高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題突破系列(三)數(shù)列的綜合應(yīng)用課件.ppt

1、熱點(diǎn)專題突破系列(三) 數(shù)列的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 【考情分析】等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問題是高考考查的重點(diǎn) (1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差(比)中項(xiàng)、等差(比)數(shù)列的性質(zhì). (2)重點(diǎn)考查基本量(即“知三求二”,解方程(組)的計(jì)算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題.,【典例1】(2014湖南高考)已知數(shù)列an滿足a1=1,|an+1-an| =pn,nN*. (1)若an是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值. (2)若p= ,且a2n-1是遞增數(shù)列,a2n是遞減數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,【解題提示】(1

2、)由an是遞增數(shù)列,去掉絕對(duì)值號(hào),求出前三項(xiàng),再利用a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,得到關(guān)于p的方程即可求解. (2)a2n-1是遞增數(shù)列,a2n是遞減數(shù)列,可以去掉絕對(duì)值號(hào),再利用疊加法求通項(xiàng)公式.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列,所以an+1-an=pn, 又a1=1,a2=p+1,a3=p2+p+1, 因?yàn)閍1,2a2,3a3成等差數(shù)列,所以4a2=a1+3a3,4p+4=1+3p2+3p+3,3p2=p, 解得p= 或p=0,當(dāng)p=0時(shí),an+1-an=0,與an是遞增數(shù)列矛盾,所以 p= .,(2)因?yàn)閍2n-1是遞增數(shù)列,所以a2n+1-a2n-10, 于是(a2n+1-a2

3、n)+(a2n-a2n-1)0, 由于 ,所以|a2n+1-a2n|0, 所以a2n-a2n-1= , 因?yàn)閍2n是遞減數(shù)列,所以同理可得a2n+1-a2n0,a2n+1-a2n= ,【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題,如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序.,(2)注意細(xì)節(jié).在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等,這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的. 提醒:在不能使

4、用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合.,【變式訓(xùn)練】(2015寧波模擬)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1= an+1= ,nN*. (1)求證：數(shù)列 -1為等比數(shù)列. (2)記Sn= 若Sn100，求最大正整數(shù)n. (3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n，使m,s,n成等差數(shù)列， 且am-1，as-1,an-1成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)給出證明；如果 不存在，請(qǐng)說明理由.,【解析】(1)由an+1= 可得 所以 又 0，所以 -10(nN*) 所以數(shù)列 -1為首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.,若Sn100，則n+1- 100， 所以滿足條件的最大正整數(shù)n為99.,(3

5、)假設(shè)存在滿足條件的m,s,n,則m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2, 因?yàn)閍n= 所以 化簡(jiǎn),得3m+3n=23s. 因?yàn)?m+3n2 =23s, 當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立,這與m,s,n互不相等矛盾,所以假設(shè)不成立,即不存在滿足條件的m,s,n.,【加固訓(xùn)練】(2015南昌模擬)已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列, 首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn是等比數(shù)列,首項(xiàng)b1=1,且a2b2=12, S3+b2=20. (1)求an和bn的通項(xiàng)公式. (2)令cn=Sncos(an)(nN*),求cn的前n項(xiàng)和Tn.,【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,數(shù)列bn的公比為q, 則

6、a2b2=(3+d)q=12, S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,則(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12, 即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0. 因?yàn)閍n是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,所以d0, 所以d=3,q=2, an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.,(2)由(1)知 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí), Tn=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+an =6+12+18+3n=,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)， Tn=Tn-1-Sn=,考點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題 【考情分析】數(shù)列與函數(shù)

7、的特殊關(guān)系,決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性,是高考命題的易考點(diǎn),主要考查方式有: (1)以函數(shù)為載體,考查函數(shù)解析式的求法,或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法 (2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題,考查利用函數(shù)的單調(diào)性來確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問題,【典例2】(2015沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)= ,數(shù)列an滿足 a1=1,an+1=f( ),nN*. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1,求Tn. (3)令bn= (n2),b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn 對(duì)一切nN*成

8、立,求最小正整數(shù)m.,【解題提示】(1)由已知得an+1與an的關(guān)系從而獲解. (2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)相消法去求解. (3)利用裂項(xiàng)相消法先求出Sn,再把問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)?所以an是以 為公差的等差數(shù)列. 又a1=1,所以an= (2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1) =- (a2+a4+a2n),(3)當(dāng)n2時(shí)，bn= 又b1=3= 所以Sn=b1+b2+bn 因?yàn)镾n= 對(duì)一切nN*成立且 所以 即m2 014. 所以最小正整數(shù)m=2 01

9、4.,【規(guī)律方法】 1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的常見類型及解題策略 (1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題. (2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.另外,解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解,在問題的求解過程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列,因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決.,2.解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(diǎn) (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集,而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù),所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn). (2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí),應(yīng)注意題中的限制條件

10、,如函數(shù)的定義域,這往往是非常容易忽視的問題. (3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.,【變式訓(xùn)練】(2015成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a0, xR),不等式f(x)0的解集有且只有一個(gè)元素,設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(nN*), (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn= ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,【解析】(1)由已知得x2-ax+a0的解集有且只有一個(gè)元素,所以=(-a)2-4a=0,即a2-4a=0,又因?yàn)閍0,所以a=4, 所以f(x)=x2-4x+4, 從而Sn=f(n)=n2-4n+4, 當(dāng)n=1

11、時(shí),a1=S1=1-4+4=1; 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-5.,【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y). (1)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性. (2)數(shù)列an滿足a1=f(0),且f(an+1)= (nN*),數(shù)列bn滿足bn=an-8. 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的最小值及相應(yīng)的n的值.,【解析】(1)x,yR, f(x+y)=f(x)f(y),x1, 令x=-1,y=0,則f(-1)=f(-1)f(0), 因?yàn)閒(-1)1,所以f(0)=1. 若x0,則f(x-x)=f(0)

12、=f(x)f(-x), 故f(x)= (0,1),故xR,f(x)0, 任取x10,所以0f(x2-x1)1, 所以f(x2)f(x1),故f(x)在R上是減函數(shù).,(2)a1=f(0)=1,f(an+1)= =f(2+an), 由f(x)單調(diào)性an+1=an+2.故an是等差數(shù)列, 所以an=2n-1. bn=2n-9,Tn=n2-8n,當(dāng)n=4時(shí),(Tn)min=-16.,考點(diǎn)三 數(shù)列與不等式的綜合問題 【考情分析】數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種: (1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系,如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等. (2)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題,求

13、不等式中的參數(shù)的取值范圍等. (3)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題.,【典例3】(2014上海高考)已知數(shù)列an滿足 anan+13an, nN*,a1=1. (1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范圍. (2)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,Sn=a1+a2+an, SnSn+13Sn, nN*,求q的取值范圍. (3)若a1,a2,成等差數(shù)列,且a1+a2+ak=1000,求正整數(shù)k的最大值,以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1,a2,的公差.,【解題提示】(1)根據(jù) a2a33a2, a3a43a3可求得x的范圍. (2)需對(duì)q分類討論,若q=1,易得符合題意,若q1時(shí),再通過放縮法

14、解不等式組即得結(jié)論. (3)k=1000,d=0是一組解時(shí),kmax1000,根據(jù) anan+13an,可得 d ,然后根據(jù)a1+a2+ak=1000,得到關(guān)于d的關(guān)系式,而 d ,從而得到關(guān)于k的不等式,解此不等式即得.,【規(guī)范解答】(1)依題意, a2a33a2,所以 x6; 又 a3a43a3,所以3x27;綜上可得:3x6.,(2)由已知得，an=qn-1,又 a1a23a1， 所以 q3, 當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n, SnSn+13Sn,即 n+13n,成立. 當(dāng)1q3時(shí)，Sn= , SnSn+13Sn,因?yàn)閝1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-22qn-20, 對(duì)于不等式qn

15、+1-3qn+20,令n=1, 得q2-3q+20,解得1q2, 又當(dāng)1q2時(shí),q-30, 所以qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0成立, 所以1q2,當(dāng) q1時(shí)，Sn= SnSn+13Sn,所以此不等式即 3q-10,q-30, 所以 q1時(shí),不等式恒成立, 綜上,q的取值范圍為 q2.,(3)設(shè)公差為d,顯然，當(dāng)k=1 000,d=0時(shí)，是一組符合題意的解， 故kmax1 000,當(dāng)k2時(shí), 則由已知得 1+(k-1)d31+(k-2)d, 當(dāng)k1 000時(shí)，不等式即 所以d的取值范圍為d,a1+a2+ak=k+ =1 000, 所以k1 000

16、時(shí)， 解得1 000k1 000+ 所以k1 999, 所以k的最大值為1 999， 此時(shí)公差,【規(guī)律方法】數(shù)列中不等式的處理方法 (1)函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式,通過對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式. (2)放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過對(duì)中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到. (3)比較方法:作差或者作商比較. (4)數(shù)學(xué)歸納法:使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.,【變式訓(xùn)練】(2014廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*. (1)求a1的值. (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

17、. (3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有,【解題提示】(1)可直接令n=1. (2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n2)求解. (3)先對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮再裂項(xiàng)相消整理求和.,【解析】(1)令n=1,則S1=a1, -(12+1-3)S1-3(12+1)=0, 即 +a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去). (2) -(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0, 可以整理為(Sn+3)Sn-(n2+n)=0, 因?yàn)閿?shù)列an中,an0, 所以Sn-3,只有Sn=n2+n. 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,符合an=2n, 所以數(shù)

18、列an的通項(xiàng)公式為an=2n(nN*).,【加固訓(xùn)練】1.(2015貴陽模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 滿足Sn= an-n(nN*). (1)求證:數(shù)列an+1是等比數(shù)列. (2)令bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+log3(an+1),對(duì)任意nN*,是否 存在正整數(shù)m,使 恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.,【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1= a1-1,解得a1=2, 當(dāng)n2時(shí),由Sn= an-n得Sn-1= an-1-n+1. 兩式相減得,Sn-Sn-1= an- an-1-1, 即an=3an-1+2(n2), 則an+1=3(an-1+1).

19、 又a1+1=2+1=3,故數(shù)列an+1是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.,(2)由(1)知an+1=33n-1=3n. 所以bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+log3(an+1)=1+2+n=,由 對(duì)任意nN*恒成立，得 2(1- ) ，即m 對(duì)任意nN*恒成立, 因?yàn)?，所以m4. 又因?yàn)閙N*，所以m=1,2,3,4.,2.已知數(shù)列an為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+a4=- ,且對(duì) 于任意的nN+,有Sn,Sn+2,Sn+1成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)已知bn=n(nN+),記Tn= 若(n-1)2 m(Tn-n-1)對(duì)于n2恒成立,求實(shí)數(shù)m

20、的最小值.,【解析】(1)設(shè)公比為q, 因?yàn)镾1,S3,S2成等差數(shù)列, 所以2S3=S1+S2, 所以2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得q=- 又a1+a4=a1(1+q3)= 所以a1= 所以an=a1qn-1=,(2)因?yàn)閎n=n,an= 所以 =n2n, 所以Tn=12+222+323+n2n, 2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1, -得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1, 所以Tn=-( -n2n+1)=(n-1)2n+1+2.,若(n-1)2m(Tn-n-1)對(duì)于n2恒成立, 則(n-1)2m(n-1)2n+1+2-n-1, (n-1)2m(n

21、-1)(2n+1-1), 所以m 令f(n)= ,f(n+1)-f(n)= 所以f(n)為減函數(shù), 所以f(n)f(2)= . 所以m .,考點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題 【考情分析】此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長(zhǎng)、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)置,它不僅涉及數(shù)列中的基本知識(shí)和方法,還往往涉及其他學(xué)科的知識(shí)和常識(shí),【典例4】(2015蘇州模擬)某商店投入81萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品, 經(jīng)銷時(shí)間共60天,市場(chǎng)調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天 的利潤(rùn)an= (單位:萬元,nN*).為了獲得更多的利潤(rùn), 商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中,記第n天的利

22、潤(rùn)率 bn= (1)求b1,b2的值. (2)求第n天的利潤(rùn)率bn. (3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間,哪一天的利潤(rùn)率最大?并求該日的利潤(rùn)率.,【解題提示】(1)根據(jù)利潤(rùn)an和利潤(rùn)率bn的定義求值. (2)分1n20和21n60兩種情況求解. (3)根據(jù)(2)的結(jié)論,利用單調(diào)性或基本不等式求解.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1= ;當(dāng)n=2時(shí)，b2= (2)當(dāng)1n20時(shí)，a1=a2=a3=an-1=an=1， 所以bn= 當(dāng)21n60時(shí)， 所以第n天的利潤(rùn)率,(3)當(dāng)1n20時(shí)，bn= 是遞減數(shù)列，此時(shí)bn的最大值為b1= 當(dāng)21n60時(shí),bn= (當(dāng)且僅當(dāng)n= ，即n=40時(shí)，“=”成立)

23、. 又因?yàn)?所以當(dāng)n=40時(shí)，(bn)max= 所以該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤(rùn)率最大，且該日的 利潤(rùn)率為,【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟 (1)確定模型類型:理解題意,看是哪類數(shù)列模型,一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列模型.基本特征見下表:,(2)準(zhǔn)確解決模型:解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等,在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確. (3)給出問題的回答:實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案,在解題中不要忽視了這點(diǎn).,【變式訓(xùn)練】從經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并 以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,

24、2015年度投入800萬元,以后每年投入 將比上年減少 ,2015年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)估計(jì)收入400萬元,由于該項(xiàng) 建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增 加 . (1)設(shè)n年內(nèi)(2015年為第一年)總投入為an萬元,旅游業(yè)總收入為bn萬元,寫出表達(dá)式. (2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?,【解析】(1)第一年投入為800萬元, 第二年投入為800(1- )萬元, 第n年的投入為800(1- )n-1萬元, 所以,n年內(nèi)的總投入為: an=800+800(1- )+800(1- )n-1 =4000-4000( )n.,第一年旅游業(yè)收入為400萬元,第二年旅游業(yè)收入

25、為400(1+ )萬 元,第n年旅游業(yè)收入為400(1+ )n-1萬元, 所以,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400(1+ )+400(1+ )n-1 =1600( )n-1600.,(2)設(shè)經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入超過總投入,由此bn-an0, 即1600( )n-1600-4000+4000( )n0, 化簡(jiǎn)得2( )n+5( )n-70, 設(shè)( )n=x,代入上式,得5x2-7x+20, 解此不等式,得x1(舍去), 即( )n ,由此得n5. 故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.,【加固訓(xùn)練】1.某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件,該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲.為了激發(fā)闖關(guān)熱情,每闖過一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣(一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣).該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案:第一種,每闖過一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣;第二種,闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣,以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣;第三種,闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)0.5慧幣,以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番(即增加1倍).游戲規(guī)定:闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案.,(1)設(shè)闖過n(nN,且n12)關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲