 (Ax)TAx= b12+ b22 +bm2= 0 ，故必有b1=b2 = bm =0 ，,*例4 設(shè)A是mn實(shí)矩陣，證明：r(AT A)=r(A)。,證： 由秩的性質(zhì)知 r(ATA) r(A)，只需證明 r(ATA) r(A)。,只要證明： ATAx=0的解集合包含于 Ax=0 的解集合。,即Ax=0 。因此， ATAx=0的解必滿足方程Ax=0，所以， n r(ATA) n r(A)

41、, 即 r(ATA ) r(A)。,例5. 設(shè)r(Bm3)=2, ( m3),問：,（1）a, b 滿足什么條件時，將確保r(AB) =2; （2）A, B 滿足什么條件時， r(AB) =1。,解：(1) 當(dāng)|A|=ab10 時，A滿秩（可逆）, r(AB)= r(B)=2。,(2)當(dāng)|A|=ab1=0 時， A不可逆, r(A)=2 (因A中有兩列不成比例)。,由 r(Bm3)=2，不妨設(shè)B=（x1, x2, x3）。,若AB =（Ax1, Ax2, Ax3）=（0, 0, ）, 其中 0 ，則 r(AB) =1。,即 x1, x2 是Ax=0 的解，而 x3 不 是Ax=0 的解。 由r

42、(A)=2 知：x1, x2成比例(基礎(chǔ)解系僅含一個解向量）。,但 x3, x2不成比例（否則x3 也是A x=0 的解，矛盾）。此時， r(B)= rx1, x2, x3=2,所以，當(dāng)A, B 滿足： ab=1 ， B 的列向量中有兩列 是 A x=0 的解且 另一列不 是Ax=0 的解時， r(AB) =1。,3.5 非齊次線性方程組有解的條件及解的結(jié)構(gòu),設(shè) A=(1, 2, n), 則Ax=b 等價于向量方程 x11 + x2 2,+xn n=b Ax= b有解，即 b可經(jīng)A的列向量線性表示。所以，,秩 (1, 2, n，b)= 秩 (1, 2, n),定理3.15 對于非齊次線性方程組

43、Ax=b ，下列命題等價: (1)Ax= b有解(或相容); (2)b可由A的列向量組線性表示; (3) r(A,b)= r(A), 即增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。,即 r(A, b) = r(A),Ax=b 與 Cx=d 為同解方程組， Ax=b 有解 dr+1=0,又 r(C, d) = r(A, b) ； r(C) = r(A)，所以， Ax=b 有解 r(A, b) = r(A),r(C, d) = r(C),推論：Ax=b 有唯一解 r(A, b) = r(A)= n (A的列數(shù))。,因b由A的列向量組線性表示，且表示法唯一的的充要條件是 A的列向量組 1, 2, n線性無關(guān)，即秩

44、1, 2, n=n。,證： A(x1x2) = A x1 A x2 = b b = 0。,定理3.16 若 x1, x2 是A x=b 的解，則 x1x2 是對應(yīng)的 齊次線性方程組A x=0 的解。,可以表示為 x* x0 = k1x1 + k2x2 + kpxp 。 因此, x* = x0 +(x* x0 )可以表示為x = x0 +x 的形式， 即是A x = b 的一般解。,定理3.16 若A x = b 有解，則其一般解為 x = x0 +x, 其中x0 是A x = b 的一個特解（某一個解）； x = k1x1 + k2x2 + kpxp 是A x = 0 （稱為A x = b 的

45、導(dǎo)出組）的一般解。,證：由A(x0 +x,)= A x0+ A x= b, 所以，x0+x 是A x = b 的解，,設(shè) x* 是A x = b 的任意一個解，則 x* x0 是A x= 0 的解。,取 x2= x4= x5=0 代入Ux = d，求得 Ax = b 的一個特解 x0=(1/3, 0, 1/3, 0, 0)T 取自由未知量 x2, x4, x5 的三組數(shù) (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) 并依次代入Ux = 0，得 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系： x1=(1, 1, 0, 0, 0)T, x2=(1/3, 0, 2/3, 1, 0)T, 也可取為

46、x2* =(1, 0, 2, 3, 0)T, x3=(2/3, 0, 1/3, 0, 1)T,也可取為 x3*=(2, 0, 1, 0, 3)T,例1 設(shè)非齊次線性方程組Ax = b 的增廣矩陣為,試求Ax = b 的一般解。,解,x = x0 + k1 x1+ k2x2*+ k3x3* = (1/3, 0, 1/3, 0, 0)T + k1(1, 1, 0, 0, 0)T +k2(1, 0, 2, 3, 0)T+ k3(2, 0, 1, 0, 3)T (k1, k2, k3為任意常數(shù)) 為Ax = b 的一般解。,解法1 用初等行變換將增廣矩陣化為階梯陣。,例2 設(shè)線性方程組,就參數(shù) a,

47、b ，討論方程組的解的情況，有解時并求出解。,(2) 當(dāng)a=1, 且14b+2ab=12b=0，即 b=1/2 時，有無窮多解,(1) 當(dāng)（a1) b 0時，有唯一解,(4)當(dāng) a1, b=0時， D =0, r(A)=2, r(A, b)=3, 無解。,(3) 當(dāng)a=1, b1/2 時， 14b+2ab 0, 方程組無解。 (4) 當(dāng)b=0 時，14b+2ab = 1 0 時,方程組無解。 （原方程組中后兩個方程是矛盾方程）,于是方程組的一般解為 x = (2, 2, 0)T + k(1, 0 ,1)T (k為任意常數(shù)）,a=1, b=1/2 時，化為,解法2,系數(shù)行列式,(1) 當(dāng)（1 a) b 0時，D0，方程組有唯一解。,(2) 當(dāng)a=1, b=1/2 時， D =0 ，r(A)= r(A,b)=2,有無窮多解。,(3) 當(dāng)a=1, b 1/2 時， D =0 ， r(A)=2, r(A,b)=3,無解。,例 證明：若x0 是Ax = b 的一個特解，x1, xp 是 Ax = 0的基礎(chǔ)解系，則 x0, x0+x1, x0 +x2, x0+xp 線性無關(guān) 且 Ax = b 的任一個解 x 可表示為 x= k0 x0 + k1(x0+x1) + k2(x0 +x2) + + kp(x0+xp ) 其中k0+ k1 + k2+ +kp=1 。 證： 設(shè) c0 x0 + c1(