高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修

1、4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧（一）【例1】 對(duì)于nN,證明1.證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=右邊；設(shè)n=k時(shí)，有1;當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊1=右邊.所以對(duì)一切自然數(shù)n不等式均成立.溫馨提示解此題的關(guān)鍵是湊出歸納假設(shè)的形式，這里要把握不等式左邊式子的結(jié)構(gòu)特征，明確從n=k到n=k+1增減的項(xiàng).各個(gè)擊破類(lèi)題演練1對(duì)于nN，試比較2n與n2的大小.解析：先驗(yàn)算n=1時(shí)，2nn2，n=2和n=4時(shí)，2n=n2,n=3時(shí),2nn2,猜測(cè)對(duì)n5有2nn2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)n=5時(shí)，已證.（2）設(shè)當(dāng)n=k(k5)時(shí)，2kk2且k22k+1.當(dāng)n=

2、k+1時(shí)，2k+1=22k2k2k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1時(shí)成立.由（1）、（2），知猜測(cè)正確.變式提升1求證：1+.證明：用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，顯然不等式成立.根據(jù)歸納假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即1+.要證明n=k+1時(shí)，命題也成立，即1+.要用來(lái)證明,事實(shí)上，對(duì)不等式兩邊加上（）,就湊好了不等式的左邊.接下來(lái)，只需證.式左邊共有2k項(xiàng)，且最小，故,這就證明了式成立.綜上，知不等式成立.二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧（二）【例2】 已知n是大于1的自然數(shù)，求證：(1+)(1+)(1+)(1+).證明：假設(shè)n=k(k2)時(shí)，原不等式成立，即（1+）(1+)(1+)(1

3、+).則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（1+）（1+）（1+）（1+）() (1+)=().現(xiàn)在關(guān)鍵證(),直接證較繁,下面用分析法證之.欲證（）,即證,只需證2k+1+22k+3,即0.這顯然是成立的，故當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立.綜上，當(dāng)n為大于1的自然數(shù)時(shí)，原不等式成立.溫馨提示用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，從P(k)到P(k+1)的過(guò)渡往往用到不等式的傳遞性，即要證n=k+1時(shí)不等式成立不妨用A(k+1)B(k+1)表示，需n=k時(shí)，A（k）B(k)成立,然后有A（k+1）=A(k)+C(k)B(k)+C(k),類(lèi)題演練2在數(shù)列an中，|an|2,且an+1an-2an+1+2an(nN).證明

4、：|an|2,-2an0.由題設(shè)an+1(2-an)2an,則an+1.1當(dāng)n=1時(shí)，由|an|-2=成立.2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有ak成立.（下證ak+1成立）設(shè)f(x)=,易知f(x)在(-2,2)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又ak+1f(ak),由歸納假設(shè),可知ak,ak+1f(ak)f()=,即當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1成立.故對(duì)任意nN，an成立.變式提升2設(shè)a,bR*,nN*,求證：()n.證明：n=1時(shí)，左邊=右邊=,原不等式成立.設(shè)n=k時(shí),原不等式成立，即()k成立.a,bR+,成立.要證明n=k+1時(shí)原不等式成立，即證明k+1成立.只需證明:成立.只需證明:ak+1+bk+1abk+akb成

5、立.下面證明:ak+1+bk+1abk+akb成立.不妨設(shè)ab0,則ak+1+bk+1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)0.ak+1+bk+1abk+akb成立.故n=k+1時(shí)原不等式成立.由,可知對(duì)于任何nN*，原不等式成立.三、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的點(diǎn)問(wèn)題【例3】 證明n為一切自然數(shù)時(shí)，（1+2+n）（1+）n2.證明：先看下面的證明（1）n=1時(shí)，左邊=右邊=1,命題正確.（2）假設(shè)n=k(kN且k1)命題正確，即(1+2+k)(1+)k2，則n=k+1時(shí)，左邊=1+2+k+(k+1)1+=(1+2+k)(1+)+(k+1)（1+）+1k2+k+(k+1)(1+)+1，1+1+,

6、左邊k2+k+(k+1)(1+)+1=k2+2k+1+k2+2k+1=(k+1)2.n=k+1時(shí)命題正確.綜合（1）、（2）,知n為一切自然數(shù)時(shí)命題正確.初看“證明”天衣無(wú)縫，仔細(xì)推敲便會(huì)發(fā)現(xiàn)“證明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.歸納步的證明用了結(jié)論“1+1+”,此結(jié)論成立的前提條件是k2,即歸納步建立的自動(dòng)遞推機(jī)制只能在n2(nN)的范圍內(nèi)行使遞推職能，其得以起動(dòng)的初始條件是n=2時(shí)命題正確.因此數(shù)學(xué)歸納法的奠基應(yīng)是n=2時(shí)命題正確的驗(yàn)證，n=1時(shí)的驗(yàn)證只是對(duì)命題的補(bǔ)充證明，并非為奠基.該命題嚴(yán)格的證明過(guò)程應(yīng)該是：（1）n=1,2時(shí)命題正確，（2）n2時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)n=k(kN且

7、k2)時(shí)命題正確，證明n=k+1時(shí)命題也正確.綜合（1）、（2）,知n為一切自然數(shù)時(shí)命題正確.溫馨提示對(duì)于一個(gè)nn0(nN)的真命題，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步總是n=n0時(shí)命題正確的驗(yàn)證.這種想法是不對(duì)的，到底“奠基”步中從哪個(gè)數(shù)字開(kāi)始，要看問(wèn)題的條件.類(lèi)題演練3若ai0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1,求證：a12+a22+an2(nN且n2).證明：(1)n=2時(shí)，a1+a2=1,a12+a22=a12+(1-a1)2=2(a1-)2+.n=2時(shí)命題正確.（2）假設(shè)n=k(k2)時(shí)命題正確，即如果a1+a2+ak=1且ai0(i=1,2,k),那么a12+a22+ak2,則n

8、=k+1時(shí)，a1+a2+ak+ak+1=1,a1+a2+ak=1-ak+1.0ak+11,01-ak+10，x1,求證：（1+xn）(1+x)n2n+1xn(nN).證明：（1）n=1時(shí)，左邊=(1+x)2,右邊=4x,(1+x)2-4x=(1-x)20,(1+x)24x.n=1時(shí)命題正確.（2）假設(shè)n=k(kN且k1)時(shí)命題正確，即(1+xk)(1+x)k2k+1xk,則n=k+1時(shí)，（1+xk+1）(1+x)k+1-2k+2xk+1=(1+xk+1)(1+x)k+1-2x2k+1xk(1+xk+1)(1+x)k+1-2x(1+xk)(1+x)k=(1+x)k(1+x)(1+xk+1)-2x(1+xk)=(1+x)