[誤差理論與數(shù)據(jù)處理][課件][第02章][第1節(jié)][隨機誤差].ppt

1、3- 1,第二章 第1節(jié) 隨機誤差,3- 2,1.統(tǒng)計直方圖,（1）分組數(shù)=11，組距=0.05mm； （2）依次定各組的頻數(shù)、頻率和頻率密度； （3）以數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，頻率密度為縱坐標(biāo)，在橫坐標(biāo)上劃出等分的子區(qū)間，劃出各子區(qū)間的直方柱，即為所求統(tǒng)計直方圖。,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,0,5,10,15,20,25,3- 3,數(shù)學(xué)期望,定義,一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統(tǒng)誤差，如果系統(tǒng)誤差可以忽略，則 就是被測量的真值,三條測量值分布曲線的精密度相同，但準(zhǔn)確度不同。,數(shù)學(xué)期望代表了測量的最佳估計值，或相對真值的系統(tǒng)誤差大小,3- 4,標(biāo)準(zhǔn)

2、偏差,二階中心矩，稱為X的標(biāo)準(zhǔn)（偏）差， ，的大小表征了隨機誤差的分散程度，即大部分分布在 范圍內(nèi)，可作為隨機誤差的評定尺度,定義,三條誤差分布曲線的準(zhǔn)確度相同，但精密度不同,標(biāo)準(zhǔn)差代表了該測量條件下的測量結(jié)果分散性的大小，或是該測量分布的隨機誤差大小,3- 5,協(xié)方差,定義,式中,協(xié)方差 表示了兩變量間的相關(guān)程度,3- 6,相關(guān)系數(shù),定義,表示了兩個變量間線性相關(guān)的程度,越小，X，Y之間線性相關(guān)程度越小， 取值越大，X，Y之間線性相關(guān)程度越大,當(dāng) ，X與Y正相關(guān)，當(dāng) ，X與Y負相關(guān),線性相關(guān),正相關(guān),負相關(guān),線性不相關(guān),3- 7,3.概率密度（分布）圖,把各直方柱頂部中點用直線連接起來，便得

3、到一條由許多折線連接起來的曲線。當(dāng)測量樣本數(shù)n無限增加，分組間隔趨于零，圖中直方圖折線變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率（分布）密度曲線，記為。這就是用實驗方法由樣本得到的概率密度分布曲線。,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,0,5,10,15,20,25,3- 8,概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律。,概率密度函數(shù)的幾何意義,置信區(qū)間,顯著性水平（又稱顯著度或危險率）,置信概率（或置信水平），簡記為符號,4.概率密度的性質(zhì),有兩個性質(zhì),3- 9,一、隨機誤差產(chǎn)生的原因,測量裝置方面的因素,零部件配合的不穩(wěn)定性、零部件的變形、零件表面油膜不均勻、摩擦等。,測量環(huán)境方

4、面的因素,放置測量主機和被測試樣的隔震臺不能很好消除外界的低頻震動,儀器所在實驗室氣流和溫度的波動,空氣塵埃的漂浮、穩(wěn)壓電源供電電壓的微小波動,操作人員方面的因素,瞄準(zhǔn)、讀數(shù)的不穩(wěn)定等。,3- 10,例:某鋼球工件直徑重復(fù)測量150次的測量點列圖,單峰性：數(shù)據(jù)集中在7.335附近，如不存在系統(tǒng)誤差，其約定真值即為7.335,有界性：數(shù)據(jù)分布在7.085至7.585之間，即可確定誤差分布的大致范圍,對稱性：正負誤差的數(shù)目大致相同；,抵償性：誤差的總和大致趨于零，它是判定隨機誤差最本質(zhì)的一個統(tǒng)計特征。,3- 11,二、正態(tài)分布,誤差因素多而小，無一個占優(yōu)，彼此相互獨立（中心極限定理）。,一般認為，

5、當(dāng)影響測量的因素在15個以上，且相互獨立，其影響程度相當(dāng)，可以認為測量值服從正態(tài)分布；若要求不高，影響因素則應(yīng)在5個（至少3個）以上，也可視為正態(tài)分布。,服從正態(tài)分布的隨機誤差均具有：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。,3- 12,(1) 經(jīng)典誤差理論都是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上。凡是有3、5個以上的、差不多微小的、獨立影響的合成分布都趨近正態(tài)分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個事實。,正態(tài)分布在誤差理論和實踐中的地位,(2) 許多非正態(tài)分布可以用正態(tài)分布來表示。,(3) 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)具有簡單的數(shù)學(xué)形式和優(yōu)良的性質(zhì)。,(4) 也有不少的誤差分布并不能簡單地用正態(tài)分布來描

6、述。因而，現(xiàn)代誤差理論及其實踐需要進一步研究非正態(tài)分布的問題。,3- 13,隨機誤差的表述,表述方法,被測量的真值,一系列測量值，假設(shè)各次測量值中不含有系統(tǒng)誤差,3- 14,當(dāng)測量次數(shù)n充分大時，有,以及,抵償性是各種隨機誤差所共有的本質(zhì)特征。,隨機誤差的抵償性,3- 15,概率密度函數(shù),正態(tài)分布的密度函數(shù),為測量總體的數(shù)學(xué)期望，如不計系統(tǒng)誤差，則 即為隨機誤差,為測量總體的標(biāo)準(zhǔn)差，也是 隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)差,3- 16,（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大。 （2）對稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負誤差出現(xiàn)的概率相等。 （3）抵償性：隨測量次數(shù)增加，算術(shù)平均值趨于零。,分布的誤差特性,正

7、態(tài)分布的這三個特點與誤差大樣本下的統(tǒng)計特性相符。但在理論上，正態(tài)分布無界，這也是正態(tài)分布與實際誤差有界性不相符之處。,3- 17,正態(tài)分布的置信概率,誤差在分布區(qū)間 的置信概率,式中,置信概率,正態(tài)積分函數(shù)，已制成正態(tài)積分表,置信因子,3- 18,正態(tài)分布的某些k值的置信概率,3.3,3.0,2.58,2.0,1.96,1.645,1.0,0.6745,0.999,0.9973,0.99,0.954,0.95,0.90,0.683,0.5,0.001,0.0027,0.01,0.046,0.05,0.10,0.317,0.5,2,3- 19,隨機誤差的隨機性影響,對于任何的測量，其中的隨機誤差

8、源客觀存在，它造成對每次測量數(shù)據(jù)的不可預(yù)測的隨機性影響,影響表現(xiàn)在該測量總體服從某種分布,誤差大小可以通過標(biāo)準(zhǔn)差來估計,誤差界限則可用置信區(qū)間表示,3- 20,含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)問題的處理方法,有條件獲取較大樣本數(shù)據(jù)的情形,可以做出實驗統(tǒng)計直方圖，定性定量地給出測量總體及其誤差分布的判斷，進而從中提取表示被測量大小的數(shù)字特征，并給出完整的測量結(jié)果,無條件獲取大樣本數(shù)據(jù)的情形,必須依據(jù)小樣本的測量數(shù)據(jù)以及可能了解到的有關(guān)測量信息，合理給出代表測量總體的測量結(jié)果，包括其最佳估計值及其標(biāo)準(zhǔn)差、置信區(qū)間等,3- 21,三、 算術(shù)平均值,本部分主要介紹算術(shù)平均值的意義以及如何計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。

9、,3- 22,1、算術(shù)平均值的意義,在等權(quán)測量條件下，對某被測量進行多次重復(fù)測量，得到一系列測量值,常取算術(shù)平均值,作為測量結(jié)果的最佳估計。,3- 23,無限多次測量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù),因為,根據(jù)隨機誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時， 有,所以,3- 24,殘余誤差及簡單算術(shù)平均運算,殘余誤差,簡單算術(shù)平均運算，先取任意個,見P11例題2.1,3- 25,算術(shù)平均值的校核,殘余誤差代數(shù)和為0，可用來校核正確性。 殘余誤差代數(shù)和和絕對值應(yīng)符合（存在舍位進位時） 當(dāng)n為偶數(shù)， 當(dāng)n為奇數(shù)， A為實際求得的算術(shù)平均數(shù) 末位的一個單位,見P12例題2.2 2.3,3- 26,2、測量的標(biāo)準(zhǔn)差,單次

10、測量列標(biāo)準(zhǔn)差計算公式,貝塞爾公式,注意推導(dǎo)過程,表征同一被測量的n次測量的測得值分散性得參數(shù)，可作為測量單次測量不可靠性得評定標(biāo)準(zhǔn)。P14二段話,3- 27,適當(dāng)增加測量次數(shù)取其算術(shù)平均值表示測量結(jié)果，是減小測量隨機誤差的一種常用方法。,測量列平均值標(biāo)準(zhǔn)差計算公式,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,單次測量標(biāo)準(zhǔn)差,測量總體標(biāo)準(zhǔn)差,測量列算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差,表征同一個被測量的各個獨立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評價標(biāo)準(zhǔn),3- 28,10次算術(shù)平均值與單次測量的分布關(guān)系,兩者的分布類型和峰值位置未變化，只是分散性不同。,3- 29,測量次數(shù)愈大時，也愈難保證測量條件的不變，從而帶來新的

11、誤差。另外，增加測量次數(shù)，必,與測量次數(shù)的關(guān)系,當(dāng) 一定時， 以后， 已減小得較緩慢。,然會增加測量的工作量及其成本。因此一般情況下，取 n=10 以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y量準(zhǔn)確度，應(yīng)選用適當(dāng)準(zhǔn)確度的測量儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。,3- 30,歸納：實驗標(biāo)準(zhǔn)差定義,貝塞爾公式 極差法 最大誤差法 別捷爾斯法,對于一組測量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來表述這組數(shù)據(jù)的分散性,如果這組數(shù)據(jù)是來自于某測量總體的一個樣本，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是對該測量總體標(biāo)準(zhǔn)差的一個估計，稱其為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，又稱為實驗標(biāo)準(zhǔn)差,3- 31,1、貝塞爾公式,公式意義 總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(實驗樣本標(biāo)準(zhǔn)差),計算公式,為殘余誤差，簡稱殘差。

12、,3- 32,2、極差法,對多次獨立測得的數(shù)據(jù) ， 最大值， 最小值,當(dāng)測量誤差服從正態(tài)分布時，標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式,極差,是測量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計,極差法可以簡單迅速算出標(biāo)準(zhǔn)差，并具有一定精度，在n10時選用 P18 例2-6,3- 33,極差法系數(shù),1.13,0.76,9,2.97,0.27,16,3.53,0.21,3,1.69,0.52,10,3.08,0.26,17,3.59,0.21,4,2.06,0.43,11,3.17,0.25,18,3.64,0.20,5,2.33,0.37,12,3.26,0.24,19,3.69,0.20,6,2.53,0.34,13,3.31,0.23,

13、20,3.74,0.20,7,2.70,0.31,14,3.41,0.22,8,2.85,0.29,15,3.47,0.22,3- 34,3、最大誤差法,測量誤差服從正態(tài)分布時，估計標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式,在已知被測量的真值的情形，多次獨立測得的數(shù)據(jù)的真誤差，其中的絕對值最大,在只進行一次性實驗中，是唯一可用的方法P19例27,3- 35,3、最大殘差法,在一般情況下，被測量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大誤差法估計標(biāo)準(zhǔn)差,最大殘余誤差 估計標(biāo)準(zhǔn)差,最大殘差法不適用于n=1的情形,3- 36,最大誤差法系數(shù),0.88,0.51,1.77,1,2,3,0.75,0.45,1.02,0.68,0.40,0.

14、83,0.64,0.36,0.74,0.61,0.33,0.68,0.58,0.31,0.64,0.56,0.29,0.61,10,0.53,0.27,0.57,20,0.46,0.23,0.25,1.25,0.75,3- 37,5、別捷爾斯法,別捷爾斯法,3- 38,對某量測得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計其測量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對標(biāo)準(zhǔn)差。,【例3-2】,【解】,(1) 用貝塞爾公式估算,3- 39,(2) 用極差法估算,查表，得,故,計算結(jié)果1,3- 40,（3）用最大誤差法估算,真值

15、未知，計算最大殘差,查表，插值計算得,故,計算結(jié)果2,3- 41,進行一次導(dǎo)彈發(fā)射實驗，導(dǎo)彈著落點距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差。,【例3-3】,【解】,查表，得,故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為,本例測量一次的情形, 唯有最大誤差法可以估計其實驗的標(biāo)準(zhǔn)差, 由于樣本數(shù)為1，故其估計的信賴程度只有25%。,3- 42,五、測量的極限誤差,本節(jié)介紹如何確定誤差分布的區(qū)間性指標(biāo)，即可用于表述誤差界限的置信區(qū)間。在置信概率一定的情況下，置信區(qū)間還與誤差分布的具體形態(tài)密切相關(guān)。本節(jié)對置信區(qū)間給出一般的數(shù)學(xué)描述，而且還要針對幾種常見的誤差分布進行具體討論。由于測量誤差分布與測量總體的分布之間對測量數(shù)據(jù)的描述方式上，只是相

16、差一個常數(shù)值，故以下均按測量總體分布來描述。,3- 43,1、單次測量的極限誤差,隨機誤差在 至 范圍內(nèi)的誤差為 定義概率積分 單次測量的極限誤差,3- 44,正態(tài)分布中的置信區(qū)間,3- 45,2、算術(shù)平均值的極限誤差,測量列算術(shù)平均的極限誤差 實際測量中，測量次數(shù)較少時，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布，簡稱t分布,P21 例2-9,3- 46,置信區(qū)間的基本概念,置信區(qū)間計算公式,測量總體的概率密度,置信概率或置信水平, 為顯著水平,期望值,下半置信區(qū)間寬度， 上半置信區(qū)間寬度,概率密度呈對稱分布的情形，常取,高置信水平下的置信區(qū)間半寬度又稱為極限誤差,3- 47,置信區(qū)間半寬度的常用表示方法,或,或

17、置信因子,標(biāo)準(zhǔn)差,確定置信區(qū)間半寬度的關(guān)鍵是在已估計標(biāo)準(zhǔn)差下如何確定置信因子,3- 48,1、總體標(biāo)準(zhǔn)差或大樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形,置信區(qū)間半寬度為,置信因子由 計算得到,正態(tài)積分函數(shù)，可查表獲得,總體標(biāo)準(zhǔn)差已知,總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但已知大樣本標(biāo)準(zhǔn)差,置信概率或置信水平,(單次測量),(n次測量),(單次測量),(n次測量),3- 49,2.0,3.0,2.58,0.99,0.01,0.954,0.046,1.96,0.95,0.05,1.645,0.90,0.10,1.0,0.683,0.317,0.6745,0.5,0.5,0.9973,0.0027,3.30,0.999,0.001,一些常用

18、置信因子對應(yīng)的置信水平,3- 50,（1）大樣本情形，估計置信區(qū)間的置信因子都用正態(tài)分布；小樣本情形，則用t分布。 （2）單次測量情形，估計置信區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)差都用單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差；多次測量情形，則用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。,總結(jié),3- 51,用游標(biāo)卡尺對某一試樣尺寸測量10次，假定測量服從正態(tài)分布，并已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08 (1) 求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差； (2) 求算術(shù)平均值的極限誤差（ =0.9973）。,【例3-5】,【解】,(1) 分別計算,3-

19、 52,（2）先按小樣本估計，查 分布臨界值表,有,再按大樣本估計，查正態(tài)分布臨界值表，,有,綜上所述： （1）算術(shù)平均值是處理等權(quán)測量數(shù)據(jù)的一個最佳估計量； （2）一般按貝塞爾公式計算和，樣本數(shù)時只能用最大誤差法計算； （3）算術(shù)平均值的極限誤差一般按確定。,計算結(jié)果,3- 53,六、不等精度測量,用不同測量次數(shù)對比 用不同精度儀器進行對比測量 權(quán)：衡量測量結(jié)果可靠程度的數(shù)值 權(quán)的確定 加權(quán)算術(shù)平均值 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,3- 54,權(quán)的確定,按測量次數(shù)確定 多組測量，按每組測量的標(biāo)準(zhǔn)差確定 P23 例2.10,3- 55,加權(quán)算術(shù)平均值,對同一被測量進行m組不等精度測量 單位權(quán) 概念

20、單位權(quán)化的實質(zhì)是使任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。P25,3- 56,加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,對同一被測量進行m組不等精度測量,3- 57,七、隨機誤差的其他分布,本節(jié)介紹幾種常見的誤差分布，包括正態(tài)分布、均勻分布、三角分布、瑞利分布、反正弦分布、投影分布、分布。常用的統(tǒng)計量分布，包括t分布 F分布，分布。,3- 58,1、均勻分布,若誤差在某一范圍中出現(xiàn)的概率相等，稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布。,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,方差,標(biāo)準(zhǔn)方差,置信因子,o,-a,a,3- 59,服從均勻分布的可能情形,(1) 數(shù)據(jù)切尾引起的舍入誤差; (2) 數(shù)字顯示末位的截斷誤差 (3) 瞄準(zhǔn)誤差; (4) 數(shù)字儀器的量化誤差; (5) 齒輪回程所產(chǎn)生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差； (6) 多中心值不同的正態(tài)誤差總和服從均勻分布。,3- 60,2、三角分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,當(dāng)兩個分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布。,3- 61,3、反正弦分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,a,-a,o,服從反正弦分布的可能情形,度盤偏心引起的測角誤差；,正弦（或余弦）振動引起的位移誤差；,無線電