定解問題復(fù)習(xí)PPT

1、第八講 定解問題復(fù)習(xí),定解問題的導(dǎo)出及解決,李小燕,泛定方程,定解問題,演化方程,穩(wěn)定方程,線性邊界條件,自然邊界條件,初始狀態(tài),初始速度,波動方程,輸運(yùn)方程,拉普拉斯方程,泊松方程,第一類,第二類,周期性,有界性,第三類,定解條件,邊界條件,初始條件,定解問題的導(dǎo)出步驟,確定物理量 :速度、位移、 研究鄰近點(diǎn)的相互作用（抓主要矛盾，忽略次要矛盾） 短時間內(nèi)這種相互作用對所研究物理量的影響 將這種影響用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來，并簡化整理數(shù)學(xué)物理方程,定解條件,引入定解條件的必要性： 從物理多角度看：物理方程僅能表示一般性，要個性化物體的運(yùn)動需要附加條件。 從數(shù)學(xué)上看：微分方程的解的任意性也需要附加

2、條件來確定，這些附加的條件就是初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。 初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。 邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。,初始時刻的溫度分布：,B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,不含初始條件，只含邊界條件條件,A、 波動方程的初始條件,1、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài),系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移 系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度,稱物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為初始條件。初始條件應(yīng)該完全描寫初始時刻（t = 0 時）介質(zhì)內(nèi)部及邊界上任意一點(diǎn)的狀況。,初始條件的個數(shù)：等于方程中關(guān)于時間偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù),(2)自由端：x=a 端既不固

3、定，又不受位移方向力的作用。,2、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,A、 波動方程的邊界條件,(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：,或：,(3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。,或,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件,(1) 給定溫度在邊界上的值,(S為給定區(qū)域v 的邊界),(2) 絕熱狀態(tài),(3)熱交換狀態(tài),牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。,交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,C、拉普拉斯方程的邊界條件,其他邊界條件 ：

4、,1、銜接條件 背景：系統(tǒng)中出現(xiàn)跳躍點(diǎn)。 研究方法：具體問題具體分析，在跳躍點(diǎn)處尋找連續(xù)條件。 2、自然邊界條件 邊界值為有限的： 周期邊界條件 ：,二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：,二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,特征方程,特征根,1、有兩個不相等的實(shí)根,齊次方程的通解為,特征根為,2、有兩個相等的實(shí)根,特征根為,齊次方程的通解為,3、有一對共軛復(fù)根,特征根為,齊次方程的通解為,二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解：,齊次邊界條件齊次方程的解,偏微分方程,常微分方程1,初始條件,齊次邊界條件,常微分方程2,解1,解2,本征解 解1解2,通解 本征解,分離 變量,確定疊 加系數(shù),k=1,2,3

5、,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,k=1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,k=1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,用分離變量法求解定解問題的步驟,定解問題,選擇合適的坐標(biāo)系,邊界條件非齊次轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件,非齊次方程，齊次定解條件 特征函數(shù)法,齊次方程，齊次邊界條件 分離變量法,非齊次方程，齊次邊界條件,特解法,齊次邊界非齊次初始條件下非齊次方程的解法：,齊次定解條件非齊次方程的解：,齊次邊界非齊次初始條件非齊次方程的解：,設(shè)定,19,泊松方程（特解法）,待求,20,非齊次邊界條件的處理,一、

6、一般處理方法,21,二、特殊處理方法,在圓形域求解 ：,圓域內(nèi)：,圓域外：,長為 的桿，上端固定在電梯天花板，桿身豎直，下端自由。電梯下降，當(dāng)速度為 時突然停止，求解桿的振動。,磁致伸縮換能器、魚群探測換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿，它作縱振動。研究兩端自由棒的自由縱振動,即定解問題,研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題,初始時刻桿的一端溫度為零度, 另一端 跟外界絕熱，桿上初始溫度為 ,試求無熱源時細(xì)桿上 溫度的變化。,長為 l ，兩端固定的弦，在單位長度上受橫向力 g(x) sinwx 的作用下做小振動，已知弦的初始位移 和 速度分別為j (x) 和 f (x) ，求其橫振動的規(guī)律。,有一長為 l ，側(cè)

7、面絕熱而初始溫度為零度的均勻細(xì)桿，它的一端保持溫度始終為零度，而另一端溫度隨時間直線上升，求桿的溫度分布。,1,2,3,4,5,長為 的桿，上端固定在電梯天花板，桿身豎直，下端自由。電梯下降，當(dāng)速度為 時突然停止，求解桿的振動。,解：,I+II,26,磁致伸縮換能器、魚群探測換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿，它作縱振動。研究兩端自由棒的自由縱振動,即定解問題,【解】,由邊界條件知特征值和特征函數(shù),由初始條件得,把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級數(shù), 比較兩邊的系數(shù)，得,由疊加原理，一般解為,【解】桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件,研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題,初始時刻桿的一端溫度為零度, 另一端 跟外界絕

8、熱，桿上初始溫度為 ,試求無熱源時細(xì)桿上 溫度的變化。,于是得特征值和特征函數(shù)為,由疊加原理，得,確定系數(shù) ,由初值條件知,于是,長為 l ，兩端固定的弦，在單位長度上受橫向力 g(x) sinwx 的作用下做小振動，已知弦的初始位移 和 速度分別為j (x) 和 f (x) ，求其橫振動的規(guī)律。,令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問題,定解問題,解：,即,定解問題,定解問題,定解問題的特解為：,解,有一長為 l ，側(cè)面絕熱而初始溫度為零度的均勻細(xì)桿，它的一端保持溫度始終為零度，而另一端溫度隨時間直線上升，求桿的溫度分布。,令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問題,設(shè)桿長方向?yàn)?x 軸，x = l 端保持溫度始終為零度， x = 0 端溫度隨時間直線上升，比例系數(shù)為常數(shù) c ，則定解問題為：,視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次邊界條件，取,將 v(x, t) 代入原定解問題的邊界條件，得,可知,原定解問題化為 w(x, t) 滿足的定解問題：,邊界條件,初始條