人教版選修1-2第一章：統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.ppt

1、1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用,必修3(第二章 統(tǒng)計(jì))知識(shí)結(jié)構(gòu),收集數(shù)據(jù) (隨機(jī)抽樣),整理、分析數(shù)據(jù)估計(jì)、推斷,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣,用樣本估計(jì)總體,變量間的相關(guān)關(guān)系,用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征,線性回歸分析,1、兩個(gè)變量的關(guān)系,不相關(guān),相關(guān)關(guān)系,函數(shù)關(guān)系,線性相關(guān),非線性相關(guān),問(wèn)題1：現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量間的關(guān)系有哪些呢？,相關(guān)關(guān)系：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系。,思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？,函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種理

2、想的關(guān)系模型 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一般的情況,問(wèn)題2：對(duì)于線性相關(guān)的兩個(gè)變量用什么方法來(lái)刻劃之間的關(guān)系呢？,2、最小二乘估計(jì),最小二乘估計(jì)下的線性回歸方程：,回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心,3、回歸分析的基本步驟:,畫(huà)散點(diǎn)圖,求回歸方程,預(yù)報(bào)、決策,這種方法稱(chēng)為回歸分析.,回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì) 分析的一種常用方法.,課堂互動(dòng)講練,該類(lèi)題屬于線性回歸問(wèn)題,解答本類(lèi)題目的關(guān)鍵首先應(yīng)先通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否相關(guān),然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程.,（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖； （2）求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線方程； （3）一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)

3、他的物理成績(jī).,【思路點(diǎn)撥】先畫(huà)散點(diǎn)圖,分析物理與數(shù)學(xué)成績(jī)是否有線性相關(guān)關(guān)系,若相關(guān)再利用線性回歸模型求解預(yù)報(bào)變量.,【解】(1)散點(diǎn)圖如圖：,【題后點(diǎn)評(píng)】求回歸直線方程的一般方法是:作出散點(diǎn)圖,將問(wèn)題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn),這樣表示出的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的相關(guān)圖形就是散點(diǎn)圖,從散點(diǎn)圖中我們可以判斷樣本點(diǎn)是否呈條狀分布,進(jìn)而判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.,例題1 從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172的女大學(xué)生的體重。,1. 散點(diǎn)圖； 2.回歸方程：,分析：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因

4、此選取身高為自變量，體重為因變量,探究？,身高為172的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?,（1）由圖形觀察可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系。 （2）從散點(diǎn)圖還可以看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是一條直線上，所以不能用一次函數(shù)來(lái)描述它們之間的關(guān)系。這時(shí)我們用下面的線性回歸模型來(lái)描述身高和體重的關(guān)系：+其中和為模型的未知參數(shù)，e是y與 之間的誤差,通常稱(chēng)為隨機(jī)誤差。,產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是什么？,e 產(chǎn)生的主要原因： (1)所用確定性函數(shù)模擬不恰當(dāng)； (2)忽略了某些因素的影響； (3)觀

5、測(cè)誤差，如使用的測(cè)量工具不同等,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,一次函數(shù)模型： y=bx+a,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y 的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e 共同確定，即自變量x 只能解釋部分y 的變化.,在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱(chēng)為解釋變量， 因變量y稱(chēng)為預(yù)報(bào)變量.,線性回歸模型： y=bx+a+e,隨機(jī)誤差,e的估計(jì)量,樣本點(diǎn)：,相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：,相應(yīng)的隨機(jī)誤差估計(jì)值為：,稱(chēng)為相應(yīng)于點(diǎn) 的殘差,實(shí)際上即為具體到某 點(diǎn)的隨機(jī)誤差估計(jì)值。,殘差分析,在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否是線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù).然后，可以通過(guò)

6、殘差 來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).這方面的分析工作稱(chēng)為殘差分析。,以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為編號(hào)，作出圖形（殘差圖）來(lái)分析殘差特性.,由圖可知，第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤.如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù);如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他原因.,問(wèn)：如何刻畫(huà)模型擬合的精度？,相關(guān)指數(shù)：,(1)上式中分子稱(chēng)之為殘差平方和，分母為確定的數(shù),(2)R2取值越大（越接近1），則殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好.反之， 取值越小，則殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.,(3)

7、在例1中我們可以求出R2=0.64，表明：“女大學(xué)生的身高解釋了64的體重變化”，或者說(shuō)“女大學(xué)生的體重差異有64是由身高引起的”。,其中：,解釋,預(yù)報(bào),1,問(wèn)題四：結(jié)合例1思考：用回歸方程預(yù)報(bào)體重時(shí)應(yīng)注意什么？,1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。 2.我們建立的回歸方程一般都有時(shí)間性。 3.樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍。 4.不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。,涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想： 模型適用的總體；模型的時(shí)間性； 樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。,建立回歸模型的基本步驟：,（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量

8、;,（2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系）；,（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）；,（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；,（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.,是否存在線性關(guān)系,對(duì)于非線性回歸問(wèn)題,并且沒(méi)有給出經(jīng)驗(yàn)公式,這時(shí)我們可以畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過(guò)的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的圖象作比較,挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采用

9、適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題,使其得到解決.,例2 一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：,試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；,方法一：一元函數(shù)模型,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,變換 y=bx+a 非線性關(guān)系 線性關(guān)系,對(duì)數(shù),方法三：指數(shù)函數(shù)模型,由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程 因此y關(guān)于x的非線性回歸方程為,當(dāng)x=28 時(shí)，y 44 ，指數(shù)回歸模型比二次函數(shù)模型更好,1)確定解釋變量和預(yù)報(bào)變量; 2)畫(huà)出散點(diǎn)圖; 3)確定回歸方程類(lèi)型; 4)求出回歸方程; 5)利用相關(guān)指數(shù)或殘差進(jìn)行分析.,(1)以施肥量x為解釋變量，水稻產(chǎn)量y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖； (2)

10、求y與x之間的回歸方程，并求施肥量為28 kg時(shí)水稻產(chǎn)量的預(yù)報(bào)值； (3)計(jì)算殘差，并計(jì)算殘差平方和； (4)求R2，并說(shuō)明其含義,（4）計(jì)算R2，并作出解釋?zhuān)?（5）試預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次及55次的成績(jī).,(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2 計(jì)算相關(guān)指數(shù)R20.9855.說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)的成績(jī)的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的 (5)作出預(yù)報(bào) 由上述分析可知，我們可用回歸方程1.0415x0.003875作為該運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的預(yù)報(bào)值 將x47和x55分別代入該方程可得y49和y57. 故預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次和55次的成績(jī)分別為49和57.,1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用,定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)

11、，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義.,如身高、體重、考試成績(jī)、溫度等等.,變量,定量變量,分類(lèi)變量,兩個(gè)定量變量的相關(guān)關(guān)系分析：回歸分析（畫(huà)散點(diǎn)圖、相關(guān)指數(shù)R2、殘差分析）,（定性變量）,對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量.,在日常生活中，主要考慮分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系：,如是否吸煙、宗教信仰、是否患肺癌、國(guó)籍等等.,例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等.,分類(lèi)變量也稱(chēng)為屬性變量或定性變量，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類(lèi)別，如性別變量，只取男

12、、女兩個(gè)值,兩個(gè)分類(lèi)變量的相關(guān)關(guān)系的分析： 通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)； 獨(dú)立性檢驗(yàn).,由列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出，在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.,與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.,為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）：,吸煙與患肺癌列聯(lián)表（列出兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表）：,1、列聯(lián)表,2、三維柱形圖,3、二維條形圖,從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小.,從二維條形圖能看出，吸煙者中 患肺癌

13、的比例高于不患肺癌的比例.,4、等高條形圖,等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例.,上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)考察這個(gè)問(wèn)題.,現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)：,H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系,把數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：,吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：,如果“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例應(yīng)差不多，即,|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng).,為了使不同樣本容量

14、的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量,若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小.,由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得K2的觀測(cè)值為：,（1）,其中n=a+b+c+d為樣本容量.,在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率：,也就是說(shuō)，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0.01，是一個(gè)小概率事件.現(xiàn)在K2的觀測(cè)值為56.632，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,但這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.01，即我們有99的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.,利用隨機(jī)變量K2

15、來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).,獨(dú)立性檢驗(yàn)：,如果 ，就判斷H0不成立；否則就判斷H0成立.,獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：,類(lèi)似于數(shù)學(xué)上的反證法，對(duì)“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系” 這一結(jié)論成立的可信程度的判斷：,（1）假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量 沒(méi)有關(guān)系”成立.,（2）在假設(shè)條件下，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量K2，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理.,（3）根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過(guò)（2）式評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出的k6.635，說(shuō)明假設(shè)不合理的程度約為99%，即“兩個(gè)分類(lèi)有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度

16、約為99%.,一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的可能取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2x2列聯(lián)表）為：,利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度.,具體作法是：,（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值k0；,（2）由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k；,（3）如果k6.635，就以 1-P(K26.635)100%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù).,（1）如果k10.828，就有99.9%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；,（2）如果k7.879，就有99.5%的把握認(rèn)為“X與

17、Y有關(guān)系”；,（3）如果k6.635，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；,（4）如果k5.024，就有97.5%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；,（5）如果k3.841，就有95%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；,（6）如果k2.706，就有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；,（7）如果k=2.706，就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示 “X與Y有關(guān)系”.,臨界值,例1 在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？,解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：,根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到,所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)”。,因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)來(lái)自住院的病人，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體,例2 為考察高中生的性別與是否喜