人教版選修1-2第一章：統(tǒng)計案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.ppt

1、1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用,必修3(第二章 統(tǒng)計)知識結(jié)構(gòu),收集數(shù)據(jù) (隨機抽樣),整理、分析數(shù)據(jù)估計、推斷,簡單隨機抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣,用樣本估計總體,變量間的相關(guān)關(guān)系,用樣本的頻率分布估計總體分布,用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征,線性回歸分析,1、兩個變量的關(guān)系,不相關(guān),相關(guān)關(guān)系,函數(shù)關(guān)系,線性相關(guān),非線性相關(guān),問題1：現(xiàn)實生活中兩個變量間的關(guān)系有哪些呢？,相關(guān)關(guān)系：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系。,思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？,函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種理

2、想的關(guān)系模型 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況,問題2：對于線性相關(guān)的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關(guān)系呢？,2、最小二乘估計,最小二乘估計下的線性回歸方程：,回歸直線必過樣本點的中心,3、回歸分析的基本步驟:,畫散點圖,求回歸方程,預(yù)報、決策,這種方法稱為回歸分析.,回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計 分析的一種常用方法.,課堂互動講練,該類題屬于線性回歸問題,解答本類題目的關(guān)鍵首先應(yīng)先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否相關(guān),然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程.,（1）畫出散點圖； （2）求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的回歸直線方程； （3）一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測

3、他的物理成績.,【思路點撥】先畫散點圖,分析物理與數(shù)學(xué)成績是否有線性相關(guān)關(guān)系,若相關(guān)再利用線性回歸模型求解預(yù)報變量.,【解】(1)散點圖如圖：,【題后點評】求回歸直線方程的一般方法是:作出散點圖,將問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中進行描點,這樣表示出的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的相關(guān)圖形就是散點圖,從散點圖中我們可以判斷樣本點是否呈條狀分布,進而判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.,例題1 從某大學(xué)中隨機選出8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表：,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172的女大學(xué)生的體重。,1. 散點圖； 2.回歸方程：,分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報體重，因

4、此選取身高為自變量，體重為因變量,探究？,身高為172的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?,（1）由圖形觀察可以看出，樣本點呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。 （2）從散點圖還可以看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是一條直線上，所以不能用一次函數(shù)來描述它們之間的關(guān)系。這時我們用下面的線性回歸模型來描述身高和體重的關(guān)系：+其中和為模型的未知參數(shù)，e是y與 之間的誤差,通常稱為隨機誤差。,產(chǎn)生隨機誤差的原因是什么？,e 產(chǎn)生的主要原因： (1)所用確定性函數(shù)模擬不恰當(dāng)； (2)忽略了某些因素的影響； (3)觀

5、測誤差，如使用的測量工具不同等,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,一次函數(shù)模型： y=bx+a,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y 的值由自變量x和隨機誤差項e 共同確定，即自變量x 只能解釋部分y 的變化.,在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解釋變量， 因變量y稱為預(yù)報變量.,線性回歸模型： y=bx+a+e,隨機誤差,e的估計量,樣本點：,相應(yīng)的隨機誤差為：,相應(yīng)的隨機誤差估計值為：,稱為相應(yīng)于點 的殘差,實際上即為具體到某 點的隨機誤差估計值。,殘差分析,在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否是線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù).然后，可以通過

6、殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).這方面的分析工作稱為殘差分析。,以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為編號，作出圖形（殘差圖）來分析殘差特性.,由圖可知，第1個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤.如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù);如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他原因.,問：如何刻畫模型擬合的精度？,相關(guān)指數(shù)：,(1)上式中分子稱之為殘差平方和，分母為確定的數(shù),(2)R2取值越大（越接近1），則殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好.反之， 取值越小，則殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.,(3)

7、在例1中我們可以求出R2=0.64，表明：“女大學(xué)生的身高解釋了64的體重變化”，或者說“女大學(xué)生的體重差異有64是由身高引起的”。,其中：,解釋,預(yù)報,1,問題四：結(jié)合例1思考：用回歸方程預(yù)報體重時應(yīng)注意什么？,1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。 2.我們建立的回歸方程一般都有時間性。 3.樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍。 4.不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值。,涉及到統(tǒng)計的一些思想： 模型適用的總體；模型的時間性； 樣本的取值范圍對模型的影響；模型預(yù)報結(jié)果的正確理解。,建立回歸模型的基本步驟：,（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量

8、;,（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系）；,（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）；,（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；,（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.,是否存在線性關(guān)系,對于非線性回歸問題,并且沒有給出經(jīng)驗公式,這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖,把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象作比較,挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù),然后采用

9、適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,使其得到解決.,例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：,試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；,方法一：一元函數(shù)模型,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,變換 y=bx+a 非線性關(guān)系 線性關(guān)系,對數(shù),方法三：指數(shù)函數(shù)模型,由計算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程 因此y關(guān)于x的非線性回歸方程為,當(dāng)x=28 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型比二次函數(shù)模型更好,1)確定解釋變量和預(yù)報變量; 2)畫出散點圖; 3)確定回歸方程類型; 4)求出回歸方程; 5)利用相關(guān)指數(shù)或殘差進行分析.,(1)以施肥量x為解釋變量，水稻產(chǎn)量y為預(yù)報變量，作出散點圖； (2)

10、求y與x之間的回歸方程，并求施肥量為28 kg時水稻產(chǎn)量的預(yù)報值； (3)計算殘差，并計算殘差平方和； (4)求R2，并說明其含義,（4）計算R2，并作出解釋； （5）試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績.,(4)計算相關(guān)指數(shù)R2 計算相關(guān)指數(shù)R20.9855.說明了該運動的成績的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的 (5)作出預(yù)報 由上述分析可知，我們可用回歸方程1.0415x0.003875作為該運動員成績的預(yù)報值 將x47和x55分別代入該方程可得y49和y57. 故預(yù)測運動員訓(xùn)練47次和55次的成績分別為49和57.,1.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用,定量變量的取值一定是實數(shù)

11、，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運算也有特定的含義.,如身高、體重、考試成績、溫度等等.,變量,定量變量,分類變量,兩個定量變量的相關(guān)關(guān)系分析：回歸分析（畫散點圖、相關(guān)指數(shù)R2、殘差分析）,（定性變量）,對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.,在日常生活中，主要考慮分類變量之間是否有關(guān)系：,如是否吸煙、宗教信仰、是否患肺癌、國籍等等.,例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等.,分類變量也稱為屬性變量或定性變量，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男

12、、女兩個值,兩個分類變量的相關(guān)關(guān)系的分析： 通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)； 獨立性檢驗.,由列聯(lián)表可以粗略估計出，在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.,與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.,為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）：,吸煙與患肺癌列聯(lián)表（列出兩個分類變量的頻數(shù)表）：,1、列聯(lián)表,2、三維柱形圖,3、二維條形圖,從三維柱形圖能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小.,從二維條形圖能看出，吸煙者中 患肺癌

13、的比例高于不患肺癌的比例.,4、等高條形圖,等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例.,上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題.,現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)：,H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系,把數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：,吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：,如果“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例應(yīng)差不多，即,|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強.,為了使不同樣本容量

14、的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個隨機變量,若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小.,由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得K2的觀測值為：,（1）,其中n=a+b+c+d為樣本容量.,在H0成立的情況下，統(tǒng)計學(xué)家估算出如下的概率：,也就是說，在H0成立的情況下，對隨機變量K2進行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0.01，是一個小概率事件.現(xiàn)在K2的觀測值為56.632，遠遠大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過0.01，即我們有99的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.,利用隨機變量K2

15、來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.,獨立性檢驗：,如果 ，就判斷H0不成立；否則就判斷H0成立.,獨立性檢驗的基本思想：,類似于數(shù)學(xué)上的反證法，對“兩個分類變量有關(guān)系” 這一結(jié)論成立的可信程度的判斷：,（1）假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量 沒有關(guān)系”成立.,（2）在假設(shè)條件下，計算構(gòu)造的隨機變量K2，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理.,（3）根據(jù)隨機變量K2的含義，可以通過（2）式評價假設(shè)不合理的程度，由實際計算出的k6.635，說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即“兩個分類有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度

16、約為99%.,一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：,利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度.,具體作法是：,（1）根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值k0；,（2）由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機變量K2的觀測值k；,（3）如果k6.635，就以 1-P(K26.635)100%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù).,（1）如果k10.828，就有99.9%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；,（2）如果k7.879，就有99.5%的把握認為“X與

17、Y有關(guān)系”；,（3）如果k6.635，就有99%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；,（4）如果k5.024，就有97.5%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；,（5）如果k3.841，就有95%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；,（6）如果k2.706，就有90%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；,（7）如果k=2.706，就認為沒有充分的證據(jù)顯示 “X與Y有關(guān)系”.,臨界值,例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？,解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：,根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到,所以有99%的把握認為“禿頂患心臟病有關(guān)”。,因為這組數(shù)據(jù)來自住院的病人，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體,例2 為考察高中生的性別與是否喜