2010-2-28 函數(shù)極限換元法

1、函數(shù)極限的換元法函數(shù)極限的換元法是一種相當(dāng)實(shí)用的方法. 正如積分換元法在積分計(jì)算中有著十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)極限的換元法在函數(shù)極限的計(jì)算中也有著十分廣泛的應(yīng)用. 運(yùn)用函數(shù)極限的換元法，我們能夠很快地求出許多復(fù)雜函數(shù)的極限. 下面就來(lái)介紹并證明函數(shù)極限換元法的有關(guān)定理. 一、x趨向于這類情形的換元法法則比較簡(jiǎn)單. 我們有法則1. 法則1 若存在，那么有. K=. T=.這個(gè)法則的內(nèi)涵是很豐富的，它其實(shí)上包含18個(gè)具體的法則. 首先必須指出的是，都是形式上的符號(hào)，我們必須把它們代入后再理解. 之所以這么做，是為了法則表示的簡(jiǎn)潔，從而應(yīng)用起來(lái)更有效率. 法則1告訴我們的是，把K任意取定一個(gè)符號(hào)，然后再

2、把T任意取定一個(gè)符號(hào)，所得到的命題是成立的. 也就是說(shuō)，法則1告訴我們有18條法則是成立的. 下面的法則2和法則3會(huì)采用類似的記法.二、x趨向于這類情形的換元法法則比較復(fù)雜. 我們有法則2和法則3. 需要指出的是，為了形式上的簡(jiǎn)潔和記憶的方便，我們說(shuō)x向于是指x從右邊趨向于x0，也就是x0的右極限. 法則2 若存在，$UF(T), 對(duì)tUF(T)有RK, g(t), (K)，那么有. K=. T=.該法則中有三個(gè)特別定義的符號(hào)，即(K), UF(T)與RK, g(t), t0. 形式上，當(dāng)K=x0, , 時(shí)，(K)=x0. 規(guī)定UF(T)是一個(gè)集合，當(dāng)T=t0時(shí)UF(T)表示t0的某一個(gè)去心領(lǐng)

3、域；當(dāng)T=時(shí)UF(T)表示t0的某一個(gè)去心右領(lǐng)域；當(dāng)T=時(shí)UF(T)表示t0的某一個(gè)去心左領(lǐng)域；當(dāng)T=時(shí)UF(T)表示的某個(gè)鄰域；當(dāng)T=+時(shí)UF(T)表示+的某個(gè)鄰域；當(dāng)T=-時(shí)UF(T)表示-的某個(gè)鄰域. 規(guī)定RK, g(t), x0是一個(gè)命題公式. 當(dāng)K=x0時(shí)，表示命題g(t)x0；當(dāng)K=時(shí)，表示命題g(t)x0；當(dāng)K=時(shí)，表示命題g(t)0, 總是$M0, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|g(t)|M，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 總是$M0, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有g(shù)(t)M，即g(t)，

4、從而|fg(t)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 總是$M0, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有g(shù)(t)-M，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 對(duì)t有g(shù)(t) x0，那么有. 證明 設(shè)，那么對(duì)e0, 總是$d10, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$d，0dd2，對(duì)t，有0|g(t)-x0|d1，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 對(duì)t有g(shù)(t) x0，那么有. 證明 設(shè)，那么對(duì)e0, 總是$d10, 對(duì)x，有|f(x)-A|x0”，所以對(duì)于上面的d10，總是$d，

5、0dd2，對(duì)t，有0g(t)-x0d1，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 對(duì)t有g(shù)(t)0, 總是$d10, 對(duì)x，有|f(x)-A|e. 由于“，$d2, 對(duì)t有g(shù)(t)0，總是$d，0dd2，對(duì)t，有-d1g(t)-x00，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$d0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 總是$M0, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有|g(t)|M，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 總是$M0, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有g(shù)(t)M，即g(t

6、)，從而|fg(t)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 總是$M0, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有g(shù)(t)-M，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 對(duì)t有g(shù)(t) x0，那么有. 證明 設(shè)，那么對(duì)e0, 總是$d10, 對(duì)x，有|f(x)-A|0，總是$NN2，對(duì)t，有0|g(t)-x0|d1，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 對(duì)t有g(shù)(t) x0，那么有. 證明 設(shè)，那么對(duì)e0, 總是$d10, 對(duì)x，有|f(x)-A|x0”，所以對(duì)于上面的d10，總是$NN2，對(duì)t，有0g(t)-x0d1，即g(t)，從而|fg(t)-A|0，總是$N0，對(duì)t，有|fg(t)-A|0, 對(duì)t有g(shù)(t)0, 總是$d10, 對(duì)x，有|f(x)-A|e. 由于“，$N2, 對(duì)t有g(shù)(t)0，總是$NN2，對(duì)t，有-d1g(t)-x00，即g(t)，從