勾股定理及逆定理證明2.ppt

1、,勾股定理與它的逆定理的證明,開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué) 王京春 2009、4,駛向勝利的彼岸,勾股定理,如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagoras theorem）.,駛向勝利的彼岸,勾股定理的證明,方法一: 拼圖計(jì)算 方法二：割補(bǔ)法 方法三：趙爽的弦圖 方法四：總統(tǒng)證法 方法五：青朱出入圖 方法六：折紙法 方法七：拼圖計(jì)算,這些證法你還能記得多少?你最喜歡哪種證法?,總統(tǒng)證法,這個(gè)證明方法出自一位總統(tǒng), 1881年，伽菲爾德 (J.A. Garfield )就任美國(guó)第二十任總

2、統(tǒng),在 1876 , 利用了梯形面積公式。 圖中三個(gè)三角形面積的和是 梯形面積為(a+b)(a+b)/2; 比較可得:c2 = a2+b2 。,駛向勝利的彼岸,勾股定理的逆定理,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊 平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形.,已知:如圖(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. 求證:ABC是直角三角形.,逆定理的證明,證明:作Rt ABC使 C900，ACAC BCBC(如圖),則,AC2BC2AB2 (勾股定理),AC2BC2AB2(已知), ACAC, BCBC(已作), ABC ABC(SSS), C=C 900 (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等), ABC是直角三角

3、形 (直角三角形定義)., AB2AB2(等式性質(zhì)), ABAB(等式性質(zhì)),幾何的三種語(yǔ)言,勾股定理的逆定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形,這是判定直角三角形的根據(jù)之一,在ABC中 AC2BC2AB2(已知), ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的 平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形 是直角三角形).,駛向勝利的彼岸,命題與逆命題,1、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的 平方 2、如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形,觀察上面兩個(gè)命題,它們的條件與結(jié)論之間 有怎樣的關(guān)系?與同伴交流.,再觀察下面三組命題:,如果兩個(gè)角是

4、對(duì)頂角,那么它們相等 如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角,如果小明患了肺炎,那么他一定會(huì)發(fā)燒 如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎,三角形中相等的邊所對(duì)的角相等 三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.,上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間也有 類似的關(guān)系嗎?與同伴進(jìn)行交流.,駛向勝利的彼岸,命題與逆命題,在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題,其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.,你能寫出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?,它們都是真命題嗎?,駛向勝利的彼岸,定理與逆定理,一個(gè)命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題,如果一個(gè)定理的

5、逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它 是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè) 定理稱另一個(gè)定理的逆定理.,想一想 互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.,蓄勢(shì)待發(fā),駛向勝利的彼岸,說(shuō)出下列合理的逆命題,并判斷每對(duì) 命題的真假:,四邊形是多邊形; 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ); 如果ab=0,那么a=0,b=0.,請(qǐng)你舉出一些命題,然后寫出它的逆命題, 并判斷這些逆命題的真假.,學(xué)無(wú)止境,勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理 有四百多種說(shuō)明！ 古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法， 不但有數(shù)學(xué)家，還有物

6、理學(xué)家，甚至畫(huà)家、政 治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里 德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第 二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之 多，這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見(jiàn)的.,P18讀一讀：勾股定理的證明.,學(xué)無(wú)止境,歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動(dòng)著世界上不知多少代億萬(wàn)人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開(kāi)拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開(kāi)采。自然無(wú)限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身素質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，將來(lái)為人類作出更大貢獻(xiàn)。,駛向勝利的彼岸,P18讀一讀：勾股定理的證明.,夢(mèng)想成真,1.如圖(單位：英尺),在一個(gè)長(zhǎng)方體的房間里,一只蜘蛛 在一面墻的正中間離天

7、花板1英尺的A處,蒼蠅則在對(duì) 面墻的正中間離地板1英尺的B處. 試問(wèn):蜘蛛為了捕獲蒼蠅,需要爬行的最短距離是多少?, A,B ,30,12,12,回味無(wú)窮,勾股定理: 如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagoras theorem）. 勾股定理的逆定理: 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形.,回味無(wú)窮,命題與逆命題 在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另 一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題, 其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)

8、命題的逆命題. 定理與逆定理 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它是一 個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一 個(gè)定理的逆定理.,知識(shí)的升華,P9習(xí)題1.4 1,2,3題. 祝你成功！,習(xí)題1.4,1.如圖，在ABC中，AB=13cm,BC=10cm, BC邊上的中線AD=12cm. 求證:AB=AC.,證明:BD=CD,BC=10cm(已知) BD=5cm(等式性質(zhì)). 在ABD中, AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169 AD2+BD2=AB2 ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第 三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形)

9、. 在RtADC中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169 AC2=AB2 AB=AC(等式性質(zhì)).,D,2.房梁的一部分如圖所示,其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足為B1,C1,那么BC的長(zhǎng)是多少？B1C1呢？,解:BCAC,A=300,AB=10m(已知), BC=AB/2=1025(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角 等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半),又CB1AB,BCB1=900-600=300(直角三角形兩銳角互余),BB1=BC/2=522.5(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角 等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).,AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性質(zhì)).,B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中, 如果有一 個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).,3.如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm,側(cè)棱長(zhǎng)為8cm,一只螞蟻欲從