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文檔簡介

1、8.4 直線、平面平行的判定 及性質(zhì) 要點梳理 1.直線a和平面的位置關系有 、 、 ,其中 與 統(tǒng)稱直線在平面外. 2.直線和平面平行的判定: (1)定義: ; (2)判定定理:a,b,且ab ; (3)其他判定方法:,a .,平行,相交,在平面內(nèi),直線和平面沒有公共點,則稱直線平,行于平面,a,a,平行,相交,基礎知識 自主學習,3.直線和平面平行的性質(zhì)定理:a,a , =l . 4.兩個平面的位置關系有 、 . 5.兩個平面平行的判定 (1)定義: ; (2)判定定理:a,b,ab=M,a, b ; (3)推論:ab=M,a,b,ab=M, a,b,aa,bb .,al,平行,相交,兩個

2、平面沒有公共點,稱這兩個平面,平行,6.兩個平面平行的性質(zhì)定理: (1),a ; (2),=a,=b . 7.與垂直相關的平行的判定: (1)a,b ; (2)a,a .,a,ab,ab,基礎自測 1.若平面平面,直線a平面,點B, 則在平面內(nèi)且過B點的所有直線中( ) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一與a平行的直線 解析 當直線a在平面內(nèi)且經(jīng)過B點時,可使 a平面,但這時在平面內(nèi)過B點的所有直 線中,不存在與a平行的直線,而在其他情況 下,都可以存在與a平行的直線,故選A.,A,2.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是( )

3、A.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面 B.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面 C.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面 D.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面 解析 由面面平行的判定定理易 知選D.A、B、C中的兩個平面可 能相交,如圖所示.,D,3.平面平面的一個充分條件是( ) A.存在一條直線a,a,a B.存在一條直線a,a,a C.存在兩條平行直線a,b,a,b,a, b D.存在兩條異面直線a,b,a,b,a, b 解析 A、B、C中與都有可能相交,故選D.,D,4.下列命題中正確的個數(shù)是 ( ) 若直線a不在內(nèi),則a; 若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則l; 若直線

4、l與平面平行,則l與內(nèi)的任意一條 直線都平行; 如果兩條平行線中的一條與一個平面平行,那 么另一條也與這個平面平行; 若l與平面平行,則l與內(nèi)任何一條直線都 沒有公共點; 平行于同一平面的兩直線可以相交. A.1 B.2 C.3 D.4,解析 a=A時,a,錯; 直線l與相交時,l上有無數(shù)個點不在內(nèi),故 錯; l 時,內(nèi)的直線與l平行或異面,故錯; ab,b時,a或a,故錯; l,l與無公共點,l與內(nèi)任一直線都無公 共點,正確; 長方體中A1C1與B1D1都與面ABCD平行, 正確.故選B. 答案 B,5.考察下列三個命題,在“ ”處都缺少同 一個條件,補上這個條件使其構成真命題(其 中l(wèi)、m

5、為直線,、為平面),則此條件 為 . 解析 體現(xiàn)的是線面平行的判定定理,缺的條 件是“l(fā)為平面外的直線”即“l(fā)”,它同 樣也適合,故填l.,題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 如圖所示,正方體ABCDA1B1 C1D1中,側(cè)面對角線AB1,BC1上分別 有兩點E,F(xiàn),且B1E=C1F. 求證:EF平面ABCD. 根據(jù)直線與平面平行的判定定理或平 面與平面平行的性質(zhì)定理來證明.,題型分類 深度剖析,證明 方法一 分別過E,F(xiàn)作EMAB于M, FNBC于N,連接MN. BB1平面ABCD, BB1AB,BB1BC, EMBB1,F(xiàn)NBB1, EMFN. 又B1E=C1F,EM=FN, 故四邊形MN

6、FE是平行四邊形, EFMN. 又MN平面ABCD,EF平面ABCD, 所以EF平面ABCD.,方法二 過E作EGAB交BB1于G, 連接GF,則 B1E=C1F,B1A=C1B, FGB1C1BC, 又EGFG=G,ABBC=B, 平面EFG平面ABCD,而EF平面EFG, EF平面ABCD. 判斷或證明線面平行的常用方法有: 利用線面平行的定義(無公共點);利用線 面平行的判定定理(a,b,aba); 利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa); 利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).,知能遷移1 如圖所示,已知S是正三角 形ABC所在平面外的一點,且SA=SB= SC,SG為SAB上的高,D、E、

7、F分 別是AC、BC、SC的中點,試判斷SG 與平面DEF的位置關系,并給予證明. 解 SG平面DEF,證明如下: 方法一 連接CG交DE于點H,連接FH, 如圖所示. DE是ABC的中位線, DEAB. 在ACG中,D是AC的中點, 且DHAG.,H為CG的中點. FH是SCG的中位線, FHSG. 又SG平面DEF,F(xiàn)H平面DEF, SG平面DEF. 方法二 EF為SBC的中位線, EFSB. EF平面SAB,SB平面SAB, EF平面SAB. 同理可證,DF平面SAB,EFDF=F, 平面SAB平面DEF,又SG平面SAB, SG平面DEF.,題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 如圖所示

8、,三棱柱ABC A1B1C1,D是BC上一點,且A1B平 面AC1D,D1是B1C1的中點,求證: 平面A1BD1平面AC1D. 由面面平行的判定定理知只需證 BD1、A1B平行于平面ADC1,已知A1B平面 AC1D,則只需證BD1平面ADC1.,證明 連接A1C交AC1于點E, 四邊形A1ACC1是平行四邊形, E是A1C的中點,連結(jié)ED, A1B平面AC1D, 平面A1BC平面AC1D=ED, A1BED, E是A1C的中點, D是BC的中點. 又D1是B1C1的中點. BD1C1D,又C1D平面AC1D, BD1平面AC1D,又A1BBD1=B, 平面A1BD1平面AC1D.,證明面面

9、平行的方法有: (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩 條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平 面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行; (4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩 個平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行” 的相互轉(zhuǎn)化.,知能遷移2 如圖所示,已知ABCD A1B1C1D1是棱長為3的正方體,點E 在AA1上,點F在CC1上,G在BB1上, 且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中點. (1)求證:E、B、F、D1四點共面; (2)求證:平面A1GH平面BED1F. 證明 (1)連結(jié)FG. AE=B1G

10、=1,BG=A1E=2, BG A1E,A1GBE. 又C1F B1G, 四邊形C1FGB1是平行四邊形, FG C1B1 D1A1,,四邊形A1GFD1是平行四邊形. A1G D1F,D1F EB, 故E、B、F、D1四點共面. (2)H是B1C1的中點, B1H= . 且FCB=GB1H=90, B1HGCBF,B1GH=CFB=FBG, HGFB.又由(1)知,A1GBE, 且HGA1G=G,F(xiàn)BBE=B, 平面A1GH平面BED1F.,題型三 線面、面面平行的綜合應用 (12分)如圖所示,平面 平面,點A,C,點B, D,點E,F分別在線段AB,CD上, 且AEEB=CFFD. (1)

11、求證:EF; (2)若E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,AC=4, BD=6,且AC,BD所成的角為60,求EF的長. 將異面問題轉(zhuǎn)化為平面問題,通常是 構造平行線或構造三角形.,(1)證明 當AB,CD在同一平面內(nèi)時, 由,平面平面ABDC=AC, 平面平面ABDC=BD, ACBD, 2分 AEEB=CFFD,EFBD, 又EF,BD,EF. 4分 當AB與CD異面時, 設平面ACD=DH,且DH=AC. ,平面ACDH=AC, ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形, 6分 在AH上取一點G,使AGGH=CFFD,,又AEEB=CFFD, GFHD,EGBH, 又EGGF=G,平面EFG平面.

12、 EF平面EFG,EF.綜上,EF. 8分 (2)解 如圖所示,連接AD,取AD的中點M,連 接ME,MF. E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點, MEBD,MFAC, EMF為AC與BD所成的角(或其補角), EMF=60或120, 10分,在EFM中由余弦定理得, 面面平行的性質(zhì)定理的應用問題,往 往涉及面面平行的判定、線面平行的判定與性質(zhì) 的綜合應用.解題時,要準確地找到解題的切入 點,靈活地運用相關定理來解決問題,注意三種 平行關系之間的相互轉(zhuǎn)化.,12分,知能遷移3 如圖所示,在正方體ABCD A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是 BC、CC1、C1D1、A1A的中點. 求證: (1)

13、BFHD1; (2)EG平面BB1D1D; (3)平面BDF平面B1D1H. 證明 (1)如圖所示,取BB1的中點M, 易證四邊形HMC1D1是平行四邊形, HD1MC1. 又MC1BF, BFHD1.,(2)取BD的中點O,連接EO,D1O, 則OE DC, 又D1G DC,OE D1G, 四邊形OEGD1是平行四邊形,GED1O. 又D1O 平面BB1D1D, EG平面BB1D1D. (3)由(1)知D1HBF, 又BDB1D1,B1D1、HD1 平面HB1D1, BF、BD 平面BDF, 且B1D1HD1=D1,DBBF=B, 平面BDF平面B1D1H.,方法與技巧 1.平行問題的轉(zhuǎn)化關

14、系 2.直線與平面平行的重要判定方法 (1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平 行的性質(zhì).,思想方法 感悟提高,3.平面與平面平行的主要判定方法 (1)定義;(2)判定定理;(3)推論; (4)a,a. 失誤與防范 1.在推證線面平行時,一定要強調(diào)直線不在平 面內(nèi),否則,會出現(xiàn)錯誤. 2.可以考慮向量的工具性作用,能用向量解決的 盡可能應用向量解決,可使問題簡化.,一、選擇題 1.給出下列關于互不相同的直線l、m、n和平面、 、的三個命題: 若l與m為異面直線,l,m,則; 若,l,m,則lm; 若=l,=m,=n,l, 則mn.其中真命題的個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0,定

15、時檢測,解析 中當與不平行時,也能存在符合題 意的l、m. 中l(wèi)與m也可能異面. 同理ln,則mn,正確. 答案 C,2.一條直線l上有相異三個點A、B、C到平面的距 離相等,那么直線l與平面的位置關系是( ) A.l B.l C.l與相交但不垂直 D.l或l 解析 l時,直線l上任意點到的距離都 相等,l時,直線l上所有的點到的距離都 是0,l時,直線l上有兩個點到距離相等, l與斜交時,也只能有兩點到距離相等, 故選D.,D,3.已知直線m,n及平面,其中mn,那么在平面內(nèi) 到兩條直線m,n距離相等的點的集合可能是一條 直線;一個平面;一個點;空集.其中正確的 是( ) A. B. C.

16、D. 解析 當m,n都在內(nèi)時,是一條直線. 當m,n分別在的兩側(cè)都平行于且到的距離 相等時,是一個平面. 當m,n都平行于,但到的距離不相等時,是 空集,任何時候都不可能只有一個點滿足條件.,C,4.(2009福建,理7文10)設m,n是平面內(nèi)的 兩條不同直線,l1,l2是平面內(nèi)的兩條相交直 線,則的一個充分而不必要條件是( ) A.m且l1 B.ml1且nl2 C.m且n D.m且nl2 解析 如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,AB面A1B1CD, CD面A1B1BA,但面A1B1CD與面 A1B1BA相交,故A不正確;取AD中 點為E,BC中點為F,則EF面ABB1A1, C1D

17、1面ABB1A1,但面ABB1A1與面EFC1D1不,平行,故C不對;雖然EFAB且C1D1面A1B1BA, 但是面EFC1D1與面A1B1BA不平行,故D不正確. 對于選項B,當l1m,l2n且m,n時, 有l(wèi)1,l2.又l1與l2相交且都在內(nèi), 時,無法推出ml1且nl2.l1m 且l2n是的充分不必要條件. 答案 B,5.已知平面平面,P是、外一點,過點P 的直線m與、分別交于A、C,過點P的直線n 與、分別交于B、D且PA=6,AC=9,PD=8,則 BD的長為 ( ) A.16 B. C.14 D.20 解析 根據(jù)題意可出現(xiàn)以下如圖兩種情況: 可求出BD的長分別為 .,B,6.(20

18、08湖南理,5)設有直線m、n和平面、 .下列四個命題中,正確的是( ) A.若m,n,則mn B.若m,n,m,n,則 C.若,m,則m D.若,m,m,則m 解析 若,m,n,可知m, n,但m與n可以相交,所以A不對;若mn, 即使有m,n,m,n,與也可 以相交,所以B不對;若,中仍有不與 垂直的直線,例如與的交線,故C不對; 若,則在中可作與垂直的直線n,又 m,則mn,又m,所以m,故D正確.,D,二、填空題 7.過長方體ABCDA1B1C1D1的任意兩條棱的中點作直 線,其中能夠與平面ACC1A1平行的直線有 條. 解析 如圖所示,與AC平行的直 線有4條,與AA1平行的直線有4

19、條, 連接MN,則MN面ACC1A1, 這樣的直線也有4條(包括MN), 共12條.,12,8.到空間不共面的四點距離相等的平面有 個. 解析 如下圖分類,一類如圖(1)將四點視為 三棱錐四個頂點,取棱中點,可以做如圖(1)平 面平行于三棱錐的底面,并到另一頂點距離與 底面距離相等,這樣的平面有4個;另一類如圖 (2)取各段中點,四個點形成平面平行于三棱錐 相對棱,這樣的平面有3個,共7個.,(1) (2),7,9.如圖所示,在正四棱柱ABCD A1B1C1 D1中,E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、 D1D、DC的中點,N是BC的中點,點M在 四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,則M滿足條 件

20、 時,有MN平面B1BDD1. 解析 由題意,HN面B1BDD1,F(xiàn)H 面B1BDD1. 面NHF面B1BDD1. 當M在線段HF上運動時,有MN面B1BDD1.,M線段HF,三、解答題 10.如圖所示,已知P、Q是單位正方 體ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和 面ABCD的中心. 證明:PQ平面BCC1B1. 證明 方法一 如圖取B1B中點E, BC中點F,連結(jié)PE、QF、EF, A1B1B中,P、E分別是A1B、B1B 的中點, PE A1B1. 同理QF AB.,PQEF. 又PQ平面BCC1B1,EF平面BCC1B1, PQ平面BCC1B1. 方法二 如圖,連結(jié)AB1,B1C, AB1C中,P、Q分別是A1B、AC的中點,PQB1C. 又PQ平面BCC1B1, B1C平面BCC1B1, PQ平面BCC1B1.,又A1B1 AB,PE QF

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