張量分析第二章.ppt

1、第二章 矢量代數(shù)和矢量分析,在第一章中給出了Euclid矢量空間V。V中的元素是除度量 大小的數(shù)量外還具有方向的量。這些量被稱為矢量（按張 量空間的一般敘述，矢量也被稱為一階張量）。這一章主 要對具有給定標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系 o；i1，i2，i3的Euclid矢量 空間進(jìn)行討論。,2.1 矢量集合的運(yùn)算,設(shè)r1，r2，r3是V的一組基底，由（1.3-2）式可知x V可 在r1，r2，r3的基底上唯一地線性表示為：,其系數(shù)xi (i =1, 2, 3 )稱為x在基底r1，r2， r3上的坐標(biāo)。且記為（x1，x2，x3）。x 在r1，r2，r3上的線性表示實(shí)質(zhì)上是x的 加法分解表示。即x是矢量 x1r1

2、，x2r2， x3r3 V 的矢量和。由平行四邊形法則 ，x1，x2，x3是由平行性所確定（如圖 21）。,投影：,對a、b V將b的始點(diǎn)平移至a的始點(diǎn)o；由b的終點(diǎn)作與a 矢量線垂直的垂線。且與a矢量交與a點(diǎn)；則a矢量的始點(diǎn) o指向a點(diǎn)的有向線段長度值稱為b在a上的投影。,注意：,a矢量的始點(diǎn)o指向a點(diǎn)與a矢量方向相反，其投影值為負(fù) 。,a矢量的始點(diǎn)o指向a點(diǎn)與a矢量方向一致，其投影值為正 。,例1：,解：,給定二維矢量空間矢量x。試求在 給定基底r1，r2（非正交）和i1，i2 中的坐標(biāo)和投影。,圖23,在r1，r2基底上按平行四邊形法則 ，可確定x的坐標(biāo)為（x1， x2）。 按投影法則可

3、的x在r1， r2上的投 影為X1，X2。或形式上記為（X1 ，X2）。如圖23（a）所示。,在i1，i2基底上，因 i1 i2，所以平行 四邊形法則所得四邊形與投影法則所 得四邊形重合。顯然x的坐標(biāo)（x1，x2 ）和x在i1，i2上的投影（ X1，X2）形 式上相同。如圖23（b）所示。,設(shè)V的坐標(biāo)系為o；i1，i2，i3，V中矢量的加法和矢量與 數(shù)量的標(biāo)量積按（1.1-3）和（1.1-4）定義，即對x，y V；， F有,（2.1-3）,（2.1-2）,定義 x 與 y 的逆矢量（- y）的加法運(yùn)算為 x 與 y 的減法 運(yùn)算（ x 減 y 或 x 與 y 之差）,在矢量的加法和減法運(yùn)算中定

4、義單位元素為：,同時(shí)長度為1的矢量稱為單位矢量。 應(yīng)當(dāng)注意單位矢量元素和單位矢量的區(qū)別。,例2：,圖 24 所示具有坐標(biāo)系的矢空間 V 中 矢量a、 b。試求 2a +1.5b在o；i1， i2 中的表示。,解：,例3：,圖25,如圖25（a）所示給定矢 量a、b，根據(jù)平行四邊形法 則用幾何作圖給出ab矢量 的幾何表示。,解：,見圖25（b）（c）,定義數(shù)量積,定義矢量積,定義混合積,其中ij稱為Kronecker符號。,其中eijk稱為Ricci置換符號。,（2.1-4）,（2.1-5）,（2.1-6）,（2.1-7）,（2.1-8）,Kronecker符號三維矢量空間 取值表：,Ricci

5、置換符號三維矢量空間 取值表：,（2.1-9）,（2.1-11）,但應(yīng)當(dāng)特別注意的是：,（2.1-10）,例4：,若i1，i2，i3是V的標(biāo)準(zhǔn)正交矢量。計(jì)算iiij (i , j = 1,2,3) 。,解：,綜合以上各式可得：,（2.1-12）,證明矢量的叉積和混合積有以下結(jié)論：,例5：,1,（2.1-13）,2,3,4,（2.1-14）,（2.1-15）,（2.1-16）,證：,1,2,3,4,例6：,證明e恒等式：,證：,由（2.1-12）式有：,i e 只有當(dāng) i = e 時(shí)為 1 ，其余為零。,由(2.1-16)式：,最后得：,例7：,a、bV。證明：,證：,對三維矢量空間ab的幾何表

6、示如圖26所示。,2.2 仿射（斜角）坐標(biāo)系,在三維矢量空間V 中不存在一組四個(gè)線性獨(dú)立的矢量，但 同時(shí) V 中存在許多組三個(gè)線性獨(dú)立矢量。V 中的任意一組 三個(gè)獨(dú)立的矢量都可以作為基底。與之相應(yīng)的可以構(gòu)造對 應(yīng)的坐標(biāo)系o；r1，r2，r3。一般情況下 r1，r2，r3不是單 位長度，且不一定兩兩正交。V中的坐標(biāo)系o；r1，r2， r3 稱為仿射坐標(biāo)系。當(dāng) r1，r2，r3均為單位矢量，且兩兩正 交時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。記為o；i1，i2，i3。,從線性相關(guān)的概念，三維矢量空間的任意矢量 a V 都能 夠在坐標(biāo)系o；r1，r2，r3中線性表示為：,是a在基底r1，r2，r3上的坐標(biāo)。,由于r1

7、，r2，r3不在兩兩正交，因此對x，y V兩矢量的 點(diǎn)積只能表示為：,而不能象標(biāo)準(zhǔn)正交基底那要表示為：,仿射坐標(biāo)系的對偶（或到逆）基底：,設(shè)r1，r2，r3是V的一組基底，構(gòu)造如下三個(gè)矢量：,（2.2-1）,并稱r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的對偶（或互逆）基底。 同時(shí)對任意a V構(gòu)造：,（2.2-2）,基底r1，r2，r3的對偶基底具有基本性質(zhì)：,1正交性：,（2.2-3）,2r1，r2，r3線性無關(guān)（因此可作為V的基底）：,證：,1,同理可證 ：,同理可證：,2,r1，r2，r3線性無關(guān),上式化為：,用r1，r2，r3點(diǎn)乘上式兩邊得：,顯然只有當(dāng),時(shí)：, r1，r2，r3線性無關(guān)。

8、,由對偶基底的基本性質(zhì)2：,是在對偶基底坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。,特別應(yīng)當(dāng)注意的是a在對偶基底上的坐標(biāo)與式（2.2-2）定 義的 a1，a2，a3 的區(qū)別 (a1，a2，a3是由投影法則確定 )如 圖（27）所示。,對r1，r2，r3由（2.2-1）：,同理可得r 2，r 3的對偶基表示。最后得：,（2.2-4）,與（2.2-1）比較可知r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的對偶（ 或互逆）基底(r1，r2，r3和r1，r2，r3互為對偶基底)。,按（2.2-2）式可構(gòu)造：,（2.2-5）,矢量空間V中互為對偶的基底是一組基底的兩種不同的表 達(dá)形式。對任意矢量 aV ：,r1，r2，r3是基底上：,

9、r1，r2，r3是基底上：,（a）,（b）,由（2.2-2）和（2.2-1）得：,（c）,將（c）代入（a）得：,（d）,由（2.2-5）和（2.2-4）同樣可得：,（e）,（f）,由（d）和（f）式有：,（2.2-6）,Einstein求和約定：仿射坐標(biāo)系中上標(biāo)和下標(biāo)重復(fù)且僅重 復(fù)一次表示從1到3求和。,同是上標(biāo)或同是下標(biāo)重復(fù)且僅重復(fù)一次不表示求和。如：,（2.2-6）式中a1, a2, a3 (a1, a2, a3)不是 a 在 r1, r2, r3 (r1, r2, r3 ) 中的坐標(biāo)（平行四邊法則）的表示，而是 a 在 r1, r2, r3(r1, r2, r3 )基矢量上的投影。且稱

10、 a1, a2, a3是 a 的協(xié)變分量； a1, a2, a3是 a 的逆變分量。 r1, r2, r3 是 a 的協(xié)變基矢量； r1, r2, r3 是 a 的逆變基矢量。,例8：,如圖28所示基底r1，r2，r3。其中r3是 垂直于 r1，r2所在平面的單位矢量。試 確定 r1，r2，r3 的對偶基底；圖中矢量 a的坐標(biāo)表示和協(xié)變、逆變分量表示。,解：,r1，r2，r3如圖所示。由圖中還可得：,最后得：,o；i1，i2，i3是V的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。試求：,例9：, 以矢量,為仿射坐標(biāo)系基矢量的,對偶基底。, 在o；r1，r2，r3基底及其對偶基底上求：,的協(xié)變和逆變分量表示。,解：,例10

11、：,r1 = i2 + i3 ，r2 = i3 + i1 ，r3 = i1 + i2 。矢量a = 2r1 + r2 + 3r3 ，b = r13r2 + 2r3 ， =3r1 + r2r3 。試求：,1,2,3,4,解：,或,因此a、b、c又可表示為：,1,2,3,4,在例10中協(xié)變基底和逆變基底存在關(guān)系,盡管r1，r2，r3和r1，r2，r3是V中兩組線性無關(guān)的矢量。但 它們是V中一組基底的兩種不同表示方法。如果在V中給出 兩組基底 r1，r2，r3和 e1，e2，e3。那么e1，e2，e3作為V中 矢量可以用基底r1，r2，r3表示為：,稱為e1在r1，r2，r3仿射坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。,稱

12、為e2在r1，r2，r3仿射坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。,稱為e3在r1，r2，r3仿射坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。,同樣r1，r2，r3作為V中矢量可以用基底e1，e2，e3表示為,（2.2-7）,（2.2-7a）,（2.2-7）和（2.2-7a）稱為兩組基底r1，r2，r3和e1，e2，e3 之間的坐標(biāo)基底變換。,設(shè)r1，r2，r3；e1，e2，e3是V中的兩組基底。兩組基底之間 滿足（2.2-7）或（2.2-7a）變換關(guān)系。r1，r2，r3；e1，e2， e3是r1，r2，r3；e1，e2，e3的對偶基底。對任意aV有：,（2.2-8）,由,可得：,（2.2-9a）,同理由,還可得：,將（2.2-9b）代入（2

13、.2-9a）得：,利用Einstein求和約定。（2.2-7）（2.2-10）可表示為：,（2.2-9b）,（2.2-10）,（2.2-11）,（2.2-11）式給出了協(xié)變基底到協(xié)變基底的變換。同樣也 可得出協(xié)變基底到逆變基底 ；逆變基底到協(xié)變基底 ；逆 變基底到逆變基底所對應(yīng)的變換。,在標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系（ r1，r2，r3 和 e1，e2，e3均是標(biāo)準(zhǔn)正 交坐標(biāo)系）中，由于 r1 = r 1，r2 = r 2，r3 = r 3，和e1 = e 1 ， e2 = e 2，e3 = e 3 。協(xié)變基底與逆變基底相同。同時(shí)協(xié) 變分量與逆變分量相同。這時(shí)（2.2-11）到（2.2-14）的 表達(dá)式均可表達(dá)為：,（2.2-12）,（2.2-13）,（2.2-14）,以下給出這三種基底間變換的表達(dá)式：,（2.2-15）,例11：,已知r1 = i1，r2 = i1+ i2，r3 = i1+ i2 + i3和e1 = i1 +