多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.ppt

1、,第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、 鏈鎖法則,二、 全微分的形式不變性,一、鏈鎖法則,引入：,復(fù)合函數(shù),怎樣求它的偏導(dǎo)數(shù)？,問：,若上面三個(gè)函數(shù)都是具體函數(shù)，,那么，,它們的,復(fù)合函數(shù)也是具體函數(shù)，,當(dāng)然，,我們會(huì)求它的,偏導(dǎo)數(shù)。,但是，,若上面三個(gè)函數(shù)中至少有一個(gè)是抽象函數(shù)，,那么，它們的復(fù)合函數(shù)也是抽象函數(shù)，,它的偏導(dǎo)數(shù),又怎么求？,這是一個(gè)新問題，,要求出這樣一個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，,還需要新的公式。,這就是下面要研究的多元函數(shù),的求導(dǎo)法則（或鏈鎖法則）。,定理1 設(shè)函數(shù) 及 都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)t可導(dǎo) ，且有,1、復(fù)合函數(shù)

2、的中間變量均為一元函數(shù)的情形,按照多元復(fù)合函數(shù)不同的復(fù)合情形，分兩種情形來討論：,將上式兩邊同時(shí)除以 ，得,證：,這時(shí),的對(duì)應(yīng)增量為,獲得增量,由第三節(jié)定理2 的證明過程，我們可得到,由此，函數(shù)z=f(u,v)相應(yīng)地,其中，,令,取極限，得,，,即,即,=,=,=,如果函數(shù) 都在點(diǎn) t 可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v,w) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) t 的導(dǎo)數(shù)存在， 且有,注,2、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形,定理2 如果函數(shù) 及 在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

3、存在，且有,已知,對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，,在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及,函數(shù) z=f (u,v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u , v) 具有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,現(xiàn)在，將 y 取定為常數(shù)，,則由定理1得,+,得復(fù)合函數(shù),對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有,同理，將 x 取定為常數(shù)，,則可得（4）式.,此即（3）式.,為了掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可畫復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)示意圖，由示意圖可清楚地看出哪些是中間變量，哪些是自變量，以及中間變量和自變量的個(gè)數(shù)，公式(3)、(4)的示意圖如下：,z,u,v,x,y,在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且可用下列公式計(jì)算：,設(shè) 都在點(diǎn)(x,y) 具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(

4、u,v,w)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù),注,(1),求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),(3),(2),解,(1),+,=,+,=,+,(2),+,+,=,+,+,+,+,=,(3),+,相同,但所表示的意思不同!,必須加以區(qū)別!,對(duì) 自 變 量 x 的 偏 導(dǎo) 數(shù),對(duì)中間變量 x的偏導(dǎo)數(shù),為了避免混淆,一般地,將對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)記為,將對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)記為,例如上面的(3),可寫為:,+,+,=,+,+,+,=,+,注意：,這里 與 是不同的， 是把復(fù)合函數(shù) 中的y看作常數(shù)而對(duì)x的導(dǎo)數(shù), 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常數(shù)而對(duì)x的導(dǎo)數(shù). 與 也有類似的區(qū)別.,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

5、,解：,=,+,=,+,例2,解：,+,=,+,=,+,=,+,+,+,=,=,例3,解：,+,+,=,+,+,解：,+,=,+,解,注,例6 設(shè) ，f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求,這里下標(biāo)1表示對(duì)第一個(gè)中間變量u求偏導(dǎo)數(shù)， 下標(biāo)2表示對(duì)第二個(gè)中間變量v求偏導(dǎo)數(shù).,解,同理有,因所給函數(shù)由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz復(fù)合而成，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有,=,=,+,+,根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有,+,=,+,+,=,+,仍是 x, y, z的復(fù)合函數(shù),，,=,+,+,+,=,+,例7 設(shè)u=f(x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中形式.,解,=,=,由（1）式得,這樣，,可看作由,復(fù)合而成.,得,兩式平方后相加，得,根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得,=,+,=,再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得,=,+,=,=,=,+,同理可得,兩式相加，得,二、全微分形式不變性: 設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分,若u、v又是x、y的函數(shù), ，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù),的全微分為,所謂全微分的形式不變性是指: 無論z是自變量 u、v的函數(shù)或中間變量 u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微