高中數(shù)學(xué) 專題3.4 基本不等式(講)(提升版)新人教A版必修_第1頁
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文檔簡介

1、3.4 基本不等式學(xué)習(xí)目標(biāo) 學(xué)習(xí)重點 1.利用基本不等式解決簡單的最大值、最小值問題; 2.會合理拆項或湊項,會應(yīng)用基本不等式; 學(xué)習(xí)難點 1.會求給定條件的最值問題; 2.能證明一些簡單的不等式.基礎(chǔ)回扣 1基本不等式(1)基本不等式成立的條件:_.(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號 2.基本不等式常用變形: (1) (a,bR) (2) (a,b同號)(3) (a,bR) (4) (a,bR)3 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù):設(shè)a0,b0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為_,幾何平均數(shù) 為_,基本不等式可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4.利用基本不等式求最值問題: 已知x0,y0

2、,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)_時,xy有最小值是_.(簡記:積定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)_時,xy有最大值是_.(簡記:和定積最大) 1、;2、;3、;4、問題探討與解題研究類型一 求含有兩個變量的最值問題 例1.(1)若x-3,則x+的最小值為_.(2)已知a,b為正實數(shù)且a+b=1,則(1+)(1+)的最小值為_.【解題指南】(1)將原式等價變形構(gòu)造出應(yīng)用基本不等式形式可解.(2)將與中的1用a+b代換整理后利用基本不等式可求.【解析】(1)由x-3得x+30,又x+=x+3+-3-3,等號成立的條件是x+3=,即x=-3.(2)a0,b0,a+b=1,

3、1+=1+=2+,同理1+=2+,(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)5+4=9,等號成立的條件為a=b=.【練習(xí)】已知x0,y0,且xy=4x+y+12,求xy的最小值.【小結(jié)】求條件最值的策略 求條件最值是基本不等式的一個重要應(yīng)用.應(yīng)用基本不等式求最值時,通過對所給式進(jìn)行巧妙分拆、變形、組合、添加系數(shù)使之能夠出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵;必須指出等號成立的條件.類型二、利用基本不等式證明簡單的不等式例1、已知 a0,b0,a+b=1, 求證:。練習(xí):(1)證明不等式:a4b4c4d44abcd;(2)已知a0,b0,ab1,求證:4.證明:(1)a4b4c4d42a2b22c2d22(

4、a2b2c2d2)22abcd4abcd.原不等式得證(2)a0,b0,ab1,222 4.4.所以原不等式成立【小結(jié)】利用基本不等式證明其他不等式的兩個思路(1)利用基本不等式證明不等式時,首先要觀察題中要證明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式證明,則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆項、變形、配湊等,使之達(dá)到能使用基本不等式的條件;(2)若題目中還有已知條件,則首先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系,當(dāng)已知條件中含有1時,要注意1的代換.另外,解題中要時刻注意等號能否取到. 類型二、利用基本不等式解決恒成立問題 例1、若對任意x0,a恒成立,則a的取值范圍是_ 【小結(jié)】當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)

5、的最值較易求出時,可直接求出這個最值(最值可能 含有參數(shù)),然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解【練習(xí)】已知x0,y0,xyx2y,若xym2恒成立,則實數(shù)m的最大值是_ 課堂檢測1.若正數(shù)a,b滿足,則a+b的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 2 (2013梅州模擬)設(shè)x,y均為正實數(shù),且,則xy的最小值為_解析:可化為xy8xy,x,y均為正實數(shù),xy8xy82(當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立),即xy280,解得4,即xy16,故xy的最小值為16.3、已知a0,b0,若不等式恒成立,則m的最大值等于( ) (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 下列結(jié)論中正確的是( ) (A)若a0,則 (B)若x0,則 (C)若a+b=1,則 (D)若a+b=1,則 課堂小結(jié) 1、應(yīng)用基本不等式求最值時,通過對所給式進(jìn)行巧妙分拆、變形、組合、添加系數(shù)使之能夠出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵;必須指出等號成立的條件. 2、利用基本不等式證明不等式時,首先要觀察

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