浙江省2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖像 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件.ppt

1、第六節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點一 二次函數(shù)與一元二次方程 例1 (2018湖北襄陽中考)已知二次函數(shù)yx2x m1 的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是( ) Am5 Bm2 Cm5 Dm2,【分析】根據(jù)已知拋物線與x軸有交點得出不等式，求出 不等式的解集即可 【自主解答】二次函數(shù)yx2x m1的圖象與x軸 有交點， (1)241( m1)0， 解得m5.故選A.,1(2018湖南衡陽中考)如圖，拋物線yax2bxc與x 軸交于點A(1，0)，頂點坐標(1，n)，與y軸的交點在(0， 2)，(0，3)之間(包含端點)，則下列結(jié)論：3ab0； 1a ；對于任意實數(shù)m，abam2bm總成 立；關(guān)于

2、x的方程ax2bxcn1有兩個不相等的實數(shù) 根其中結(jié)論正確的個數(shù)為( ),A1 B2 C3 D4,考點二 利用二次函數(shù)解決實際生活中的最值問題 例2(2018浙江衢州中考)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立平面直角坐標系,(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式； (2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了 不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少 米以內(nèi)？ (3)經(jīng)檢

3、修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：在 噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米， 各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不 變)處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度,【分析】(1)根據(jù)頂點坐標可設(shè)二次函數(shù)的頂點式，代入點(8，0)，求出a值，此題得解； (2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出當y1.8時x的值，由此即可得出結(jié)論；,(3)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出拋物線與y軸的 交點坐標，由拋物線的形狀不變可設(shè)改造后水柱所在拋物線 (第一象限部分)的函數(shù)表達式為y x2bx ，代入 點(16，0)可求出b值，再利用配方法將二次函數(shù)表達式變形

4、 為頂點式，即可得出結(jié)論,【自主解答】(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù) 表達式為ya(x3)25(a0) 將(8，0)代入ya(x3)25得25a50， 解得a ， 水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y (x3)25(0 x8),(2)當y1.8時，有 (x3)251.8， 解得x11(舍去)，x27， 為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池 中心7米以內(nèi) (3)當x0時，y (x3)25 . 設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為 y x2bx .,該函數(shù)圖象過點(16，0)， 0 16216b ，解得b3， 改造后水柱所在拋物線(第一象限部

5、分)的函數(shù)表達式為 y x23x (x )2 ， 擴建改造后噴水池水柱的最大高度為 米,利用二次函數(shù)解決實際問題中的最大(小)值時，在解題方法上常用到待定系數(shù)法、配方法、公式法等在數(shù)學(xué)思想方面同樣體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想等求二次函數(shù)的表達式和函數(shù)的最大(小)值是考查重點，解題過程中要注意自變量的取值范圍,2(2018四川達州中考)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同,(1)求該型號自行車的進價

6、和標價分別是多少元？ (2)若該型號自行車的進價不變，按(1)中的標價出售，該店平均每月可售出51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？,解：(1)設(shè)進價為x元，則標價是1.5x元由題意得 15x0.988x(1.5x100)77x， 解得x1 000， 151 0001 500(元) 答：進價為1 000元，標價為1 500元,(2)設(shè)該型號自行車降價a元，利潤為w元由題意得 w(51 3)(1 5001 000a) (a80)226 460. 0， 當a80時，w最大26 460. 答：該型號自行車降價80元出售時，每月獲

7、利最大，最大利潤是26 460元.,考點三 利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題 例3(2018甘肅天水中考)如圖所示，在正方形ABCD和EFG中，ABEFEG5 cm，F(xiàn)G8 cm，點B，C，F(xiàn)，G在同一條直線l上當點C，F(xiàn)重合時，EFG以1 cm/s的速度沿直線l向左開始運動，t s后，正方形ABCD與EFG重合部分的面積為S.請解答下列問題：,(1)當t3時，求S的值； (2)當t5時，求S的值； (3)當5t8時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.,【分析】(1)首先確定重疊部分是三角形，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出高，進而得出面積； (2)確定重疊部分的面積是四邊形，再根據(jù)

8、EFG的面積CHG的面積計算即可； (3)先確定重疊部分是五邊形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)表示出對應(yīng)邊，再根據(jù)SSEFG SBFH SCGP，列出S關(guān)于t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論最值即可,【自主解答】如圖，過點E作EMl于點M. EFEG5 cm，F(xiàn)G8 cm，F(xiàn)MMG4 cm. 在RtEFM中，根據(jù)勾股定理得EM3 cm.由EFG以1 cm/s的速度運動，可知CFt cm. (1)當t3時，CF3 cmCM，知重疊部分為CFH，如圖所示，,FCHFME，HFCEFM， FCHFME， . CF3 cm，F(xiàn)M4 cm，EM3 cm，CH cm. 則S CFCH (cm2),(2

9、)如圖所示，當t5時，點F與點B重合，SCHG cm2， SSEFGSCHG FGEMSCHG 12 (cm2),(3)如圖，當5t8時，重疊部分是五邊形， BF(t5)cm，CG(8t)cm. FBHFME，HFBEFM， FBHFME， .,BF(t5)cm，F(xiàn)M4 cm，EM3 cm， 則BH (t5)cm. SBFH BFBH (t5)2 t2 t . 同理可得CP (8t)cm， SCGP CGCP (8t)2 t26t24， SSEFG SBFH SCGP (t )2 . 當t 時，S的最大值為 cm2.,構(gòu)造二次函數(shù)來確定幾何圖形中的有關(guān)面積最大值的問題是近年來?？嫉念}型，求解這

10、類問題，實際上，只要我們能充分運用條件，根據(jù)圖形的特點，綜合運用所學(xué)知識，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關(guān)系，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解,3(2018四川自貢中考)如圖，拋物線yax2bx3過A (1，0)，B(3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標 為2，點P(m，n)是線段AD上的動點,(1)求直線AD及拋物線的表達式； (2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的 長度l與m的關(guān)系式，m為何值時，PQ最長？ (3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R，使得 P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行

11、四邊形？若存在，直接 寫出點R的坐標；若不存在，說明理由,解：(1)把(1，0)，(3，0)代入函數(shù)表達式得 拋物線的表達式為yx22x3. 當x2時，y(2)22(2)33， 即D(2，3),設(shè)AD的表達式為ykxq，將A(1，0)，D(2，3)代入得 故直線AD的表達式為yx1.,(2)設(shè)P點坐標為(m，m1)，Q(m，m22m3)， l(m1)(m22m3)， 化簡得lm2m2， 配方得l(m )2 . 當m 時，l最大 .,(3)由(2)可知，0PQ .當PQ為邊時，DRPQ且DRPQ. R是整點，D(2，3)， PQ是正整數(shù)， PQ1或PQ2. 當PQ1時，DR1， 此時點R的橫坐標

12、為2，縱坐標為312或314，,R(2，2)或R(2，4) 當PQ2時，DR2， 此時點R的橫坐標為2，縱坐標為321或325， 即R(2，1)或R(2，5) 當PQ為對角線時，,設(shè)點R的坐標為(n，nm2m3)，Q(m，m22m3)， 則QR22(mn)2. 又P(m，m1)，D(2，3)， PD22(m2)2， (m2)2(mn)2， 解得n2(不合題意，舍去)或n2m2.,點R的坐標為(2m2，m23m1) R是整點，2m1， 當m1時，點R的坐標為(0，3) 當m0時，點R的坐標為(2，1) 綜上所述，存在滿足條件的點R，它的坐標為(2，2)或 (2，4)或(2，1)或(2，5)或(0

13、，3)或(2， 1),考點四 二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合性問題 例4(2018湖北鄂州中考)如圖，已知直線y x 與拋 物線yax2bxc相交于A(1，0)，B(4，m)兩點，拋物 線yax2bxc交y軸于點C(0， )，交x軸正半軸于D 點，拋物線的頂點為M.,(1)求拋物線的表達式及點M的坐標； (2)設(shè)點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當PAB的面積最大時，求此時PAB的面積及點P的坐標； (3)點Q為x軸上一動點，點N是拋物線上 一點，當QMNMAD(點Q與點M對應(yīng))， 求Q點的坐標,【分析】 (1)將B(4，m)代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可求得點B的坐標，再將A，B，C三點的

14、坐標代入二次函數(shù)關(guān)系式即可求出其關(guān)系式，再將其化為頂點式就能得到點M的坐標,(2)過點P作PEx軸，交AB于點E，交x軸與點G，過點B作 BFx軸于點F，則SCDE PEAF，求出直線AB的關(guān)系 式，設(shè)點P的坐標為(m， m2m )，則點E的坐標為(m， m )，即可得到SCDE的函數(shù)關(guān)系式，將其化為頂點式 即可求出最大值； (3)由勾股定理的逆定理可證得MAD是等腰直角三角形， 則QMN也是等腰直角三角形，從而得到點Q的坐標,【自主解答】(1)將B(4，m)代入y x 得m 4 ，B(4， ) 將A(1，0)，B(4， )， C(0， )代入yax2bxc， 解得拋物線的表達式為y x2x

15、(x1)22， 故頂點M的坐標為(1，2),(2)如圖，過點P作PEx軸，交AB于點E，交x軸與點G，過點B作BFx軸于點F.,(3)拋物線的表達式為y x2x (x1)22， 拋物線的對稱軸為直線x1. 又A(1，0)，點D的坐標為(3，0) 又M的坐標為(1，2)， AD3(1)4，AD24216，AM2(11)2 (02)28，DM2(31)2(02)28， AD2AM2DM2，且AMDM，,MAD是等腰直角三角形，AMD90. 又QMNMAD， QMN也是等腰直角三角形，且QMQN，MQN90，QMN45. 又AMD90，AMQQMD45，,此時點D(或點A)與點N重合，如圖，此時MQ

16、x軸，故點Q的坐標為(1，0),二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合性問題，往往涉 及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的 表達式，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的坐 標特征，三角形的面積，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較 強，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵,4(2018山東日照中考)在平面直角坐標系中，我們把橫、 縱坐標均為整數(shù)的點叫做整點已知反比例函數(shù)y (m0) 與yx24在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整 點的個數(shù)為2，則實數(shù)m的取值范圍為 _,2m1,考點五 二次函數(shù)綜合題 百變例題(2018山東濟寧中考)如圖，已知拋物線yax2 bxc(a0)經(jīng)過點A

17、(3，0)，B(1，0)，C(0，3),(1)求該拋物線的表達式； (2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標； (3)若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q， P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若 不存在，請說明理由,【分析】(1)已知A，B兩點坐標，可得ya(x3)(x1)，再將點C坐標代入即可解得； (2)過點A作AMBC，利用全等三角形求出點N的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的表達式，同理可求出直線BC的表達式，聯(lián)立求出M坐標即可； (3)存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標即可

18、,【自主解答】(1)拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點 A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1) 又拋物線經(jīng)過點C(0，3)，3a(03)(01)， 解得a1，拋物線的表達式為y(x3)(x1)， 即yx22x3.,(2)如圖，過點A作AMBC，垂足為點M，AM交y軸于點N，,BAMABM90. 在RtBCO中， BCOABM90， BAMBCO. A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， AOCO3，OB1. 又BAMBCO， BOCAON90，,AONCOB， ONOB1，N(0，1) 設(shè)直線AM的函數(shù)表達式為ykxb， 把A(3，0)，N(0，1)代入得 解得 直線AM的函數(shù)表

19、達式為y x1.,(3)存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形 設(shè)Q(t，0)，P(m，m22m3) 分兩種情況考慮： 當四邊形BCQP為平行四邊形時， 由B(1，0)，C(0，3)， 根據(jù)平移規(guī)律得1m0t，0(m22m3)30， 解得m1 .,當m1 時，m22m382 22 33， 即P(1 ，3)； 當m1 時，m22m382 22 33， 即P(1 ，3) 當四邊形BCPQ為平行四邊形時，,由B(1，0)，C(0，3)， 根據(jù)平移規(guī)律得1t0m，003(m22m3)， 解得m0或2. 當m0時，P(0，3)(舍去)；當m2時，P(2，3) 綜上所述，存在以點B，C，Q，P為

20、頂點的四邊形是平行四邊 形，點P的坐標為(1 ，3)或(1 ，3)或(2，3),變式1：若點D是拋物線的頂點，求ACD面積與ABC面積的比 解：如圖，連結(jié)AC，AD，CD，作DLx軸于點L.,變式2：若E是x軸上一個動點，過E作射線EFBC交拋物線于點F，隨著E點的運動，在拋物線上是否存在這樣的點F，使以B，E，F(xiàn)，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由,解：存在理由如下： 如圖，當點F在x軸下方時，作FRx軸于點R.,四邊形BCFE為平行四邊形， EF BC， ERFBOC， RFOC3， 3x22x3， 解得x2或x0(與C點重合，舍去)， F(2，3),如圖，當F在x軸上方時，作FSx