8.4+直線、平面平行的判定及性質(zhì).ppt

1、8.4 直線、平面平行的判定 及性質(zhì) 要點梳理 1.直線a和平面的位置關系有 、 、 ,其中 與 統(tǒng)稱直線在平面外. 2.直線和平面平行的判定： (1)定義： ； (2)判定定理：a,b,且ab ； (3)其他判定方法：,a .,平行,相交,在平面內(nèi),直線和平面沒有公共點，則稱直線平,行于平面,a,a,平行,相交,基礎知識 自主學習,3.直線和平面平行的性質(zhì)定理：a,a , =l . 4.兩個平面的位置關系有 、 . 5.兩個平面平行的判定 (1)定義： ； (2)判定定理：a,b,ab=M，a, b ； (3)推論：ab=M,a,b,ab=M, a,b,aa,bb .,al,平行,相交,兩個

2、平面沒有公共點，稱這兩個平面,平行,6.兩個平面平行的性質(zhì)定理： (1),a ; (2),=a,=b . 7.與垂直相關的平行的判定： （1）a，b ； （2）a，a .,a,ab,ab,基礎自測 1.若平面平面，直線a平面，點B, 則在平面內(nèi)且過B點的所有直線中( ) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一與a平行的直線 解析 當直線a在平面內(nèi)且經(jīng)過B點時，可使 a平面，但這時在平面內(nèi)過B點的所有直 線中，不存在與a平行的直線，而在其他情況 下，都可以存在與a平行的直線，故選A.,A,2.下列條件中，能判斷兩個平面平行的是( )

3、A.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面 B.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面 C.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面 D.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面 解析 由面面平行的判定定理易 知選D.A、B、C中的兩個平面可 能相交，如圖所示.,D,3.平面平面的一個充分條件是( ) A.存在一條直線a,a,a B.存在一條直線a,a,a C.存在兩條平行直線a,b,a,b,a, b D.存在兩條異面直線a,b,a,b,a, b 解析 A、B、C中與都有可能相交，故選D.,D,4.下列命題中正確的個數(shù)是 ( ) 若直線a不在內(nèi)，則a; 若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則l； 若直線

4、l與平面平行，則l與內(nèi)的任意一條 直線都平行； 如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那 么另一條也與這個平面平行； 若l與平面平行，則l與內(nèi)任何一條直線都 沒有公共點； 平行于同一平面的兩直線可以相交. A.1 B.2 C.3 D.4,解析 a=A時，a,錯； 直線l與相交時，l上有無數(shù)個點不在內(nèi)，故 錯； l 時，內(nèi)的直線與l平行或異面，故錯； ab,b時，a或a，故錯； l,l與無公共點，l與內(nèi)任一直線都無公 共點，正確； 長方體中A1C1與B1D1都與面ABCD平行， 正確.故選B. 答案 B,5.考察下列三個命題，在“ ”處都缺少同 一個條件，補上這個條件使其構成真命題（其 中l(wèi)、m

5、為直線，、為平面），則此條件 為 . 解析 體現(xiàn)的是線面平行的判定定理,缺的條 件是“l(fā)為平面外的直線”即“l(fā)”，它同 樣也適合，故填l.,題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 如圖所示,正方體ABCDA1B1 C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別 有兩點E，F(xiàn)，且B1E=C1F. 求證：EF平面ABCD. 根據(jù)直線與平面平行的判定定理或平 面與平面平行的性質(zhì)定理來證明.,題型分類 深度剖析,證明 方法一 分別過E，F(xiàn)作EMAB于M， FNBC于N，連接MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC， EMBB1，F(xiàn)NBB1， EMFN. 又B1E=C1F，EM=FN， 故四邊形MN

6、FE是平行四邊形， EFMN. 又MN平面ABCD，EF平面ABCD， 所以EF平面ABCD.,方法二 過E作EGAB交BB1于G， 連接GF，則 B1E=C1F，B1A=C1B， FGB1C1BC， 又EGFG=G，ABBC=B， 平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG， EF平面ABCD. 判斷或證明線面平行的常用方法有： 利用線面平行的定義（無公共點）；利用線 面平行的判定定理(a,b,aba)； 利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa)； 利用面面平行的性質(zhì)（,a,a,aa).,知能遷移1 如圖所示，已知S是正三角 形ABC所在平面外的一點，且SA=SB= SC，SG為SAB上的高，D、E、

7、F分 別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG 與平面DEF的位置關系，并給予證明. 解 SG平面DEF，證明如下： 方法一 連接CG交DE于點H，連接FH， 如圖所示. DE是ABC的中位線， DEAB. 在ACG中，D是AC的中點， 且DHAG.,H為CG的中點. FH是SCG的中位線， FHSG. 又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF， SG平面DEF. 方法二 EF為SBC的中位線， EFSB. EF平面SAB，SB平面SAB， EF平面SAB. 同理可證，DF平面SAB，EFDF=F， 平面SAB平面DEF，又SG平面SAB， SG平面DEF.,題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 如圖所示

8、，三棱柱ABC A1B1C1，D是BC上一點，且A1B平 面AC1D，D1是B1C1的中點，求證： 平面A1BD1平面AC1D. 由面面平行的判定定理知只需證 BD1、A1B平行于平面ADC1,已知A1B平面 AC1D,則只需證BD1平面ADC1.,證明 連接A1C交AC1于點E， 四邊形A1ACC1是平行四邊形， E是A1C的中點，連結(jié)ED， A1B平面AC1D， 平面A1BC平面AC1D=ED， A1BED， E是A1C的中點， D是BC的中點. 又D1是B1C1的中點. BD1C1D，又C1D平面AC1D， BD1平面AC1D，又A1BBD1=B， 平面A1BD1平面AC1D.,證明面面

9、平行的方法有： （1）面面平行的定義； （2）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩 條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平 面平行； （3）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； （4）兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩 個平面平行； （5）利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行” 的相互轉(zhuǎn)化.,知能遷移2 如圖所示，已知ABCD A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E 在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上， 且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中點. （1）求證：E、B、F、D1四點共面； （2）求證：平面A1GH平面BED1F. 證明 （1）連結(jié)FG. AE=B1G

10、=1，BG=A1E=2， BG A1E，A1GBE. 又C1F B1G， 四邊形C1FGB1是平行四邊形， FG C1B1 D1A1，,四邊形A1GFD1是平行四邊形. A1G D1F，D1F EB， 故E、B、F、D1四點共面. （2）H是B1C1的中點， B1H= . 且FCB=GB1H=90， B1HGCBF，B1GH=CFB=FBG， HGFB.又由（1）知，A1GBE， 且HGA1G=G，F(xiàn)BBE=B， 平面A1GH平面BED1F.,題型三 線面、面面平行的綜合應用 （12分）如圖所示，平面 平面,點A,C,點B， D,點E,F分別在線段AB,CD上， 且AEEB=CFFD. （1）

11、求證：EF; （2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4， BD=6，且AC，BD所成的角為60，求EF的長. 將異面問題轉(zhuǎn)化為平面問題，通常是 構造平行線或構造三角形.,（1）證明 當AB，CD在同一平面內(nèi)時， 由，平面平面ABDC=AC， 平面平面ABDC=BD， ACBD， 2分 AEEB=CFFD，EFBD， 又EF,BD,EF. 4分 當AB與CD異面時， 設平面ACD=DH，且DH=AC. ，平面ACDH=AC， ACDH，四邊形ACDH是平行四邊形， 6分 在AH上取一點G，使AGGH=CFFD，,又AEEB=CFFD， GFHD，EGBH， 又EGGF=G，平面EFG平面.

12、 EF平面EFG，EF.綜上，EF. 8分 （2）解 如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連 接ME，MF. E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點， MEBD，MFAC， EMF為AC與BD所成的角（或其補角）， EMF=60或120， 10分,在EFM中由余弦定理得， 面面平行的性質(zhì)定理的應用問題，往 往涉及面面平行的判定、線面平行的判定與性質(zhì) 的綜合應用.解題時，要準確地找到解題的切入 點，靈活地運用相關定理來解決問題，注意三種 平行關系之間的相互轉(zhuǎn)化.,12分,知能遷移3 如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是 BC、CC1、C1D1、A1A的中點. 求證： （1）

13、BFHD1； （2）EG平面BB1D1D； （3）平面BDF平面B1D1H. 證明 （1）如圖所示，取BB1的中點M， 易證四邊形HMC1D1是平行四邊形， HD1MC1. 又MC1BF， BFHD1.,（2）取BD的中點O，連接EO，D1O， 則OE DC， 又D1G DC，OE D1G， 四邊形OEGD1是平行四邊形，GED1O. 又D1O 平面BB1D1D， EG平面BB1D1D. （3）由（1）知D1HBF， 又BDB1D1，B1D1、HD1 平面HB1D1， BF、BD 平面BDF， 且B1D1HD1=D1，DBBF=B， 平面BDF平面B1D1H.,方法與技巧 1.平行問題的轉(zhuǎn)化關

14、系 2.直線與平面平行的重要判定方法 （1）定義法；（2）判定定理；（3）面與面平 行的性質(zhì).,思想方法 感悟提高,3.平面與平面平行的主要判定方法 （1）定義；（2）判定定理；（3）推論； （4）a,a. 失誤與防范 1.在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平 面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤. 2.可以考慮向量的工具性作用，能用向量解決的 盡可能應用向量解決，可使問題簡化.,一、選擇題 1.給出下列關于互不相同的直線l、m、n和平面、 、的三個命題: 若l與m為異面直線，l,m,則； 若，l,m,則lm; 若=l,=m,=n,l, 則mn.其中真命題的個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0,定

15、時檢測,解析 中當與不平行時，也能存在符合題 意的l、m. 中l(wèi)與m也可能異面. 同理ln,則mn,正確. 答案 C,2.一條直線l上有相異三個點A、B、C到平面的距 離相等，那么直線l與平面的位置關系是( ) A.l B.l C.l與相交但不垂直 D.l或l 解析 l時，直線l上任意點到的距離都 相等，l時，直線l上所有的點到的距離都 是0，l時，直線l上有兩個點到距離相等， l與斜交時，也只能有兩點到距離相等， 故選D.,D,3.已知直線m,n及平面，其中mn,那么在平面內(nèi) 到兩條直線m,n距離相等的點的集合可能是一條 直線；一個平面；一個點；空集.其中正確的 是( ) A. B. C.

16、D. 解析 當m,n都在內(nèi)時，是一條直線. 當m,n分別在的兩側(cè)都平行于且到的距離 相等時，是一個平面. 當m,n都平行于，但到的距離不相等時，是 空集，任何時候都不可能只有一個點滿足條件.,C,4.（2009福建，理7文10）設m,n是平面內(nèi)的 兩條不同直線,l1,l2是平面內(nèi)的兩條相交直 線，則的一個充分而不必要條件是( ) A.m且l1 B.ml1且nl2 C.m且n D.m且nl2 解析 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，AB面A1B1CD, CD面A1B1BA，但面A1B1CD與面 A1B1BA相交，故A不正確；取AD中 點為E，BC中點為F，則EF面ABB1A1， C1D

17、1面ABB1A1，但面ABB1A1與面EFC1D1不,平行,故C不對；雖然EFAB且C1D1面A1B1BA, 但是面EFC1D1與面A1B1BA不平行，故D不正確. 對于選項B，當l1m,l2n且m,n時， 有l(wèi)1,l2.又l1與l2相交且都在內(nèi)， 時，無法推出ml1且nl2.l1m 且l2n是的充分不必要條件. 答案 B,5.已知平面平面，P是、外一點，過點P 的直線m與、分別交于A、C，過點P的直線n 與、分別交于B、D且PA=6,AC=9，PD=8，則 BD的長為 ( ) A.16 B. C.14 D.20 解析 根據(jù)題意可出現(xiàn)以下如圖兩種情況： 可求出BD的長分別為 .,B,6.（20

18、08湖南理，5）設有直線m、n和平面、 .下列四個命題中，正確的是( ) A.若m,n,則mn B.若m，n,m,n,則 C.若，m，則m D.若,m,m,則m 解析 若，m，n，可知m, n,但m與n可以相交，所以A不對；若mn, 即使有m,n,m,n,與也可 以相交，所以B不對；若，中仍有不與 垂直的直線，例如與的交線，故C不對； 若,則在中可作與垂直的直線n,又 m，則mn，又m，所以m，故D正確.,D,二、填空題 7.過長方體ABCDA1B1C1D1的任意兩條棱的中點作直 線，其中能夠與平面ACC1A1平行的直線有 條. 解析 如圖所示，與AC平行的直 線有4條，與AA1平行的直線有4

19、條, 連接MN，則MN面ACC1A1， 這樣的直線也有4條（包括MN）， 共12條.,12,8.到空間不共面的四點距離相等的平面有 個. 解析 如下圖分類，一類如圖(1)將四點視為 三棱錐四個頂點,取棱中點,可以做如圖(1)平 面平行于三棱錐的底面，并到另一頂點距離與 底面距離相等，這樣的平面有4個；另一類如圖 (2)取各段中點，四個點形成平面平行于三棱錐 相對棱，這樣的平面有3個，共7個.,（1） （2）,7,9.如圖所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1 D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、 D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在 四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足條 件

20、 時，有MN平面B1BDD1. 解析 由題意，HN面B1BDD1，F(xiàn)H 面B1BDD1. 面NHF面B1BDD1. 當M在線段HF上運動時，有MN面B1BDD1.,M線段HF,三、解答題 10.如圖所示，已知P、Q是單位正方 體ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和 面ABCD的中心. 證明：PQ平面BCC1B1. 證明 方法一 如圖取B1B中點E， BC中點F，連結(jié)PE、QF、EF， A1B1B中，P、E分別是A1B、B1B 的中點, PE A1B1. 同理QF AB.,PQEF. 又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1， PQ平面BCC1B1. 方法二 如圖，連結(jié)AB1，B1C， AB1C中，P、Q分別是A1B、AC的中點，PQB1C. 又PQ平面BCC1B1， B1C平面BCC1B1， PQ平面BCC1B1.,又A1B1 AB，PE QF