高中數(shù)學(xué)必修系列：10.3組合(第四課時(shí))

1、10.3.4 排列組合應(yīng)用（二）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)排列、組合、排列數(shù)、組合數(shù)、捆綁法、插空法.（二）能力訓(xùn)練要求1.能夠判斷所研究問題是否是排列或組合問題.2.進(jìn)一步熟悉排列數(shù)、組合數(shù)公式的計(jì)算技能.3.熟練應(yīng)用排列組合問題常見的解題方法.4.進(jìn)一步增強(qiáng)分析、解決排列、組合應(yīng)用題的能力.（三）德育滲透目標(biāo)1.用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.2.認(rèn)識(shí)事物在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化.3.解決問題能抓住問題的本質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)排列數(shù)、組合數(shù)公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)解題思路的分析.教學(xué)方法啟發(fā)式、引導(dǎo)式啟發(fā)學(xué)生認(rèn)清題目的本質(zhì)，排除非數(shù)學(xué)因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，引導(dǎo)學(xué)生注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并

2、要求學(xué)生注重解題方法的歸納與總結(jié)，真正提高分析、解決問題的能力.教具準(zhǔn)備投影片.第一張：排列數(shù)、組合數(shù)公式（記作10.3.4 A）第二張：本節(jié)例題（記作10.3.4 B）第三張：補(bǔ)充練習(xí)題（記作10.3.4 C）教學(xué)過程.復(fù)習(xí)回顧師上一節(jié)我們一起研究學(xué)習(xí)了排列組合的實(shí)際應(yīng)用題，逐步熟悉了排列數(shù)與組合數(shù)公式，并總結(jié)了相鄰問題與不相鄰問題的常用方法.下面，我們作一簡(jiǎn)要回顧.生甲排列數(shù)公式：A=.組合數(shù)公式：C=.生乙相鄰問題常用捆綁法；不相鄰問題常用插空法.師這一節(jié)，我們通過例題進(jìn)一步研究排列組合知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，并關(guān)注轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.講授新課例1平面上有11個(gè)相異的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)相

3、異的直線有48條.（1）這11個(gè)點(diǎn)中，含3個(gè)或3個(gè)以上的點(diǎn)的直線有幾條？（2）這11個(gè)點(diǎn)構(gòu)成幾個(gè)三角形？分析：若平面上11點(diǎn)中任意兩點(diǎn)有一條不同直線，則共有C=55條.故直線總條數(shù)減少了55-48=7條.而每增加一組3點(diǎn)共線直線總條數(shù)減少C-1=2條，每增加一組4點(diǎn)共線，直線總條數(shù)減少C-1=5條，故此題第（1）問是考慮7被2與5分解的不同方式，第（2）問則可以采用分類的思想求解.解：（1）若任三點(diǎn)不共線，則所有直線的總條數(shù)為C=55條；每增加一組三點(diǎn)共線，連成直線就將減少C=2條；每增加一組四點(diǎn)共線，連成直線就將減少C-1=5條；每增加一組五點(diǎn)共線，連成直線就將減少C-1=9條.55-48=

4、7=2+5.故含有3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)的直線各1條.（2）若任意三點(diǎn)不共線，則11個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)為C=165(個(gè)）.每增加一組三點(diǎn)共線三角形個(gè)數(shù)減少1個(gè)，每增加一組四點(diǎn)共線三角形個(gè)數(shù)減少C個(gè)，故所求不同三角形個(gè)數(shù)為C-（1+C）=160個(gè).評(píng)述：第（2）問采用逆向思考方法，即考慮總體除去減少的三角形，思路清晰，若直接求解，則情形較多，要求學(xué)生注意“正難則反”的解題思想應(yīng)用.例2如圖，直線l1與l2相交于點(diǎn)P，除點(diǎn)P外，在直線l1上還有A1,A2,A3,A4四點(diǎn)，在直線l2上還有B1,B2,B3,B4,B5五點(diǎn).若在A1，A2，A3，A4這四點(diǎn)中任取一點(diǎn)與B1，B2，B3，B4，B5這五點(diǎn)中各取

5、一點(diǎn)連成一條直線，問交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？師大家在審讀題目?jī)?nèi)容后可以暢談自己的看法.生甲連結(jié)A1B2,則A2B1,A3B1,A4B1分別與A1B2各有一交點(diǎn)，共有3個(gè)交點(diǎn)，再考慮各點(diǎn)與B2連結(jié)后交點(diǎn)的增加情況生乙我也按照甲同學(xué)的思路考慮，但情形較為復(fù)雜，不易確定所求.生丙為了避免遺漏和重復(fù)，根據(jù)四邊形對(duì)角形交點(diǎn)唯一，可以考慮構(gòu)成不同四邊形個(gè)數(shù)的多少.可分兩步完成：第一步，從l1上A1A4四點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，有C種不同取法；第二步：從l2上B1B5五點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，共有C種不同取法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有CC種不同取法，而每種取法對(duì)應(yīng)不同的四邊形，四邊形的對(duì)角線有唯一交點(diǎn)，故所求最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為CC個(gè).師

6、接下來，我們根據(jù)丙同學(xué)的思路共同寫出解答過程.解：若各點(diǎn)連線交點(diǎn)不重合，則交點(diǎn)最多.共分兩步：第一步：從l1上A1A4四點(diǎn)中取兩點(diǎn)，有C種不同取法；第二步：從l2上B1B5五點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，有C種不同取法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有CC=60(種)不同取法.而每種取法對(duì)應(yīng)不同的四邊形，四邊形對(duì)角線有唯一交點(diǎn)，故所求最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為60個(gè).評(píng)述：此題關(guān)鍵是將求交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為四邊形對(duì)角線交點(diǎn)問題，使解題思路豁然開朗，要求學(xué)生加以體會(huì).師下面我們?cè)僮鲆坏老嚓P(guān)性練習(xí).已知空間有8個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，任意四點(diǎn)不共面，若兩條異面直線稱為“一對(duì)”異面直線，問共有多少對(duì)不同的異面直線？師此題可考慮構(gòu)造含有異面

7、直線的幾何體，聯(lián)系例2的解法求解.生丁因?yàn)樵诹Ⅲw幾何學(xué)習(xí)中，我們知道，在三棱錐中有三對(duì)異面直線，故可以考慮構(gòu)成不同三棱錐的個(gè)數(shù)，而空間8個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)不共面，可構(gòu)成一個(gè)三棱錐，共可構(gòu)成不同三棱錐C個(gè)，所以共有不同的異面直線3C=210(對(duì)).課堂練習(xí)（給出投影片10.3.4 C）1.平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，如果有m個(gè)點(diǎn)共線，其余各點(diǎn)沒任何三點(diǎn)共線，這n個(gè)點(diǎn)可連成多少條直線？連成多少個(gè)三角形？分析：此題可以從m個(gè)點(diǎn)共線而減少的直線和三角形入手，采用間接求法.解：若無任何三點(diǎn)共線，n個(gè)點(diǎn)可以連成直線C條；而m點(diǎn)共線則減少C-1條直線,所以n個(gè)點(diǎn)可連成C-(C-1)=-+1條直線.若無任何三點(diǎn)共線，n個(gè)點(diǎn)可

8、以連成三角形C個(gè)，而m點(diǎn)共線，三角形個(gè)數(shù)減少C個(gè)，故這n個(gè)點(diǎn)可以連成三角形C-C (個(gè)).2.由6名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加400米混合泳接力，其中甲不游仰泳，乙不游蝶泳，共有多少種選派方法？分析：從仰泳與蝶泳兩種方式中選取一種作為分類的出發(fā)點(diǎn)，然后分步進(jìn)行.（1）蝶泳選派甲時(shí)，其余3人任意排列，有A種不同選法；（2）蝶泳選派甲、乙以外的4人有4種選法，接著定仰泳有4種方法，再定另外2名有A種方法，由分步計(jì)數(shù)原理有4A種方法.再由分類計(jì)數(shù)原理，共有A+4A=252（種）.課時(shí)小結(jié)師通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉排列組合在實(shí)際中的應(yīng)用，掌握常見的分析、解決問題的方法，并體會(huì)基本原理及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，逐步增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力.課后作業(yè)（一）課本P100習(xí)題10.3 11、12、13.（二）1.預(yù)習(xí)課本P1