高中數學第一章不等關系與基本不等式1.4不等式的證明1.4.1比較法分析法課件北師大版2.pptx

1、4不等式的證明,第1課時比較法、分析法,1.理解用比較法、分析法證明不等式的一般方法和步驟,并能證明具體的不等式. 2.理解不等式證明方法的意義,并掌握不等式中取得等號的條件.,1.比較法 (1)求差比較法. 理論依據:aba-b0;aba-b0. 證明步驟:作差變形判斷符號下結論. (2)求商比較法.,證明步驟:作商變形判斷與1的大小關系下結論.,【做一做1-1】 已知x,yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,則M與N的大小關系是() A.MN B.MN C.M=N D.不能確定,答案:A,答案:PQ,2.分析法 (1)定義:從所要證明的結論出發(fā),分析使此不等式成立的充分條件,把證明不

2、等式轉化為判斷這些充分條件是否成立的問題,如果能夠使這些充分條件都具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種證明方法叫作分析法. (2)思路:“執(zhí)果索因”的證明方法,即從求證的不等式出發(fā),不斷地用充分條件來代替前面的不等式,直到找到已知不等式為止. 名師點撥分析法的特點是“執(zhí)果索因”,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”.其優(yōu)點是利于思考,因為它方向明確,思路自然,易于掌握.一般來說,如果已知條件信息量較小,或已知與結論間的直接聯系不明顯、“距離”較大,可用分析法來證明.,分析:利用分析法來考慮,容易找到證明思路.,題型一,題型二,題型三,題型一 用求差比較法證明不等式 【例1】 已知a,bR

3、+,且a+b=1,求證:ax2+by2(ax+by)2. 分析:利用作差變形定號結論的步驟去證明. 證明:a+b=1, ax2+by2-(ax+by)2=ax2+by2-a2x2-2abxy-b2y2 =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy =abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2. 又a,bR+,ab(x-y)20, ax2+by2(ax+by)2.,反思利用求差比較法來證明不等式時,為了說明差式的符號,有下列三種常用的方法:(1)將差式分解因式;(2)將差式通過配方寫成一些正(負)數的和;(3)構造新函數,證明函數恒正或恒負.,題型一,題型二,題型三,【變式訓練1】

4、已知a,b(0,+),nN+,求證:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1). 證明:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1 =an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an). 當ab0時,a-b0,bn-ana0時,a-b0, 有(a-b)(bn-an)0時,a-b=0,有(a-b)(bn-an)=0. 即(a-b)(bn-an)0, 故(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).,題型一,題型二,題型三,題型二 用求商比較法證明不等式,分析:因為a,b均為正數,所以左邊和右邊都是正數,故可以用

5、求商比較法進行比較.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,【變式訓練2】 已知0|loga(1+x)|(其中a0,且a1).,題型一,題型二,題型三,題型三 用分析法證明不等式,分析:本題證明關系比較復雜,直接證明不易觀察出因果關系,因此可以用分析法找出證明思路.,題型一,題型二,題型三,反思利用分析法論證“若A,則B”這類命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又只需證明命題A為真,又已知A為真,故B為真.可簡寫成BB1B2BnA.,題型一,題型二,題型三,【變式訓練3】 已知a,b,cR+,且ab+bc+ca=1,求證:a+b+c,1,2,3,4,5,1下列關系中,對任意ab0的實數都成