高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案（含解析）新人教A版必修

1、33.2簡單的線性規(guī)劃問題簡單的線性規(guī)劃提出問題某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不少于對項目乙投資的，且對每個項目的投資不能低于5萬元問題1：設(shè)投資甲、乙兩個項目的資金分別為x，y萬元，那么x，y應(yīng)滿足什么條件？提示：問題2：若公司對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，設(shè)該公司所獲利潤為z萬元，那么z與x，y有何關(guān)系？提示：z0.4x0.6y.問題3：x，y取值對利潤z有無影響？提示：有導(dǎo)入新知線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件變量x，y滿足的一組條件線性約束條件由x，y的二元一次不等式(或方程)組成的不等式組

2、目標函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式線性目標函數(shù)目標函數(shù)是關(guān)于x，y的二元一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題化解疑難1線性約束條件包括兩點：一是變量x，y的不等式(或等式)，二是次數(shù)為1.2目標函數(shù)與線性目標函數(shù)的概念不同，線性目標函數(shù)在變量x，y的次數(shù)上作了嚴格的限定：一次解析式，即目標函數(shù)包括線性目標函數(shù)和非線性目標函數(shù)3可行解必須使約束條件成立，而可行域是所有的可行解組成的一個集合求線性目標函數(shù)的最值例1(天津高考)設(shè)變量x，y滿

3、足約束條件則目標函數(shù)z2x5y的最小值為()A4B6C10 D17解析由約束條件作出可行域如圖所示，目標函數(shù)可化為yxz，在圖中畫出直線yx，平移該直線，易知經(jīng)過點A時z最小又知點A的坐標為(3,0)，zmin23506.故選B.答案B類題通法解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是準確地作出可行域，正確理解z的幾何意義，對一個封閉圖形而言，最優(yōu)解一般在可行域的邊界上取得在解題中也可由此快速找到最大值點或最小值點活學(xué)活用(廣東高考)若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn等于()A8 B7C6 D5解析：選C作出可行域(如圖中陰影部分所示)后，結(jié)合目標函數(shù)可知，當直線y2xz經(jīng)過點

4、A時，z的值最大，由則mzmax2213.當直線y2xz經(jīng)過點B時，z的值最小，由則nzmin2(1)13，故mn6.求非線性目標函數(shù)的最值例2設(shè)x，y滿足條件(1)求ux2y2的最大值與最小值； (2)求v的最大值與最小值解畫出滿足條件的可行域如圖所示(1)x2y2u表示一組同心圓(圓心為原點O)，且對同一圓上的點x2y2的值都相等，由圖可知：當(x，y)在可行域內(nèi)取值時，當且僅當圓O過C點時，u最大，過(0,0)時，u最小又C(3,8)，所以u最大值73，u最小值0.(2)v表示可行域內(nèi)的點P(x，y)到定點D(5,0)的斜率，由圖可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，3)

5、，所以v最大值，v最小值4.類題通法非線性目標函數(shù)最值問題的求解方法(1)非線性目標函數(shù)的最值問題，要充分理解非線性目標函數(shù)的幾何意義，諸如兩點間的距離(或平方)，點到直線的距離，過已知兩點的直線斜率等，充分利用數(shù)形結(jié)合知識解題，能收到事半功倍的效果(2)常見代數(shù)式的幾何意義主要有： 表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；表示點(x，y)與點(a，b)的距離表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵活學(xué)活用已知變量x，y滿足約束條件則的最大值是_，最小值是_解析：由約束條件作出可行域(如圖

6、所示)，目標函數(shù)z表示坐標(x，y)與原點(0,0)連線的斜率由圖可知，點C與O連線斜率最大；點B與O連線斜率最小，又B點坐標為，C點坐標為(1,6)，所以kOB，kOC6.故的最大值為6，最小值為.答案：6已知目標函數(shù)的最值求參數(shù)例3(湖南高考)若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最小值為6，則k_.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z2xy，則y2xz，易知當直線y2xz過點A(k，k)時，z2xy取得最小值，即3k6，k2.答案2類題通法求約束條件或目標函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍問題解答此類問題必須明確線性目標函數(shù)的最值一般在可行域的頂點或邊界取得，運用數(shù)形結(jié)合的思想、方法

7、求解同時要搞清目標函數(shù)的幾何意義活學(xué)活用已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a()A3 B2C2 D3解析：選B畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則最優(yōu)解為x1，y1或x2，y0，經(jīng)檢驗知x2，y0符合題意，2a04，此時a2.簡單的線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用例4(天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2

8、萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分(2)設(shè)利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z2x3y.考慮z2x3y，將它變形為yx，它的圖象是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當取最大值時，z的值最大根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖可知，當直線z2x3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得點M的坐

9、標為(20,24)，所以zmax220324112.答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元 類題通法利用線性規(guī)劃解決實際問題的步驟(1)設(shè)出未知數(shù)(當數(shù)據(jù)較多時，可以列表格來分析數(shù)據(jù))；(2)列出約束條件，確立目標函數(shù)；(3)作出可行域；(4)利用圖解法求出最優(yōu)解；(5)得出結(jié)論活學(xué)活用鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為_(百萬元)解析：可設(shè)需購買A礦石x

10、萬噸，B礦石y萬噸，則根據(jù)題意得到約束條件為作出約束條件所表示的可行域(圖略)目標函數(shù)為z3x6y，由圖知當目標函數(shù)經(jīng)過點(1,2)時目標函數(shù)取最小值，z最小值316215.答案：15典例(12分)某貨運公司擬用集裝箱托運甲、乙兩種貨物，一個大集裝箱所托運的貨物的總體積不能超過24 立方米，總重量不能低于650 千克甲、乙兩種貨物每袋的體積、重量和可獲得的利潤，列表如下：貨物每袋體積(單位：立方米)每袋重量(單位：百千克)每袋利潤(單位：百元)甲5120乙42.510問：在一個大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋(不一定都是整袋)時，可獲得最大利潤？解題流程規(guī)范解答活學(xué)活用有一批鋼管，長度都是4

11、000 mm，要截成長為500 mm和600 mm的兩種鋼管，且這兩種鋼管的數(shù)量之比按大于配套，怎樣截合理？解：設(shè)每根截500 mm的x根和600 mm的y根，則即作出可行域如圖所示目標函數(shù)為zxy，作一組平行直線xyt，經(jīng)過可行域中的點且和原點距離最遠的直線為過B(8,0)點的直線，這時xy8，由x，yN*知(8,0)不是最優(yōu)解，因此，在可行域內(nèi)找整點，得到點(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均為最優(yōu)解，此時xy7.按照每根鋼管來截，截500 mm的2根，600 mm的5根，或截500 mm的3根，600 mm的4根，或截500 mm的4根，600 mm的3根，或截5

12、00 mm的5根，600 mm的2根，或截500 mm的6根，600 mm的1根隨堂即時演練1zxy在的線性約束條件下，取得最大值的可行解為()A(0,1)B(1，1)C(1,0) D.解析：選C可以驗證這四個點均是可行解當x0，y1時，z1；當x1，y1時，z0；當x1，y0時，z1；當x，y時，z0.排除選項A，B，D，故選C.2(廣東高考)已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為()A3 B1C5 D6解析：選C由約束條件作出可行域如圖由zx2y得yx，的幾何意義為直線在y軸上的截距，當直線yx過直線x1和xy1的交點A(1，2)時，z最小，最小值為5，故選C.3(全國丙卷)設(shè)x，

13、y滿足約束條件 則z2x3y5的最小值為_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由題意可知，當直線yx過點A時，z取得最小值，聯(lián)立解得A(1，1)，即zmin2(1)3(1)510.答案：104已知點P(x，y)的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_解析：點P(x，y)滿足的可行域為ABC區(qū)域，A(1,1)，C(1,3)由圖可得，|PO|最小值|AO|；|PO|最大值|CO|.答案：5已知x，y滿足約束條件求zx2y的最小值解：作出不等式組的可行域，如圖所示畫出直線l0：x2y0，平移直線l0到直線l的位置，使l過可行域內(nèi)某點，且可行域內(nèi)其他點都在l

14、的不包含直線l0的另外一側(cè)，該點到直線l0的距離最小，則這一點使zx2y取最小值顯然，點A滿足上述條件，解得點A，z最小值2.課時達標檢測一、選擇題1目標函數(shù)z3xy，將其看成直線方程時，z的意義是()A該直線的截距B該直線的縱截距C該直線的縱截距的相反數(shù)D該直線的橫截距解析：選C由z3xy得y3xz，在該方程中z表示直線的縱截距，因此z表示該直線的縱截距的相反數(shù)2現(xiàn)有5輛載重6噸的汽車，4輛載重4噸的汽車，設(shè)需x輛載重6噸汽車和y輛載重4噸汽車，要運送最多的貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標函數(shù)為()Az6x4yBz5x4yCzxy Dz4x5y解析：選A由題意，要運送最多的貨物，先找到兩類型

15、汽車運送的總貨物量，即z6x4y.3在ABC中，三個頂點分別為A(2,4)，B(1,2)，C(1,0)，點P(x，y)在ABC的內(nèi)部及其邊界上運動，則yx的取值范圍為()A1,3 B3,1C1,3 D3，1解析：選C先畫出三角形區(qū)域(如圖)，然后轉(zhuǎn)化為一個線性規(guī)劃問題，求線性目標函數(shù)zyx的取值范圍由圖求出其取值范圍是1,34實數(shù)x，y滿足不等式組則W的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D利用數(shù)形結(jié)合思想，把所求問題轉(zhuǎn)化為動點P(x，y)與定點A(1,1)連線的斜率問題畫出題中不等式組所表示的可行域如圖所示，目標函數(shù)W表示陰影部分的點與定點A(1,1)的連線的斜率，由圖可知點A(1，1

16、)與點(1,0)連線的斜率為最小值，最大值趨近于1，但永遠達不到1，故W1.5某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸；銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸那么該企業(yè)可獲得最大利潤是()A12 萬元 B20 萬元C25 萬元 D27 萬元解析：選D設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，則有關(guān)系：A原料B原料甲產(chǎn)品x噸3x2x乙產(chǎn)品y噸y3y則有目標函數(shù)z5x3y.作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知，當x3，y4時可獲得最大

17、利潤27萬元，故選D.二、填空題6如圖中陰影部分的點滿足不等式組在這些點中，使目標函數(shù)z6x8y取得最大值的點的坐標是_解析：首先作出直線6x8y0，然后平移直線，當直線經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(0,5)時截距最大，此時z最大答案：(0,5)7(全國甲卷)若x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為_解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示由zx2y得yxz.平移直線yx，易知經(jīng)過點A(3,4)時，z有最小值，最小值為z3245.答案：58若目標函數(shù)zxy1在約束條件下取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則n的取值范圍是_解析：先根據(jù)作出如圖所示陰影部分的可行域，欲使目標函數(shù)zxy1取得最大值的最優(yōu)解有無窮

18、多個，需使目標函數(shù)對應(yīng)的直線平移時達到可行域的邊界直線xy20，且只有當n2時，可行域才包含xy20這條直線上的線段BC或其部分答案：(2，)三、解答題9已知關(guān)于x，y的二元一次不等式組(1)求函數(shù)u3xy的最大值和最小值；(2)求函數(shù)zx2y2的最大值和最小值解：(1)作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由u3xy，得y3xu，得到斜率為3，在y軸上的截距為u，隨u變化的一組平行線由圖可知，當直線經(jīng)過可行域上的C點時，截距u最大，即u最小解方程組得C(2,3)，u最小值3(2)39.當直線經(jīng)過可行域上的B點時，截距u最小，即u最大，解方程組得B(2,1)，u最大值3215.u3xy的

19、最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率為，在y軸上的截距為z1，且隨z變化的一組平行線由圖可知，當直線經(jīng)過可行域上的A點時，截距z1最小，即z最小解方程組得A(2，3)，z最小值22(3)26.當直線yxz1與直線x2y4重合時，截距z1最大，即z最大，z最大值x2y2426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.10制造甲、乙兩種煙花，甲種煙花每枚含A藥品3 g、B藥品4 g、C藥品4 g，乙種煙花每枚含A藥品2 g、B藥品11 g、C藥品6 g已知每天原料的使用限額為A藥品120 g、B藥品400 g、C藥品240 g，甲種煙花每枚可獲利1.2美元，乙種煙花每枚可獲利1美元，問每天應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種煙花各多少枚才能獲利最大？解：根據(jù)題意，可列出下表：A藥品(g)B藥品(g)C藥品(g)甲種煙花344乙種煙花2116原料限額120400240設(shè)每天生產(chǎn)甲種煙花x枚、乙種煙花y枚，獲利為z美元，則目標函數(shù)z1.2x