機械動力學(xué)第2章單自由度線性系統(tǒng)振動.ppt

1、第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動,振 動 理 論 及 其 應(yīng) 用,2.1 離散系統(tǒng)的組成,2.2 振動微分方程,2.3 自由振動,2.4 強迫振動,2.5 隔振原理,2.6 非周期激勵下的響應(yīng),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動,構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元素 構(gòu)成機械振動系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。慣性就是能使物體當前運動持續(xù)下去的性質(zhì)。恢復(fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運動的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 當物體沿x軸作直線運動時，慣性的大小可用質(zhì)量來表示。根據(jù)牛頓第二定律，作用在物體上的外力F，物體由此

2、產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量m之間有下述關(guān)系 質(zhì)量的單位為kg。,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動,典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位移的函數(shù)，即Fs=Fs（x）。 當Fs（x）是線性函數(shù)時，有Fs=kx (1-2) 比例常數(shù)k稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為N/m。 阻尼力Fd反映阻尼的強弱，通常是速度x的函數(shù)，阻尼力可表示為 這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)，單位N.s/m。 質(zhì)量、彈簧和阻尼器是構(gòu)成機械振動系統(tǒng)物理模型的三個基本元件。,自由度與廣義坐標 自由度數(shù): 完全確定系統(tǒng)運動所需的獨立坐標數(shù)目稱為自由度數(shù)。 剛體在空間有6個自由度：三個方向的移動和繞三個方

3、向的轉(zhuǎn)動，如飛機、輪船； 質(zhì)點在空間有3個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球； 質(zhì)點在平面有2個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單自由度。,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動,質(zhì)量元件 無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件,2.1 離散系統(tǒng)的組成,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動,第2章單 自由度線性系統(tǒng)的振動 2.1 離散系統(tǒng)的組成,彈性元件 無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能的元件,阻尼元件 無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件,第2章單 自由度線性系統(tǒng)的振動 2.1 離散系統(tǒng)的組成,等效彈簧剛度,斜向布置的彈簧,串聯(lián)彈簧,并聯(lián)彈簧,并聯(lián)系統(tǒng),串聯(lián)系統(tǒng),等效阻尼系數(shù),傳動系統(tǒng)的等效剛度,傳動系統(tǒng)的等效阻尼,

4、ct1e= ct1 / i 2,等效質(zhì)量,傳動系統(tǒng)的等效慣量,等效彈簧剛度舉例：,K=EA/L,K=3EI/L3,K=192EI/L3,K=48EI/L3,K1,3=K1+K梁=K1+192EI/L3 K=(K2K1,3)/(K2+K1,3),扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的等效剛度,（1）均勻軸的等效剛度系數(shù),圖為一根在一端受有轉(zhuǎn)矩T軸,軸所具有的勢能為：,式中G為剪切彈性模數(shù)；I為斷面慣性矩，對圓斷面來講， I=d4/32；d為直徑，l為長度。若軸為均勻斷面時 。,軸端扭角：,則扭簧具有的剛度系數(shù)K將按勢能相等原則來決定，即扭簧具有的勢能和原軸具有的勢能相等。,故 ：,（2）階梯軸的等效剛度系數(shù)， 對于階梯軸來

5、講，它相當于兩個彈簧的串聯(lián)，其中,兩個彈簧串聯(lián)可簡化為一個彈簧（圖c），因為彈簧1，2的扭角之和等于總的扭角。,兩個彈簧勢能之和與等效彈簧的勢能相等：,作用在兩個彈簧中的扭矩T是相同的，故：,得：,(3)串聯(lián)齒輪軸的等效剛度系數(shù),對于串聯(lián)齒輪傳動，由于兩軸間轉(zhuǎn)速比i所以不能直接應(yīng)用上式，圖為一對齒輪傳動。令速比i為,若以軸I為等效軸，令,根據(jù)等效力矩，等效慣量和等效剛度的概念，可以把傳動簡化成圖b所示的系統(tǒng)。其中等效轉(zhuǎn)動慣量為 ：,等效力矩用Te來表示 ：,根據(jù)等效彈簧具有的勢能和原來的軸所具有的勢能相等來確定等效剛度 ：,I的等效剛度 ：ke1=k 1,軸II的等效剛度:,故II軸的等效剛度

6、系數(shù)為原來軸的剛度系數(shù)乘以速比的平方。 一對齒輪傳動的簡化力學(xué)模型如上圖a,b。它將具有三個廣義坐標 。它有三個自由度，其中有一個為“整體運動自由度”，即整個軸以角速度 一起轉(zhuǎn)，另外還有兩個彈性自由度。所以廣義坐標也可以取為 。,其中,對于級數(shù)更多的串聯(lián)齒輪系統(tǒng)也同樣可以簡化如圖，各軸的速比設(shè)為：,式中p為外嚙合齒輪對的數(shù)目。則,多級數(shù)串聯(lián)齒輪系統(tǒng)簡化圖,等效轉(zhuǎn)動慣量為：,等效剛度為：,等效力矩為：,整個傳動系統(tǒng)可畫成上圖b所示的模型。取廣義坐標：,整個系統(tǒng)具有n個自由度，其中一個自由度為整體運動自由度，即整個軸以1一起轉(zhuǎn)動，另外還有n-1個彈性自由度。,2. 2 振動微分方程,第2章 單自由

7、度線性系統(tǒng)的振動,振動微分方程,方程的解,單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動,我們前邊研究振動的運動學(xué)時，只研究振動形態(tài)隨時間t變化的規(guī)律而不考慮發(fā)生振動的原因。,振動質(zhì)體,提供恢復(fù)力元件,干擾（力，初位移，初速度等）,實際上，發(fā)生振動必須有三個基本條件：,我們現(xiàn)在研究圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在光滑平面上的振動。彈簧質(zhì)量不計；質(zhì)體m當作剛體（或一個質(zhì)點）；并假設(shè)彈簧的恢復(fù)力與變形成正比，即：Fkx 注：k的單位N/cm,其中k剛性系數(shù)（產(chǎn)生單位位移所需的力）。加負號是因為：彈性恢復(fù)力永遠與位移x方向相反。（始終指向靜平衡位置）,我們來建立單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程。首先回顧一下，什么叫自由振動？自由

8、振動過程中不受外力作用，但振動的起因還是由于外來干擾。例如，我們把小車m拉到偏離平衡位置后放開手，它就作自由振動。這時m受到的力只有彈性恢復(fù)力F=kx，由牛頓第二定律：,或?qū)懗桑?x=c1sinnt+c2cosnt,n2=k/m -我們以后再解釋為什么這樣設(shè)。,其中常數(shù)c1 ，c2由初始條件確定。,這里令：,上式即一個自由度系統(tǒng)自由振動微分方程。這是個二階齊次線性常微分方程。它的通解是：注：這是 型微分方程，其解法在高等數(shù)學(xué)中講過，忘了的同學(xué)可以復(fù)習一下,設(shè)：當t0時,注：這正是前邊講過的圓頻率相同的兩個簡諧振動，一個用正弦，一個為余弦合成情況,把初始條件代入上式，可得,其中,討論：,1、單自

9、由度系統(tǒng)的自由振動是個簡諧振動，其振幅A和初相位由初始條件決定。從這里可以看到自由振動最初發(fā)生的原因，必須有初位移x0或初速度v0或兩者都有才有振動xAsin(nt)，否則x0 無振動,（弧度/秒）,2、自由振動的圓頻率,就是說,是否發(fā)生自由振動由xo，uo決定,振動頻率系統(tǒng)固有頻率（own德語）,它取決于系統(tǒng)的質(zhì)量及彈簧剛度，因此是系統(tǒng)所固有的，與運動的初始條件無關(guān)（也解釋說，與系統(tǒng)是否發(fā)生振動無關(guān)）故把n稱為固有頻率。一座建筑物，一臺機器，一架飛機等等，一旦制造出來，其m，k就都是確定的了，于是固有頻率也就確定了。固有頻率是本課程最重要的概念，在以后的學(xué)習及工作中經(jīng)常要用到（例如防止共振）

10、。,求法：,a、,b、,其中,靜伸長（cm）,g重力加速度（cm/s2）,固有自然頻率及周期為,2. 3 自由振動,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動,振動微分方程,設(shè),特征方程,有,臨界阻尼系數(shù),阻尼比或阻尼因子,定義,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 3 自由振動,討論 (1),方程的解,特征值,系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 3 自由振動,討論 (2),特征值,系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng),方程的解,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 3 自由振動,討論 (3),方程的解,特征值,系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 3 自由振動,討論 (4)

11、,特征值,系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng),方程的解,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 3 自由振動,振動特性,無阻尼 z = 0： 簡諧運動 弱阻尼 0 1： 衰減運動,過阻尼應(yīng)用實例： 1、撐桿跳高的桿的設(shè)計要求。 2、彈簧門的設(shè)計要求。,小阻尼,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 3 自由振動,振對數(shù)衰減率,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,簡諧激勵,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼),求解過程,微分方程 的特解設(shè)為： ， 代入方程： 復(fù)振幅； 其中 為頻率比。 或： ； 令 稱為動柔度，單位動態(tài)力產(chǎn)生的振動位移 ； 亦即 （1） 則 為靜柔度。動柔度還可以寫做以下形式： （2）,求解過程

12、,或： （3） 式中： （4） （5） 寫成無量綱形式 （6） 稱為振幅放大因子。,解的討論,二、討論:圖給出了以為橫坐標，為縱坐標，在不同阻尼比下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性系統(tǒng)的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的頻率，受迫振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵力的大小及頻率值，但與初始條件無關(guān)。 受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān) (1) 當頻率比0.2時，即激振頻率遠小于系統(tǒng)的固有頻率n時，無論阻尼的大小如何，1，稱為準靜態(tài)區(qū)。即振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅主要由彈簧剛度控制。,解的討論,（2）頻率比很大(5) , 0，激振頻率遠大于

13、系統(tǒng)的固有頻率n ，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不及跟隨，幾乎停著不動。故在高頻區(qū)受迫振動的振幅主要取決于系統(tǒng)的慣性，稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳感器的理論依據(jù)。 （3）當頻率比 =1，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時阻尼值越小， 則越大。當阻尼為零時，振動為無限大。習慣上把幅值 的頻率區(qū)間稱為共振區(qū)。 將（6）對求導(dǎo)，并令d/d=0 ，可解得 處有最大幅值，把 稱為共振頻率。,解的討論,相位 與頻率比的關(guān)系曲線表明 =1時，振動位移總是滯后激振力90o ，頻率比 1；=-/2-當，共振點前后相位差恰好為。,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,簡諧激勵,穩(wěn)態(tài)

14、響應(yīng)(結(jié)構(gòu)阻尼),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,簡諧激勵,全響應(yīng)(粘性阻尼),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,簡諧激勵,全響應(yīng)(無阻尼),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,簡諧激勵,全響應(yīng)(無阻尼),第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,簡諧激勵,半功率帶寬,幅頻特性,半功率帶寬利用半功率處的頻率求阻尼比1、推導(dǎo)如下：,半功率帶寬,解得： 彈簧剛度： 系統(tǒng)質(zhì)量：,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 4 強迫振動,周期激勵,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼),位移激勵,設(shè)位移干擾為: 運動方程為: 設(shè),位移激勵,振幅B為: 相位為:

15、放大因子為:,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 5 隔振原理,力的傳遞率,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 5 隔振原理,位移傳遞率,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 6 非周期激勵下的響應(yīng),杜哈曼積分,單位脈沖響應(yīng):,第2章 單自由度線性系統(tǒng)的振動 2. 6 非周期激勵下的響應(yīng),杜哈曼積分,全響應(yīng),杜哈曼積分,1、脈沖響應(yīng) 沖量 I=P()d 初始條件：x0=0; x0=I/m=Pd/m 自由振動響應(yīng)： 對上述初始條件響應(yīng)： 其中：,杜哈曼積分,若沖量 I=1,則脈沖稱為單位脈沖又稱為Dirac函數(shù)。,杜哈曼積分,若單位脈沖作用在t=時，則相當于把坐標原點右移 響應(yīng)為： 2、任意

16、激振力的響應(yīng)： 任意激振力P()可視為一系列脈沖，在他t=時，系統(tǒng)的沖量I=Pd則響應(yīng)為：,杜哈曼積分,系統(tǒng)響應(yīng)為： 無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)為：d= n, =0,例題,例1、一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到一個常力P0突然作用，試求系統(tǒng)響應(yīng)。,求解過程,1、無阻尼解 2、有無阻尼解,等效阻尼,在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設(shè)為 。實際物理模型與振動位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為粘性阻尼。這種阻尼是線性的，數(shù)學(xué)上易于處理，故常把非線性阻尼用等效粘性阻尼來代替。等效原則：一個振動周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。當受迫振動的位移響應(yīng)為：,等效阻尼,時，粘性阻尼力 在一個振動周期中所做的功： 等效阻尼力 在

17、一個振動周期中所作的功： 所以：,等效阻尼,干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力F可視為一個常力，在整個受迫振動中力的幅值不變，方向始終與運動方向相反。當質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置X，即在周期內(nèi)，摩擦力做功為 FX，故一個整周期內(nèi)做功 代入（1）式，得到干摩擦的等效阻尼:,等效阻尼,結(jié)構(gòu)阻尼：由材料形變過程中的內(nèi)摩擦產(chǎn)生。材料在加載卸載過程中，會形成應(yīng)力-應(yīng)變遲滯曲線，它包容的面積就是內(nèi)摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平方成正比，即： 其中s是與頻率無關(guān)的比例系數(shù)，隨材料不同而變。因此，結(jié)構(gòu)等效阻尼： 令:,等效阻尼,結(jié)構(gòu)阻尼：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,在振動研究中，計算振動系統(tǒng)的固有頻率有很重

18、要的意義 ，通常有一下幾種常用的方法，即靜變形法、能量法和瑞利法，現(xiàn)分別加以介紹。 1、靜變形法（Static Deformation Method） 如前所述，當單振子處于靜平衡狀態(tài)時，彈簧的彈性力與振動質(zhì)量的重力互相平衡，即存在一下關(guān)系式：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,由上式可得： 故系統(tǒng)的固有頻率為： 由此可見，只要知道質(zhì)量塊處的彈性靜變形，就可以計算出系統(tǒng)的固有頻率。在有些實際問題中，不能直接給出系統(tǒng)的彈簧剛度時，利用此法計算固有頻率比較方便。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,例1設(shè)一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。梁本身重量忽略不計。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見下圖）。 自由

19、端有集中質(zhì)量的懸臂梁,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,解：懸臂梁在自由端由集中力mg所引起的靜撓度為： 當不易用計算方法求出靜撓度時，也可用實測方法得到靜撓度，然后按（1）式計算系統(tǒng)固有頻率。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,例1一根矩形截面梁，上面承受質(zhì)量為m的物體（如圖所示）。若忽略梁的質(zhì)量，試用能量法求該系統(tǒng)的固有頻率。 承受質(zhì)量的矩形截面梁,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,解：梁的剛度可用靜變形法求出： 而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公式計算： 故 代入（3）式即可求出該系統(tǒng)的固有圓頻率：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,2、能量法（Energy Method） 在無阻尼自由振動系統(tǒng)中，由于沒有能量的損失

20、，所以振幅始終保持為一常數(shù)，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們將這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。 在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機械能守恒定律，在整個振動過程的任一瞬時機械能應(yīng)保持不變。 即： T+U=常數(shù) 或 式中：T系統(tǒng)中運動質(zhì)量所具有的動能； U系統(tǒng)由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢能。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,對于單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的動能為： 系統(tǒng)的勢能則由以下兩部分組成： 1、重力勢能。 當質(zhì)量塊m低于靜平衡位置時，重力勢能為-mgx。 2、彈性勢能。 當質(zhì)量塊m運動至離靜平衡位置距離+x時，彈簧的彈性力對質(zhì)量塊所作的功即為系統(tǒng)此時的彈性勢能。如下圖所示，系

21、統(tǒng)的彈性勢能為： 故系統(tǒng)的勢能為： 所以：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,單自由度振動系統(tǒng)的彈性勢能 這就是單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量方程。這一方程說明，無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量關(guān)系是振動質(zhì)體的能量與彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化過程，而無能量的消耗。但在振動系統(tǒng)中存在阻尼時，則在振動質(zhì)體的動能與彈性勢能的互相轉(zhuǎn)化過程中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,若將無阻尼自由振動的時間歷程 代入系統(tǒng)的能量方程（2）式可得： 當t=0，或 、 等時， U=0, 當 、 或 、等時，T=0, 這說明系統(tǒng)的最大動能或最大勢能均等于系統(tǒng)的

22、總能量，且動能與勢能的最大值相等，即： 或 根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率： 對彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子）用上述能量法意義不大。但是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能量法計算固有頻率比較方便。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,例1下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件無定向擺。已知a=3.54cm， ，mg=0.856N，k=0.3N/cm。且整個系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動軸o的轉(zhuǎn)動慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。 圖：無定向擺,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,解：取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣義坐標，并設(shè) 則 故 對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。即： 當搖桿擺到最大角位移處時，速度為

23、零，故此時系統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能： 2) 質(zhì)量塊m的重心下降 后的重力勢能：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,因為 故 得,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,3.瑞利法（Rayleigh Method） 前面介紹的幾種計算系統(tǒng)固有頻率的方法，都是將系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量忽略不計。但是在有些系統(tǒng)中，彈簧本身的質(zhì)量在系統(tǒng)總質(zhì)量中占有一定的比例，此時若再忽略彈簧的質(zhì)量，就將會使得計算出來的系統(tǒng)固有頻率偏高。瑞利法則將彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響考慮了進去，從而能得到相當準確的固有頻率值。 應(yīng)用瑞利法時，必須先假定一個系統(tǒng)的振動形式。而且所假定的振動形式越接近實際

24、的振動形式，則計算出來的固有頻率的近似值就越接近準確值。實踐證明，以系統(tǒng)的靜態(tài)變形曲線作為假定的振動形式，則所求得的固有頻率的近似值與準確值相比較，一般來說誤差是很小的。 現(xiàn)以最簡單的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例來說明瑞利法的應(yīng)用。在下圖的系統(tǒng)中，若彈簧的質(zhì)量與質(zhì)量塊的質(zhì)量相比是很小的，則系統(tǒng)的振動形式就不會顯著地受到彈簧質(zhì)量的影響。在這種情況下，假設(shè)彈簧在振動過程中的變形（各截面的瞬時位移）與彈簧在受軸向靜載荷作用下的變形相同是足夠精確的。,Lord Rayleigh，1945年提出瑞利法。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,圖： 彈簧質(zhì)量系統(tǒng),計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,解:假設(shè)彈簧上距固定端距離為 處的位

25、移為： 式中：l處于平衡位置時彈簧的長度； x 彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊一端的位移。 當質(zhì)量塊在某一瞬時的速度為 時，彈簧在處的微段d的速度應(yīng)為 。令表示彈簧單位長度的質(zhì)量，則彈簧微段d的質(zhì)量為d.而其最大動能則為 ,所以彈簧的全部動能為：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,顯然，系統(tǒng)的全部動能應(yīng)該是質(zhì)量塊m的最大動能與彈簧的最大動能之和，即 系統(tǒng)的最大勢能仍與無質(zhì)量彈簧的情況相同，即：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,由動能和勢能相等原理得： 對簡諧振動來說，上式即成為： 由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計算公式為： 為了考慮彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將1/3的彈簧質(zhì)量當作一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。

26、,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,一般將上式中的 稱為“彈簧的等效質(zhì)量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振動系統(tǒng)，其彈簧的等效質(zhì)量不同，需具體加以計算。 因為 所以 因此只要先算出系統(tǒng)彈性元件的動能，即可根據(jù)上式計算出系統(tǒng)彈性元件的等效質(zhì)量。根據(jù)系統(tǒng)中的彈簧質(zhì)量與質(zhì)量塊質(zhì)量相比很小，從而在振動過程中彈簧各截面的瞬時位移按線性變化這一假設(shè)而得出的。但是，即使彈簧的質(zhì)量較大，用原式計算系統(tǒng)固有頻率也具有足夠的精確度。例如,當 時，固有頻率的計算誤差約為0.5；當 時，計算誤差約為0.8；當 時，計算誤差約為3。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,例如圖所示的等截面

27、簡支梁上有一集中質(zhì)量m，若將梁本身的重量W考慮在內(nèi)，計算此系統(tǒng)的固有頻率。,圖承受集中質(zhì)量的等截面梁,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,解：假設(shè)梁在振動時撓度曲線與梁在圖示載荷作用下的靜撓度曲線一致。 梁上物體左側(cè)距A點為處的靜撓度為： 梁上物體右側(cè)距B點為處的靜撓度為： 在物體m處梁的靜撓度為： 設(shè)物體m在振動狀態(tài)下的最大速度為 ，則在物體左右兩側(cè)梁的所有點的最大速度 、 與振動位移y1、y2之間存在以下關(guān)系：,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,所以梁的左右兩部分的最大速度為： 因而梁的左右兩部分的最大動能為： 式中：w梁的單位長度的質(zhì)量；,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,梁的全部動能為： 根據(jù)上式可算出梁的等效質(zhì)量為： 所以系統(tǒng)的固有圓頻率為： 式中： ，為梁的剛度。,計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法,從上式可以看出當忽略梁的質(zhì)量時所計算出的系統(tǒng)固有頻率比用瑞利法計算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可求得無載荷的固有頻率的相當準確的數(shù)值。由于無載荷的變形曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載荷為零（m0），即可求出無載荷梁的固