高中數(shù)學 2.2.2 反證法學案 選修

1、選修2-2 2.2.2 反證法一、選擇題1否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A有一個解B有兩個解C至少有三個解 D至少有兩個解答案C解析在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.2否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設為()Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)Ca、b、c都是偶數(shù)Da、b、c中至少有兩個偶數(shù)答案B解析a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數(shù)；有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù)；有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù)；三個偶數(shù)因為要否定，所以假設應為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”故應選B.3用反證

2、法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，反設正確的是()A假設三內(nèi)角都不大于60B假設三內(nèi)角都大于60C假設三內(nèi)角至多有一個大于60D假設三內(nèi)角至多有兩個大于60答案B解析“至少有一個不大于”的否定是“都大于60”故應選B.4用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設正確的是()A假設a，b，c都是偶數(shù)B假設a、b，c都不是偶數(shù)C假設a，b，c至多有一個偶數(shù)D假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)答案B解析“至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數(shù)5命題“ABC中，若AB，則ab”

3、的結(jié)論的否定應該是()Aab”的否定應為“ab或a0，x11且xn1(n1,2)，試證“數(shù)列xn或者對任意正整數(shù)n都滿足xnxn1”，當此題用反證法否定結(jié)論時，應為()A對任意的正整數(shù)n，都有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1且xnxn1D存在正整數(shù)n，使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命題的結(jié)論是“對任意正整數(shù)n，數(shù)列xn是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”故應選D.二、填空題11命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是_答案沒有一個是三角形或四邊形或五邊形解析“至少有一

4、個”的否定是“沒有一個”12用反證法證明命題“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內(nèi)容是_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一個”的否定是“都不能”13用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：ABC9090C180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則AB90不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角；假設A，B，C中有兩個角是直角，不妨設AB90.正確順序的序號排列為_答案解析由反證法證明的步驟知，先反證即，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結(jié)論即，即順序應為.14用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個的過程如下：假設_設全體質(zhì)數(shù)為p1、p

5、2、pn，令pp1p2pn1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有_的質(zhì)因數(shù)這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設不成立于是，質(zhì)數(shù)有無限多個答案質(zhì)數(shù)只有有限多個除p1、p2、pn之外解析由反證法的步驟可得三、解答題15已知：abc0，abbcca0，abc0.求證：a0，b0，c0.證明用反證法：假設a，b，c不都是正數(shù)，由abc0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設a0，b0，則由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0

6、，即abbcca0矛盾，所以假設不成立因此a0，b0，c0成立16已知a，b，c(0,1)求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同時大于.證明證法1：假設(1a)b、(1b)c、(1c)a都大于.a、b、c都是小于1的正數(shù)，1a、1b、1c都是正數(shù).，同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b、(1b)c、(1c)a不能都大于.證法2：假設三個式子同時大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a3因為0a1，所以0a(1a)2.同理，0b(1b)，0c(1c).所以(1a)a(1b)b(1c)c3.因為與矛盾，所以假設不成立，故原命題成立17已知

7、函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR.(1)若ab0，求證：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論解析(1)證明：ab0，ab.由已知f(x)的單調(diào)性得f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)兩式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)逆命題：f(a)f(b)f(a)f(b)ab0.下面用反證法證之假設ab0，那么：f(a)f(b)f(a)f(b)這與已知矛盾，故只有ab0.逆命題得證18(2010湖北理，20改編)已知數(shù)列bn的通項公式為bnn1.求證：數(shù)列bn中的任意三項不可能成等差數(shù)列解析假設數(shù)列bn存在三項br、bs、bt(