1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1、11導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義,文宮中學(xué)： 謝鴻華,瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度。,在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t(單位：s )存在函數(shù)關(guān)系h=-4.9t2+6.5t+10,求2時(shí)的瞬時(shí)速度？,新課學(xué)習(xí),思考： t在2,2.1內(nèi)的平均速度是多少？ t在2,2.01內(nèi)的平均速度是多少？ t在2,2.001內(nèi)的平均速度是多少？ t在2,2.0001內(nèi)的平均速度是多少？ t在2,2.00001內(nèi)的平均速度是多少？,t0時(shí)，從2s到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度,t0時(shí)，從(2+t)s到2s這段時(shí)間內(nèi)平均速度,當(dāng)t = 0.01時(shí),當(dāng)t = 0.01時(shí),當(dāng)t =

2、0.001時(shí),當(dāng)t =0.001時(shí),當(dāng)t = 0.0001時(shí),當(dāng)t =0.0001時(shí),t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,當(dāng)t趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢(shì)?,當(dāng) t 趨近于0時(shí), 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時(shí), 平均速度都趨近與一個(gè)確定的值 13.1。,從物理的角度看, 時(shí)間間隔 |t |無限變小時(shí), 平均速度就無限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此, 運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的瞬時(shí)速度是 13.1m/s。,跳水運(yùn)動(dòng)員在t0到t0+t時(shí)刻內(nèi)的平均速度：,跳水運(yùn)動(dòng)員在t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度：,函

3、數(shù)f(x)從 到 的平均變化率,函數(shù)f(x)在 處的瞬時(shí)變化率為,導(dǎo)數(shù)的定義,例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: )為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第2h和第6h, 原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說明它們的意義.,解: 在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是,和,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,求導(dǎo)數(shù)的步驟：,(1)求平均變化率,(2)取極限得導(dǎo)數(shù),牛頓,萊布尼茨,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如圖,函數(shù)y= f(x)的圖象上有任意一點(diǎn)P(x0,y0),Q為P在曲線C上鄰近的一點(diǎn),Q(x0+x,y0

4、+y),P,Q,割線,切線,T,當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近,x0,割線PQ有一個(gè)極限位置PT. 我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.,曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義為：函數(shù)在該點(diǎn)處切線的斜率。即,練一練,1、求函數(shù)f(x)=x2在x=3處的導(dǎo)數(shù)。,2、,1、求函數(shù)f(x)=x2在x=3處的導(dǎo)數(shù)。 解：,2、 解：,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為-1，且切線經(jīng)過點(diǎn)（1,1）。由點(diǎn)斜式得，f(x)在x=1處切線的方程為 y=-x+1,小結(jié),導(dǎo)數(shù)概念的形成過程,平均速度,平均變化率,瞬時(shí)變化率,瞬時(shí)速度,導(dǎo)數(shù),由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的三種方式,解析式抽象,幾何直觀感受,數(shù)值逼近,馬克思曾對(duì)微積分作過一番歷史考察，他把這一時(shí)期稱為“神秘的微積分”時(shí)期，并有這樣的評(píng)論：“于是，人們自己相信了新發(fā)現(xiàn)的算法的神秘性。這種算法肯定是通過不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的（而且在幾何應(yīng)用上是驚人的）結(jié)果。人們就這樣把自己神秘化了，對(duì)這新發(fā)現(xiàn)的評(píng)價(jià)更高了，使一群舊式正統(tǒng)派數(shù)學(xué)家更加惱怒，并且激起了敵對(duì)的叫囂，這