高二數(shù)學(xué)《拋物線》知識(shí)精講 人教版（通用）

1、高二數(shù)學(xué)拋物線知識(shí)精講 人教版一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 拋物線 教學(xué)目標(biāo)： 1. 理解并掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。 2. 理解并掌握拋物線的性質(zhì)，并會(huì)畫圖。 3. 掌握拋物線單元中的相關(guān)知識(shí)，并會(huì)綜合應(yīng)用。 能力訓(xùn)練： 1. 掌握拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用。 2. 會(huì)求軌跡方程及拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題。 3. 準(zhǔn)確把握拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式，進(jìn)一步鞏固待定系數(shù)法。 4. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，并能靈活運(yùn)用常用的一些數(shù)學(xué)變換方法解決綜合性問題。 教學(xué)過(guò)程： 知識(shí)提要： 1. 拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)

2、，直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。 2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上：y2=2px，（p0）。 （2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上：y2=2px，（p0）。 （3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上：x2=2py，（p0）。 （4）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，x2=2py，（p0）。 3. 拋物線的幾何性質(zhì)： （1）焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線y2=2px，（p0）的幾何性質(zhì)： 范圍：x0，yR。 對(duì)稱性：圖形關(guān)于x軸對(duì)稱。 頂點(diǎn)：0（0，0）。 離心率：e=1。 說(shuō)明：其實(shí)從圖形上就可以反映前三條性質(zhì)，下面列表給出四種形式的性質(zhì)：二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：拋物線的定義，

3、標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用。 難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)在解題及證題中的運(yùn)用。【典型例題分析】 例1. 選擇題： 1. 拋物線y=ax2（a0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） 解： 可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上。 2. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） 解：點(diǎn)P（4，2）在第四象限。 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2px，（p0）或x2=2py，（p0） 將點(diǎn)P（4，2）代入方程。 （2）2=8p1 或42=4p2 所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=x或x2=8y 選C。 3. 過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1+x2=6，則|AB|的值為（ ） A. 10

4、B. 8C. 6D. 4 解：y2=4x 2p=4，p=2。 由拋物線定義知：|AF|=x1+1，|BF|=x2+1 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8 選B。 4. 過(guò)已知點(diǎn)A（0，p）且與拋物線y2=2px(p0)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線會(huì)有（ ） A. 1條B. 2條C. 3條D. 無(wú)數(shù)條 解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則過(guò)點(diǎn)A（0，p）的直線恰為y軸，此時(shí)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)過(guò)A（0，p）的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+p 選C。 例2. 直線l：y=kx+1，拋物線C：y2=4x，當(dāng)k為何值時(shí)，l與C相切、相交、相離。 解： （1）當(dāng)=0時(shí)，即k=1時(shí)，

5、l與C相切。 （2）當(dāng)0時(shí)，即k1時(shí)，l與C相交。 （3）當(dāng)1時(shí)，l與C相離。 當(dāng)k=0時(shí)，l：y=1與y2=4x相交。 注：直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要但不充分條件。 例3. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線被直線x2y1=0截得的弦長(zhǎng)為 解：依題意設(shè)拋物線方程為：x2=a y（a0）， 直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。 設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2） 所求拋物線方程為x2=4y或x2=12y。 例4. 在拋物線y2=2x上求一點(diǎn)P，使P到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最小。 解：由拋物線定義知：|PF|=|PQ| |PF|+|PA|=|PQ

6、|+|PA| 顯然當(dāng)P、Q、A三點(diǎn)共線時(shí)， |PQ|+|PA|最小。A（3，2）， 設(shè)P（x0，2）代入y2=2x得x0=2，P（2，2）。 例5. 在拋物線y=4x2上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線y=4x5的距離最短。 解法一：設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，4x2）， 則點(diǎn)P到直線y=4x5的距離是： 解法二：由數(shù)形結(jié)合可知，所求點(diǎn)應(yīng)為與直線y=4x5平行且與拋物線y=4x2相切時(shí)的切點(diǎn)。 設(shè)平行于直線y=4x5的切線為y=4x+b。 直線與拋物線相切， 例6. 某遂道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如圖所示。某卡車空車時(shí)通過(guò)，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱高共4.5米，此車能否通過(guò)遂道？并說(shuō)

7、明理由。 解：取隧道橫斷面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。 方程：x2=2py，（p0）。 依題意A（3，3）在拋物線上，9=2p（3） 又車與箱共高4.5米，過(guò)頂部且平行x軸的直線方程為 這時(shí)卡車不能通過(guò)遂道?！灸M試題】 1. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y=2x4所得的弦長(zhǎng)|AB|，求此拋物線的方程。 2. 在拋物線y2=x上求一點(diǎn)，使它到直線x2y+4=0的距離最小。 3. 若點(diǎn)F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)P在拋物線上動(dòng)，當(dāng)|PA|+|PF|最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 4. （2001年高考題）設(shè)拋物線y2=2px，（p0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸，求證：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。參考答案 1. 分析：研究直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，通常不求弦的端點(diǎn)坐標(biāo)。 而是由方程組一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根， 再由韋達(dá)定理解答，弦長(zhǎng)公式： 解：設(shè)所求拋物線方程為：y2=ax（a0），A（x1，y1），B（x2，y2） 由 又 a=4或a=36。 所求拋物線方程為：。 2. 提示：可以參看例5。 答案