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文檔簡介
1、“直接證明與間接證明”知能闡釋一、要點透析1綜合法一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法。用表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:應(yīng)用綜合法時,應(yīng)從命題的前提出發(fā),在選定了真實性是無可爭辯的出發(fā)點以后(它基于題設(shè)或已知的真命題),再依次由它得出一系列的命題(或判斷),其中每一個都是真實的(但它們并不一定都是所需求的)且最后一個必須包含我們要證明的命題的結(jié)論時,命題得證。并非一上來就能找到通達(dá)命題結(jié)論的思路,只是在證明的過程中對每步結(jié)論進(jìn)行分析、推敲、比較、選擇后才
2、能得到。當(dāng)然,在較多地積累一些經(jīng)驗,掌握一些證法之后,可較為順利地得到證明的思路。 2分析法一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法。 用表示要證明的結(jié)論,則分析法可用框圖表示為:得到一個明顯成立的條件應(yīng)用分析法時,并非一開始就確信由結(jié)論出發(fā)所產(chǎn)生的那些判斷(或命題)都正確,各個推理步驟及依次考慮的概念、定理、法則等都合適。這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關(guān)系,因而需要從這些關(guān)系中逐個考查,逐個思索,逐個分析,逐個判斷,在得到了所需的確定結(jié)論時(它們是已證
3、的命題或已知的條件),才知道前面各步推理的適當(dāng)與否,從而找出證明的路子。當(dāng)證題不知從何入手時,有時可運用分析法而獲得解決,特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目,往往更是行之有效。3綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系分析法的特點是:從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”。其逐步推理,實際上是要尋找它的充分條件;綜合法的特點是從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,實際上是要尋找它的必要條件。分析法與綜合法各有其特點,有些具體的特征命題,用分析法和綜合法都可以證明出來,人們往往選擇比較簡單的一種。4反證法一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成
4、立,這樣的證明方法叫做反證法。反證法的證明過程可以概括為“否定推理否定”,即從否定結(jié)論開始,經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程。用反證法證明命題“若則”的過程,可用下圖所示的框圖表示??隙l件否定結(jié)論導(dǎo)致邏輯矛盾“既又”為假“若則”為真應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般有下面幾個步驟:第一步:分清命題“”的條件和結(jié)論;第二步:作出與命題結(jié)論相矛盾的假定;第三步:由和出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果;第四步:判斷產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假定不真,于是原結(jié)論成立,從而間接地證明了命題為真。第三步所說的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定
5、理或已知條件矛盾,與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況。二、范例點悟例1 已知、,求證:。分析:不等式中的、為對稱的,所以從基本的不等式定理入手,先考慮兩個正數(shù)的平均數(shù)定理,再據(jù)不等式性質(zhì)推導(dǎo)出證明的結(jié)論。證明:,、,。同理:,將三式相加得。評注:在運用綜合法證明不等式時,常利用不等式的基本性質(zhì),如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在運用這些性質(zhì)時,一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件。例2 當(dāng)一個圓與一個正方形的周長相等時,這個圓的面積比正方形的面積大。分析:應(yīng)用分析法證題時,語氣總是假定的,通常用“欲證只需證”的語句,在證明過程中一個終結(jié)代替另一個終結(jié)時,必須注意它們間的等價性。證明:設(shè)圓和正方形的周長為,依題意,圓的面積為,正方形的面積為,因此本題只需證明。為了證明成立,只需證明,兩邊同乘以正數(shù)得,因此,只需證明。因為上式是成立的,所以。這就證明了,如果一個圓和一個正方形的周長相等,那么這個圓的面積比這個正方形的面積大。評注:在分析法證明中,從結(jié)論出發(fā)的每一個步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件,最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實。因此,從最后一步可以倒推回去,直到結(jié)論,但這個倒推過程可以省略。例3 已知三個關(guān)于的方程,中,至少有一個方程有實根,求實數(shù)的取值范圍。分析:含有至多、至少字樣的問題,往往用反證法去解決。解析:三個方程
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