勾股定理經(jīng)典例題.ppt

1、勾 股 定 理,1,a2+b2=c2,勾 股 定 理,2,知識要點： 1. 勾股定理：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、 b，斜邊為c，那么一定有,2.勾股定理逆定理： 直角三角形的判定：如果三角形的三邊長a、 b、 c有關(guān)系：,，那么這個三角形是直角三角形。,a2+b2=c2,a2+b2=c2,A,B,C,螞蟻從A點經(jīng)B到C點的最少要爬了多少厘米？,G,E,3,4,5,12,5,13,（小方格的邊長為1厘米）,練習(xí)1:,.勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2 中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解

2、題速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25;等 用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)： （n為正整數(shù)）； （n為正整數(shù)）； （n為正整數(shù)）；,練習(xí)2:,題型一：直接考查勾股定理,例一. 在,中，,已知,，,求,已知,，,，求,分析：直接應(yīng)用勾股定理,的長,的長,利用對角對邊，分清直角邊，斜邊,練習(xí)3:,解：,代王中學(xué)教學(xué)課件,例題2 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？,題型二：利用勾股定理測量長度,分析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直

3、接利用勾股定理！,解：根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152, 所以AC2=144 ,所以AC=12,練習(xí)4:,例題3 如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？,例題4“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過24km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？,例題

4、5 如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.,練習(xí)5:,解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2 設(shè)水深A(yù)C= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2 解之得x=2. 故水深為2米.,代王中學(xué)教學(xué)課件,例題6 、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析：設(shè)此直角三角

5、形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2202 化簡得x216； 直角三角形的面積,3x4x6x296,總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。,例題7、一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?,練習(xí)6:,代王中學(xué)教學(xué)課件,【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H,解：OC1米 (大門寬度一半)， OD0.8米 （卡車寬度一半） 在RtOCD中，由勾股定理

6、得： CD,.米， C. .（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門,=,（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題 例題8 、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了,到達(dá)B點，然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點。 （1）求A、C兩點之間的距離。 （2）確定目的地C在營地A的什么方向。,類型三：勾股定理的實際應(yīng)用,練習(xí)7:,解析：（1）過B點作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC為直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=,由勾股定理可得：,所以,（2）在RtABC中， BC=5

7、00m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即點C在點A的北偏東30的方向,代王中學(xué)教學(xué)課件,（二）用勾股定理求最短問題,例題9如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程,練習(xí)8:,解：,如圖，在Rt中，底面周長的一半cm， 根據(jù)勾股定理得 AC,（cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm,代王中學(xué)教學(xué)課件,利用勾股定理作長為 的線段,練習(xí)9:,例、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。,思路點撥：要判斷ABC的形狀，需要

8、找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題,練習(xí)10:,解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。,代王中學(xué)教學(xué)課件,【變式】在數(shù)軸上表示,的點。,看作是直角

9、三角形的斜邊，,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為,。,解析：可以把,練習(xí)11:,四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。,練習(xí)12:,【答案】：連結(jié)AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理）,2、如圖，公路MN和

10、公路PQ在點P處交匯，且QPN30，點A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？,練習(xí)13:,思路點撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。,解析

11、：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， AB AP80。,（在直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半） 點 A到直線MN的距離小于100m, 這所中學(xué)會受到噪聲的影響。,同理，拖拉機(jī)行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。,如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC

12、21002-8023600, BC60。,如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。,思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD,練習(xí)14:,解：連接AD 因為BAC=90，AB=AC 又因為AD為ABC的中線， 所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因為EDA+ADF=90 又因為CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA） 所以AE=FC=5

13、 同理：AF=BE=12 在RtAEF中，根據(jù)勾股定理得：,，所以EF=13。,如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。,練習(xí)15:,16、已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為_ A 6cm2 B 8cm2 C 10cm2 D 12cm2,練習(xí)16:,17、直角三角形的面積為,，斜邊上的中線長為,，則這個三角形周長為（ ）,（B）,（C）,（D）,（A）,c,練習(xí)18:,解：設(shè)兩直角邊長為X和Y 因斜邊上的中位線為d 則斜邊長為2d 則X+Y（2d）4d 因三角形的面積為S 則XY/2S XY2S 則（X+Y）X+Y+2XY4d+4S4（d+S） X+Y2（d