八年級數學上冊 15.4 因式分解（第2課時）教案 新人教版

1、15.4因式分解（2）完全平方公式 教學目標 （一）教學知識點 1完全平方公式的推導及其應用 2完全平方公式的幾何解釋 （二）能力訓練要求 1經歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力 2重視學生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學生的思維條理性和表達能力 （三）情感與價值觀要求 在靈活應用公式的過程中激發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學重點 完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋，靈活應用 教學難點 理解完全平方公式的結構特征并能靈活應用公式進行計算 教學方法 自主探索法 有了平方差公式的學習基礎，學生可以在教師引導下自主探索完全平方公式，最后達到靈活、準確應用公式的

2、目的 教具準備 投影片 教學過程提出問題，創(chuàng)設情境 師請同學們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊塘， （1）第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數與前兩天他們得到的糖果總數哪個多？多多少？為什么？ 生（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖 （2）第二天老人一共給了這些孩

3、子b2糖 （3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖 （4）孩子們第三天得到的糖塊總數與前兩天他們得到的糖塊總數比較，應用減法即： （a+b）2（a2+b2） 我們上一節(jié)學了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現在遇到了兩個數的和的平方，這倒是個新問題 師老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題導入新課 師能不能將（a+b）2轉化為我們學過的知識去解決呢？ 生可以我們知道a2=aa，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉化成多項式與多項式的乘積了 師像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運算結果有什么規(guī)律 （出示投影片） 計算下列各式，你能發(fā)現什么規(guī)

4、律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ 生甲（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p（-1）+（-1）p+（-1）（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m（-2）+（-2）m+（-2）（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（

5、a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 生乙我還發(fā)現（1）結果中的2p=2p1，（2）結果中4m=2m2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認為它可以做公式用 師大家分析得很好可以用語言敘述嗎？ 生兩數和（或差）的平方等于這兩數的平方和再加（或減）它們的積的2倍 生它是一個完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 師很有道理它和平方差公式一樣，使整式運算簡便易行于是我們得到完全平方公式： 文字敘述：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方

6、和，加（或減）它們的積的2倍 符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 其實我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 （出示投影片）你能根據圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？ 生甲先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b 生乙還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和 生丙陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）

7、2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式 生丁那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（2）的幾何意義了 如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 師數學源于生活，又服務于生活，于是我們可以進一步理解完全平方公式的結構特征

8、現在，大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子的問題了 （a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數比前兩天他們得到的糖果總數多2ab塊 應用舉例： 出示投影片： 例1應用完全平方公式計算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 例2運用完全平方公式計算： （1）1022 （2）992 分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步準確代入公式；第三步化簡 例1解： （1）（4m+n）2=（4m）2+24mn+n2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法

9、一： （y-）2=y2-2y+（）2 （a-b）2=a2-2ab+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =y+（-）2=y2+2y（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2（-a）b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從（3）、（4）的計算可以發(fā)現： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 例2解：（1）1022=（100+2）2 =1002+21002+22 =10000+400+4 =10404 （2）992=（100-1）2 =1002-21001+12 =

10、10000-200+1 =9801 師請同學們總結完全平方公式的結構特征 生公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍 師說得很好，我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數字、字母或其他代數式，只要符合公式的結構特征，就可以運用這一公式隨堂練習 課本練習1、2課堂小結（略）課后作業(yè) 課本習題1542、4、7題三級訓練 板書設計 15421 完全平方公式（一） 一、1提出問題：（a+b）2-a2+b2=？ 2探究公式：（ab）2=a22ab+b2 3完全平方公式的幾何意義： 二、應用舉例：利用完全平方公式計算：

11、例1（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 例2（1）1022 （2）992 三、鞏固練習 四、小結 完全平方公式（二） 教學目標 （一）教學知識點 1添括號法則 2利用添括號法則靈活應用完全平方公式 （二）能力訓練目標 1利用去括號法則得到添括號法則，培養(yǎng)學生的逆向思維能力 2進一步熟悉乘法公式，體會公式中字母的含義 （三）情感與價值觀要求 鼓勵學生算法多樣化，培養(yǎng)學生多方位思考問題的習慣，提高學生的合作交流意識和創(chuàng)新精神 教學重點 理解添括號法則，進一步熟悉乘法公式的合理利用 教學難點 在多項式與多項式的乘法中適當添括號達到應用公式的目的 教學方法 引導探究相結合 教師由去括號法則引入添括

12、號法則，并引導學生適當添括號變形，從而達到熟悉乘法公式應用的目的 教具準備 投影片（或多媒體課件） 教學過程提出問題，創(chuàng)設情境 師請同學們完成下列運算并回憶去括號法則 （1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c） 生解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括號法則： 去括號時，如果括號前是正號，去掉括號后，括號里的每一項都不改變符合；如果括號前是負號，去掉括號后，括號里的各項都改變符合 也就是說，遇“加”不

13、變，遇“減”都變 師4+5+2與4+（5+2）的值相等；4-5-2與4-（5+2）的值相等所以可以寫出下列兩個等式： （1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2） 左邊沒括號，右邊有括號，也就是添了括號，同學們可不可以總結出添括號法則來呢？ （學生分組討論，最后總結） 生添括號其實就是把去括號反過來，所以添括號法則是： 添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號 也是：遇“加”不變，遇“減”都變 師能舉例說明嗎？ 生例如a+b-c，要對+b-c項添括號，可以讓a先休息，括號前添加號，括號里的每項都不改變符號，也

14、就是+（+b-c），括號里的第一項若系數為正數可省略正號即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括號前添減號，括號里的每一項都改變符號，+b改為-b，-c改為+c也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）添加括號后，無論括號前是正還是負，都不改變代數式的值 師你說得很有條理，也很準確 請同學們利用添括號法則完成下列練習： （出示投影片） 1在等號右邊的括號內填上適當的項： （1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2判斷下列運算是否正確 （1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2

15、a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5） （學生嘗試或獨立完成，然后與同伴交流解題心得教師遁視學生完成情況，及時發(fā)現問題，并幫助個別有困難的同學） 總結：添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號，還是去括號，運算前后代數式的值都保持不變，所以我們可以用去括號法則驗證所添括號后的代數式是否正確 導入新課 師有些整式相乘需要先作適當的變形，然后再用公式，這就需要同學們理解乘法公式的結構特征和真正內涵請同學們分組討論，完成下列計算 （出示投影片） 例：運用乘法公式計算 （1）（x+2y-3）（x-2y+3

16、） （2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3） （讓學生充分討論，鼓勵學生用多種方法運算，從而達到靈活應用公式的目的） 分析：（1）是每個因式都是三項和的整式乘法，我們可以用添括號法則將每個因式變?yōu)閮身椀暮?，再觀察到2y-3與-2y+3是相反數，所以應在2y-3和-2y+3項添括號，以便利用乘法公式，達到簡化運算的目的 （2）是一個完全平方的形式，只須將a+b+c中任意兩項結合添加括號變?yōu)閮身椇?，便可應用完全平方公式進行運算 （3）是完全平方公式計算，也可以逆用平方差公式計算 （4）完全平方公式計算與多項式乘法計算，但要注意運算順序，減號后面的積算出來一定先放在括號里，然后再用去括號法則進行計算，這樣就可以避免符號上出現錯誤隨堂練習課時小結 通過本節(jié)課的學習，你有何收獲和體會？ 生我們學會了去括號法則和添括號法則，利用添括號法則可以將整式變形，從而靈活利用乘法公式進行計算 生我體會到了轉化思想的重要作用，學數學其實是不斷地利用轉化得到新知識，比如由繁到簡的轉化，由難到易的轉化，由已知解決未知的轉化等等 師同學們總結得很好在今后的學習中