自動控制理論華北電力保定研究生初試25-29次課

1、第七章 非線性系統(tǒng)分析 (本章五次課),第一節(jié) 概述 第二節(jié) 典型本質非線性環(huán)節(jié)的描述函數 第三節(jié) 用描述函數分析系統(tǒng)穩(wěn)定性 第四節(jié) 相平面圖 第五節(jié) 相平面分析法,單元總結,習題,第一節(jié) 概述,研究非線性系統(tǒng)的重要性 非線性系統(tǒng)的特點 控制系統(tǒng)中常見非線性的類型 非線性系統(tǒng)的分析方法 非線性系統(tǒng)的主要研究內容,研究非線性系統(tǒng)的重要性,非線性問題在工程應用中的普遍存在性； 線性化方法存在的局限性； 控制設備存在的本質非線性； 針對某些被控對象，加入一定的非線性控制作用，可以有效改善系統(tǒng)的控制水平。,非線性系統(tǒng)的特點,系統(tǒng)的響應具有和輸入不同的函數結構； 系統(tǒng)的性能不僅與系統(tǒng)本身的參數有關，與初

2、始條件及輸入信號也有關； 不能應用疊加原理； 通常有自振蕩（極限環(huán)）現(xiàn)象出現(xiàn)。,控制系統(tǒng)中常見非線性的類型及輸入輸出特性曲線,1、理想繼電型（單值、對稱于原點） 2、死區(qū)繼電器（單值、對稱于原點） 3、滯環(huán)繼電器（多值、對稱于原點） 4、死區(qū)（單值、對稱于原點） 5、飽和（單值、對稱于原點） 6、滯環(huán)死區(qū)繼電器（多值、對稱于原點）,橫坐標輸入，縱坐標輸出,非線性系統(tǒng)的分析方法,古典控制理論方法 描述函數法 相平面法 現(xiàn)代控制理論的方法 李亞普諾夫方法 計算機求解法,非線性系統(tǒng)的主要研究內容,系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定的條件； 系統(tǒng)是否產生自振蕩； 自振蕩特性分析和穩(wěn)定自振蕩參數計算； 討論消除自振蕩或

3、減小穩(wěn)定自振蕩幅值的方法。,第二節(jié) 典型本質非線性環(huán)節(jié)的描述函數,基本思想 非線性環(huán)節(jié)描述函數的定義及求取方法 求取描述函數應用舉例 負倒描述函數曲線的繪制,基本思想,非線性單位負反饋系統(tǒng)。其中N為本質非線性環(huán)節(jié)，G(s)為線性環(huán)節(jié)的傳遞函數。 研究方法及步驟： 非線性環(huán)節(jié)經處理后簡化-描述函數 描述函數的求取方法 負倒描述函數概念的引入及曲線的繪制 基于線性部分的Nyquist曲線和非線性部分的負倒描述函數曲線，采用推廣后的頻域分析法進行非線性系統(tǒng)的性能研究。,非線性環(huán)節(jié)描述函數的定義及求取方法,設非線性元件的輸入為： 則非線性元件的輸出為： 略去高次項保留基波分量，另非線性元件若對稱原點，

4、則直流分量為0，得： （若非線性環(huán)節(jié)是單值函數，則 ）,描述函數的自變量為輸入正弦信號的幅值,求取描述函數應用舉例,理想繼電器描述函數的求取 輸入函數 （周期函數） 輸出函數 （周期函數） 求相關系數： A0=0； A1=0； 描述函數：,m(t),t,描述函數是自變量為E的復函數，但由于虛部為零，則簡化為實函數。,P180-182例7-2，例7-3，自學。,負倒描述函數曲線的繪制,理想繼電器 死區(qū)繼電器 滯環(huán)繼電器 飽和非線性,為非線性系統(tǒng)性能分析的需要，引入負倒描述函數的概念及曲線的繪制！,理想繼電器的負倒描述函數曲線,Im,Re,E,0,死區(qū)繼電器的負倒描述函數曲線,Im,Re,E,拐點

5、參數：,滯環(huán)繼電器的負倒描述函數曲線,Im,飽和非線性的負倒描述函數曲線,第三節(jié) 用描述函數分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,一、描述函數法分析非線性系統(tǒng)的前提條件 1、模型的規(guī)范化已知線性部分和非線性部分模型 2、非線性環(huán)節(jié)具有奇對稱性（對稱原點） 3、線性部分具有良好的低通高濾特性（保證分析結果的精度） 二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據 1、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 1）系統(tǒng)穩(wěn)定：線性部分的Nyquist不包圍負倒描述函數曲線。 2）系統(tǒng)不穩(wěn)定：線性部分的Nyquist整個包圍負倒描述函數曲線。 3）系統(tǒng)出現(xiàn)自振蕩：兩條曲線相交。 自振蕩是系統(tǒng)自發(fā)產生的一種振蕩過程不同于線性系統(tǒng)的等幅振蕩 2、自振蕩的穩(wěn)定性分析及特性

6、參數計算 1） 穩(wěn)定自振蕩：幅值增加，負倒描述函數曲線由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域。A 2）不穩(wěn)定自振蕩：幅值增加，負倒描述函數曲線由穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域。B 3）穩(wěn)定的自振蕩參數的計算（交點參數）： （1）振蕩頻率：線性部分的Nyquist在交點處的頻率取值。 （2）振蕩幅值：非線性部分負倒描述函數曲線在交點處輸入信號幅值E的取值。 三、應用舉例 四、非線性系統(tǒng)的結構規(guī)化問題,應用舉例分析穩(wěn)定性及計算穩(wěn)定的自振蕩參數,-/M,非線性系統(tǒng)的結構規(guī)化問題,一、描述函數分析法是研究系統(tǒng)的本質結構是否可能產生自振蕩的問題，因此與輸入無關，所以在解題中設輸入信號為零。 二、線性部分應根據方框圖等效變換的

7、原則歸并。 三、多個非線性環(huán)節(jié)也應該根據各環(huán)節(jié)的特性及之間的連接形式、順序歸并成一個非線性環(huán)節(jié)。使整個非線性系統(tǒng)的結構歸化成標準結構形式。 線性部分的歸并舉例 非線性部分的歸并舉例,線性部分的歸并舉例,方法之一：方框圖等效變換 方法之二：基于特征方程歸并,非線性部分的歸并舉例,第四節(jié) 相平面圖,基本思想 相軌跡的特點 相軌跡的繪制方法 線性系統(tǒng)的相平面圖 非線性系統(tǒng)的相平面圖,基本思想,相平面分析法是分析非線性系統(tǒng)性能的一種圖示方法。而相軌跡和相平面圖的繪制為該分析方法的前提條件。 相平面定義：由兩個線性無關的狀態(tài)變量 作為坐標的平面稱為相平面。通常采用位移和位移的變化率作為狀態(tài)變量用于描述一

8、、二階系統(tǒng)的運動特性。 相軌跡方程的定義：描述一階或二階系統(tǒng)位移和位移變化率之間的數學表達式 。 相軌跡定義：在任意初始條件下，隨時間推移，狀態(tài)在相平面上開始轉移，而狀態(tài)隨時間轉移行走的軌跡稱為相軌跡。 相平面圖定義：不同初始條件相軌跡的集合，為全面反映系統(tǒng)運動特性的曲線族稱為相平面圖。,相軌跡的特點,1、相軌跡表明的是系統(tǒng)在某一初始條件下的運動規(guī)律和運動方向。 2、相平面圖是系統(tǒng)在不同初始條件下相軌跡的集合。 3、相平面上相軌跡的方向：上半平面增加；下半平面減小。 4、平衡點：相平面上兩條及以上相軌跡相交的交點稱之為系統(tǒng)的平衡點。 5、奇點：相平面上若有 的點，即斜率不確定的點稱為奇點。 1

9、）奇點也是平衡點。 2）奇點坐標的計算： ，則由 求出奇點坐標。 3）系統(tǒng)的相平面圖在奇點附近的分布是有規(guī)律的，當奇點的種類一旦確定，則奇點附近相平 面圖的形式就會隨之確定。 6、在相平面圖上的所有相軌跡與x軸垂直相交。 7、相軌跡的對稱性：某些系統(tǒng)相平面圖上的相軌跡對稱于橫軸、縱軸或坐標原點，按其對稱性可以簡化作圖，通常對稱性可以由相軌跡的斜率來導出。 1)對稱于橫軸（x軸）的條件： 2)對稱于縱軸（Y軸）的條件： 3)對稱于坐標原點的條件：,相軌跡的繪制方法,解析法 消除變量法 直接積分法 作圖法 等傾線法 圓弧近似法,初始條件為（1，0）的相軌跡,相平面圖不同初始條件時的相軌跡的集合,線

10、性系統(tǒng)的相平面圖,一階系統(tǒng)的相軌跡和相平面圖（均為一條直線） 一階齊次方程 一階非齊次方程 二階系統(tǒng)的相軌跡和相平面圖 二階齊次方程 二階非齊次方程,一階微分方程本身即是相軌跡方程,一階齊次方程的相平面圖,初始條件決定的只是相軌跡的起點,一階非齊次方程的相平面圖,二階齊次方程的相平面圖與特征根位置的對應關系,在虛軸上。臨界穩(wěn)定，等幅振蕩，奇點為中心點，相平面圖為奇點在原點的橢圓。 在左半平面的實軸上。穩(wěn)定，單調衰減，奇點為穩(wěn)定的節(jié)點。 在右半平面的實軸上。不穩(wěn)定，單調發(fā)散，奇點為不穩(wěn)定的節(jié)點。 在左半平面的復平面上。穩(wěn)定，振蕩衰減，奇點為穩(wěn)定的焦點。 在右半平面的復平面上。不穩(wěn)定，振蕩發(fā)散，奇

11、點為不穩(wěn)定的焦點。 左右實軸上各一個特征根。不穩(wěn)定，單調發(fā)散，起點為鞍點。 一個在原點，一個在左半平面。無奇點。 一個在原點，一個在右半平面。無奇點。 兩個都在原點。無奇點。,二階非齊次方程的相平面圖與特征根位置的對應關系,一般情形下的相平面圖特征僅是奇點位置移至（ ，0）處相同結構特性的相平面圖。 三種特例情形無對應規(guī)則： 一個在原點，一個在左半平面。無奇點。 一個在原點，一個在右半平面。無奇點。 兩個都在原點。無奇點。,非線性系統(tǒng)的相平面圖,一、繪圖思路 1、選擇研究控制系統(tǒng)性能的相平面輸出平面或誤差平面 2、在相平面上根據非線性元件的輸入輸出特性確定開關線 3、由系統(tǒng)結構確定各線性區(qū)域的

12、運動方程或相軌跡方程，并確定各區(qū)域的奇點坐標、奇點特性以及奇點附近相平面圖的形式 4、由運動方程結構確定開關線處相軌跡的連接方式 5、繪制非線性系統(tǒng)的相軌跡或相平面圖 二、應用舉例 三、非線性系統(tǒng)的結構特征 1、與線性系統(tǒng)相軌跡的共性各線性區(qū)域的相軌跡繪制規(guī)則 2、非線性系統(tǒng)可能形成極限環(huán)（相平面上孤立的封閉曲線） 1）穩(wěn)定的極限環(huán)；2）不穩(wěn)定的極限環(huán)；3）半穩(wěn)定的極限環(huán) 3、非線性系統(tǒng)奇點特性 1）奇點的非唯一性；2）實奇點和虛奇點。,確定開關線,開關線x=0,由運動方程結構確定開關線處相軌跡的連接方式,X增加（x導數大于0）時，輸出上跳 ； X減?。▁導數小于0）時，輸出下跳為 ；,例1：

13、繪制圖示非線性系統(tǒng)的相平面圖。 例2：繪制 所示非線性系統(tǒng)的相平面圖。 例3：圖示非線性系統(tǒng)，已知初始條件為零，r(t)=1.5 1(t),繪相軌跡。 例4：繪圖示非線性系統(tǒng)在兩個不同平面的相平面圖。,第五節(jié) 相平面分析法,一、穩(wěn)定性分析 1、系統(tǒng)大范圍穩(wěn)定所有初始條件引發(fā)的運動最終停止在平衡點。 2、系統(tǒng)局部穩(wěn)定穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)結構、初始條件和輸入信號； 3、相軌跡研究確定初始條件或輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)定性及運動規(guī)律； 4、相平面則研究的是整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性及運動規(guī)律； 5、非線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)分為：穩(wěn)定、不穩(wěn)定和極限環(huán)。 二、穩(wěn)態(tài)誤差分析 在誤差相平面上，穩(wěn)定系統(tǒng)平衡點到原點的距離為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤

14、差。若平衡點在原點則穩(wěn)態(tài)無差。 三、動態(tài)性能指標的計算 在相平面上由單位階躍擾動作用下的相軌跡，可以求得超調量。 四、根據相軌跡求運動時間解,應用舉例,根據相軌跡求運動時間解,1、由 求時間解 若已知相軌跡方程 若無法獲得相軌跡方程，則利用兩點坐標近似計算 對于標么化平面 2、用圓弧近似法求運動時間解 若相軌跡在標么化平面上是圓弧，則兩點間運動時間為： 若在一般相平面上是圓弧，則兩點間運動時間為：,應用舉例,已知非線性系統(tǒng)的數學模型為： 初始條件（6，0）。 定量繪制該非線性系統(tǒng)的相軌跡； 確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 若系統(tǒng)穩(wěn)定，求運動所需的時間。 解題過程： 開關線 區(qū)相平面圖為張口向左的拋物線族。

15、 區(qū)是奇點在原點的圓。由初始條件確定相軌跡。 無論初始條件如何，系統(tǒng)為衰減振蕩過程，平衡點在原點。 求每一段相軌跡的運動時間，求和得整個系統(tǒng)的運動時間。,單元總結,一、主要內容 1、描述函數分析法 1）使用的前提條件 2）曲線的繪制（線性部分的Nyquist曲線和非線性部分的負倒描述函數曲線） 3）分析內容 2、相平面分析法 1）使用的前提條件 2）曲線的繪制（相軌跡或相平面圖） 3）分析內容 3、兩種分析方法的融會貫通,二、習題類型 1、已知線性部分的傳遞函數和非線性部分的描述函數，分析非線性系統(tǒng)的運動特性若產生自振蕩求參數。 2、整合不規(guī)范非線性系統(tǒng)的結構圖。繪制線性部分的Nyquist曲

16、線和非線性部分的負倒描述函數曲線分析系統(tǒng)的運動特性。 3、已知非線性系統(tǒng)的結構圖。繪制相軌跡和相平面圖。分析系統(tǒng)性能。計算時域指標。,三、課堂練習1、2、3。,1、,非線性部分的描述函數 線性部分的傳遞函數 解題過程： 在同一平面繪制兩條曲線； 在X點產生穩(wěn)定的自振蕩； 計算自振蕩參數：,相位條件：,幅值條件：,單位負反饋系統(tǒng)，已知線性部分的傳遞函數和非線性部分的描述函數，分析系統(tǒng)性能。,2、,非線性特性,x,y,x,y,繪兩條曲線 產生穩(wěn)定的自振蕩 計算自振蕩參數,M=1,非線性系統(tǒng)結構如圖所示，分析系統(tǒng)性能。,3、,1）b=0,m,圖示非線性系統(tǒng)，當b=0,1,-1時，分別繪制初始條件為r(t)=-21（t）相軌跡，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。（死區(qū)