線性系統(tǒng)部分總復習().ppt

1、1,主要學習內(nèi)容,Ch1 緒論 Ch2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 Ch3 線性系統(tǒng)的運動分析 Ch4 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性 Ch5 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性 Ch6 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合,2,一系統(tǒng)數(shù)學描述的兩種基本類型,1、輸入輸出描述（外部描述）,(1) 用傳遞函數(shù)、微分方程等表征；(2)是系統(tǒng)的外部描述；(3)是對系統(tǒng)的不完全描述。,第2章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,2、狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）,(1)用狀態(tài)空間表達式表征；(2)是系統(tǒng)的內(nèi)部描述；(3)是對系統(tǒng)的完全描述。,3,二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立,建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種： 根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式 由

2、系統(tǒng)輸入輸出描述建立狀態(tài)空間表達式,能控標準型實現(xiàn) 能觀測標準型實現(xiàn),4,1. 可控規(guī)范形實現(xiàn),設(shè),則矩陣形式的可控規(guī)范形實現(xiàn)為,式中：,友矩陣,上一頁,下一頁,返回,主目錄,5,2）可觀測規(guī)范形實現(xiàn),則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為,式中：,友矩陣,上一頁,下一頁,返回,主目錄,6,三、傳遞函數(shù)矩陣的計算,設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,在初始條件為零時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達式為：,7,1. 非奇異線性變換的不變特性,非奇異線性變換后系統(tǒng)特征值不變、傳遞函數(shù)矩陣不變、能控性不變、能觀測性不變、能控性指數(shù)不變、能觀測性指數(shù)不變、穩(wěn)定性不變.,2. 線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述,四、 線性定

3、常系統(tǒng)的坐標變換,對于線性定常系統(tǒng)，兩個代數(shù)等價的狀態(tài)空間描述，可以化為相同的對角線規(guī)范型、約當規(guī)范型、能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型。,8,2. 線性時不變系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述,對狀態(tài)向量x引入線性非奇異變換 ，則變換后的狀態(tài)空間描述,n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,其中：,稱系統(tǒng)兩種不同的狀態(tài)空間描述(a)，(b)為代數(shù)等價的，對于參數(shù)矩陣滿足上述關(guān)系的系統(tǒng)稱為代數(shù)等價系統(tǒng)。,(a),(b),9,對角規(guī)范形 狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A具 有對角形的形式。,約當規(guī)范形 狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A具 有分塊對角形的形式。,3. 狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形,10,1) 對角線規(guī)范形,1) 可化為對角線

4、規(guī)范形的條件,已知n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,當系統(tǒng)矩陣A具有n個線性無關(guān)的特征向量 時， 可以通過線性非奇異變換變換為對角線規(guī)范形 。即以 下2種情況下可化為對角線規(guī)范形：,（1）系統(tǒng)矩陣A的n個特征值兩兩互異；,（2）系統(tǒng)矩陣A有重特征值，且所有特征值的幾何重數(shù)都等于其代數(shù)重數(shù)。,11,2) 約當規(guī)范形,1) 化為約當規(guī)范形的條件,對于n階線性定常系統(tǒng) 當系統(tǒng)矩陣A有重特征值，且矩陣A的線性無關(guān)的 特征向量個數(shù)少于n時，則可以通過線性非奇異變 換變換為約當規(guī)范形。,12,3） 特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù),（a）代數(shù)重數(shù),設(shè)i為系統(tǒng)矩陣A的一個特征值，且有,則稱i為特征值i的代數(shù)重數(shù)。,說

5、明1：矩陣A的重特征值i的重數(shù)i 就是特征值i的 代數(shù)重數(shù)。,說明2：若n階線性定常系統(tǒng)含有重特征值i且可化為 約當規(guī)范形時， i的代數(shù)重數(shù)i為該規(guī)范形中 所有屬于特征值i的約當小塊的階數(shù)之和。,13,（b）幾何重數(shù),設(shè)i為系統(tǒng)矩陣A的一個特征值，i的幾何重數(shù)可由下式計算,說明：若n階線性定常系統(tǒng)含有重特征值i且可化 為約當規(guī)范形時，i的幾何重數(shù)i為該規(guī) 范形中特征值i對應的約當小塊的個數(shù)。,14,說明：約當規(guī)范形的特點,對包含重特征值的n維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣 的約當規(guī)范形是一個“嵌套式”的對角塊陣。 “外層”反映整個矩陣，其形式是以相應于各個特征值的約當塊為塊元的對角線分塊陣，約當塊的

6、個數(shù)等于相異特征值個數(shù)l，約當塊的維數(shù)等于相應特征值的代數(shù)重數(shù)。 “中層”就是約當塊，其形式是以約當小塊為塊元的對角線分塊陣，約當小塊的個數(shù)等于相應特征值的幾何重數(shù)。 “內(nèi)層”為約當小塊，約當小塊為“以相應特征值為對角元，其右鄰元均為1，其余元素均為0”的矩陣。,15,五、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,組合系統(tǒng)：由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按一定方式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。 基本的互聯(lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋 三種組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣,16,兩個線性時不變子系統(tǒng)S1和S2的狀態(tài)空間描述分別為：,一、子系統(tǒng)并聯(lián),17,二、子系統(tǒng)串聯(lián),18,三、子系統(tǒng)反饋連接,或,19,第3章

7、 線性系統(tǒng)的運動分析,一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義,線性定常系統(tǒng) 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：,當t0 = 0時，可將其表為,即對于線性定常系統(tǒng)來說，它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)。,20,二線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和計算,1性質(zhì)：（7條）,2 的計算方法,1）定義法,（最常用）,3）拉氏反變換法（）,2）特征值法,21,三線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解x(t)的計算 (求線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應),1積分法：,2拉氏變換法：,22,第4章 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性,一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù),1秩判據(jù),2PBH秩判據(jù),3對角線規(guī)范型判據(jù),4約當規(guī)范型判據(jù),23,1. 秩判據(jù),線

8、性定常系統(tǒng),完全能控的充分必要條件是,其中: n為矩陣A的維數(shù)， 稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。,注：秩判據(jù)是一種方便，應用廣泛的判別方法。,24,2PBH秩判據(jù),線性定常系統(tǒng),完全能控的充分必要條件是：對矩陣A的所有特征值 ，,均成立，或等價地表示為,注：當系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時，應用秩判據(jù)可能不太方便，此時可考慮用PBH秩判據(jù)試一下。,25,3對角線規(guī)范型判據(jù),當矩陣A的特征值 為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全能控的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型,中， 不包含元素全為零的行。,26,當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全能控的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型 中， 中與同一特征

9、值的各約當塊對應的各子塊的最后一行組成的矩陣是行線性無關(guān)的。,4約當規(guī)范型判據(jù),27,二線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),1秩判據(jù),2PBH秩判據(jù),3對角線規(guī)范型判據(jù),4約當規(guī)范型判據(jù),28,1. 秩判據(jù),線性定常系統(tǒng) 完全可觀測的充分必要條件是: 或,其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，Qo稱為系統(tǒng)的能觀測性判別陣，簡稱能觀測性陣。,29,2. PBH秩判據(jù),線性定常系統(tǒng) 完全能觀測的充分必要條件是：對矩陣A的所有特征值 ，均有,成立?；虻葍r地表示為,30,3. 對角線規(guī)范型判據(jù),當矩陣A的特征值 為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全能觀測的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型,中， 不包含元素全為零的列。,31

10、,4. 約當規(guī)范型判據(jù),當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全能觀測的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型 中， 中與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的第一列組成的矩陣是列線性無關(guān)的。,32,考慮連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),線性時變系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,（1）,（2）,四、對偶性,1.對偶系統(tǒng)：,2.對偶原理：,線性時變系統(tǒng)的完全能控等同于其對偶系統(tǒng)的完全能觀測，線性時變系統(tǒng)的完全能觀測等同于其對偶系統(tǒng)的完全能控。,33,1.能控規(guī)范形的定義：,對完全能控的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式,其中：,則稱此狀態(tài)空間描述為能控規(guī)范形。,五.能控能觀規(guī)范形,

11、34,結(jié)論：對于完全能控的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng),其中：A為nn常陣，b，c分別為n維列向量和n維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為,引入非奇異線性變換陣P：,2.化SISO能控系統(tǒng)為能控規(guī)范形,35,作變換 ，即可導出能控規(guī)范形為：,式中：,其中：,36,3.能觀測規(guī)范形的定義：,對完全能觀測的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式,其中：,則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測規(guī)范形。,37,結(jié)論：對于完全能觀測的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng),其中：A為nn常陣，b，c分別為n維列向量和n維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為,引入非奇異線性變換陣Q：,4.化SISO能觀測系統(tǒng)為能觀測規(guī)范形,

12、38,作變換 ，即可導出能觀測規(guī)范形為：,式中：,其中：,39,結(jié)論：對不完全能控的系統(tǒng)，rankQc=kn，引 入線性非奇異變換 ，即可導出系統(tǒng)按能控性 結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式,P 矩陣如 何確定？,六、連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,1. 線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解,40,1）從能控性判別陣Qc中任意的選取k個線性無關(guān)的列向量，記為 。 2）在n維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n-k)個列向量（注：所謂盡可能簡單是指這(n-k)個列向量中有盡可能多的元素為零，非零元素取值為1），記為 ，使它們和 線性無關(guān)。這樣就可以構(gòu)成nn非奇異變換矩陣,非奇異變換矩陣P-1的構(gòu)造方法,41,式中：

13、 為k維能控狀態(tài)子向量， 為(n-k)維不能控狀態(tài)子向量，并且,進行非奇異線性變換：,即可得到系統(tǒng)按能控性分解的規(guī)范表達式：,42,結(jié)論：對不完全能觀的系統(tǒng)，rankQo=mn，引 入線性非奇異變換 ，即可導出系統(tǒng)按能觀 性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式,F 矩陣如 何確定？,2. 線性定常系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解,43,從Qo中任意的選取m個線性無關(guān)的行向量，記為 。,非奇異變換矩陣F的構(gòu)造方法,2. 在n維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n-m)個n維行向量 ，使它們和 線性無關(guān)。構(gòu)成nn非奇異變換矩陣,44,即可得到系統(tǒng)按能觀測性分解的規(guī)范表達式：,式中： 為m維能觀測狀態(tài)子向量， 為(n- m)

14、維不能觀測狀態(tài)子向量，并且,進行非奇異線性變換,45,七. 最小實現(xiàn)（補充）,1最小實現(xiàn)的定義：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個維數(shù)最低的實現(xiàn)，稱為G(s)的最小實現(xiàn)或不可約簡實現(xiàn)。,3定理1：設(shè)(A,B,C)為傳遞函數(shù)矩陣的一個n維實現(xiàn)，則其為最小實現(xiàn)的充要條件是A,B可控且A,C可觀測。,46,3. 設(shè)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)(A,b,c)的傳遞函數(shù)為：,式中： 是系統(tǒng)的特征多項式；,，其中adj(sI-A)為特征矩陣sI-A的伴隨矩陣。,定理2：系統(tǒng)實現(xiàn)(A,b,c)為最小實現(xiàn)，即為可控且可觀測的充要條件是， 與 互質(zhì)。,給出SISO線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫出其最小實現(xiàn)： 對傳遞函數(shù)G(s)化

15、簡，使其分子分母互質(zhì)，然后直接 寫出其能控或能觀規(guī)范型即為最小實現(xiàn)的一種形式。,47,外部穩(wěn)定性 通過系統(tǒng)輸入 輸出關(guān)系來描 述系統(tǒng)穩(wěn)定性,內(nèi)部穩(wěn)定性 通過零輸入下狀 態(tài)運動的響應來 描述系統(tǒng)穩(wěn)定性,描述穩(wěn)定性的兩種方法,第5章 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性,48,1.外部穩(wěn)定性,對于一個因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始條件為零，如果對應于任意一個有界的p維輸入u(t)，所產(chǎn)生的q維輸出y(t)均是有界的，則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定(BIBO穩(wěn)定)。,2.內(nèi)部穩(wěn)定性,令外輸入u=0，如果對于給定的任意初始狀態(tài)，系統(tǒng)的零輸入響應均滿足下列關(guān)系式：,則稱該系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定，或漸近穩(wěn)定。,49,

16、二、線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系,外部穩(wěn)定性,內(nèi)部穩(wěn)定性,既能控又能觀時,50,三、李雅普諾夫第二法主要定理,1. 結(jié)論5.11 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1),對于定常系統(tǒng) 其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零點x滿足如下條件： 1） V(x)為正定； 2） 為負定； 3） 當 時， 。 則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,51,2. 結(jié)論5.12 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2),對于定常系統(tǒng) 其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且

17、對于狀態(tài)空間X中的一切非零點x滿足如下條件： 1） V(x)為正定； 2） 為負半定； 3） 對于任意 非零 ； 4） 當 時， 。 則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,52,1、結(jié)論5.22 特征值判據(jù)：考慮線性定常自治系統(tǒng),系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有非正(負或零)實部，且實部為零的特征值是A的最小多項式的單根。,四、線性時不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù),(sI-A)-1中所有元素的最小公分母,53,2、結(jié)論5.23 特征值判據(jù)：考慮線性定常自治系統(tǒng),系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實

18、部。,對于零初始條件的p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，G(s)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為真或嚴真的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有極點均具有負實部。,3、結(jié)論5.3 ：線性定常系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù),54,結(jié)論5.24 線性定常系統(tǒng),的原點平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定對稱矩陣Q，李亞普諾夫矩陣方程,有唯一正定對稱矩陣解P。,注意：使用中常選取Q陣為單位陣或正定對角陣。,五、線性時不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù),55,第6章 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合,一 . 兩種常用反饋結(jié)構(gòu),1. 狀態(tài)反饋：,2. 輸出反饋：,56,二 .反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)

19、性能的影響,1. 對系統(tǒng)可控性和可觀測性的影響,結(jié)論6.1/6.2：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但可能改變系統(tǒng)的可觀測性。,結(jié)論6.3：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性。,57,對于線性定常受控系統(tǒng),如果可以找到狀態(tài)反饋控制律,使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng),是漸近穩(wěn)定的，即（A-BK）的特征值均具有負實部，則稱系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。,結(jié)論6.16: 當且僅當線性定常系統(tǒng)的不能控部分漸近穩(wěn)定時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。,2. 反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,58,總結(jié): 完全能控的線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。 線性定常系統(tǒng)不完全能控，但不能控部分是漸近穩(wěn)定的（即不能控部分的極點均具有負實

20、部），則系統(tǒng)一定是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。 線性定常系統(tǒng)不完全能控，但不能控部分是不穩(wěn)定的（即不能控部分的極點具有非負實部），則系統(tǒng)一定不能通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。,59,三、 系統(tǒng)的極點配置,1利用狀態(tài)反饋的極點可配置條件,結(jié)論6.4：利用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。,注：若系統(tǒng)不完全能控即不滿足上述結(jié)論條件， 但系統(tǒng)不能控部分特征值屬于期望閉環(huán)特征值， 那么仍能配置系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點。,60,2. 單輸入單輸出系統(tǒng)的極點配置算法,給定n維受控系統(tǒng)(A,b)和一組任意期望閉環(huán)特征值 , 要確定(1n)維的反饋增益向量k,使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-bk)的特征值為 。,1） 通用的計算

21、方法(),設(shè),(1) 計算期望的特征多項式：,通用的計算方法() 完全可控系統(tǒng)極點配置的規(guī)范算法,61,(2) 用待定系數(shù)計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：,(3) 由下列n個方程計算反饋矩陣k的元素：,注意：系統(tǒng)完全能控，單輸入系統(tǒng)的極點配置有唯一解；系統(tǒng)不完全能控，若期望極點中包含所有不能控極點，極點配置有解（可通過上述通用的計算方法求出反饋增益陣K），否則無解。,62,(1) 計算矩陣A的特征多項式:,(2) 計算期望的特征多項式:,計算(能控規(guī)范型)反饋矩陣 :,2）完全能控單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置的規(guī)范算法,63,(6) 計算原系統(tǒng)的反饋增益陣：,(4) 計算變換矩陣P:,(5) 計算P-1：,64,矩陣的循環(huán)性,循環(huán)矩陣定義：矩陣A的特征多項式等于其最小多項式,循環(huán)矩陣性質(zhì)： 結(jié)論6.5：當且僅當矩陣A的約當規(guī)范形中相應于每個 不同特征值僅有一個約當小塊時，矩陣A為循環(huán)矩陣。 結(jié)論6.6：若系統(tǒng)矩陣A的n個特征值兩兩互異，則矩陣A為循環(huán)矩陣。,3. 多輸入系統(tǒng)的極點配置:會判斷矩陣的循環(huán)性即可,65,結(jié)論6.11：對完全能控n維單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)傳