高中數(shù)學(xué) 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修

1、3.1.2用二分法求方程的近似解（教學(xué)設(shè)計(jì)）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用過程與方法：能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備情感、態(tài)度、價(jià)值觀：體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn) 通過用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)難點(diǎn) 恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解一、復(fù)習(xí)回礎(chǔ)，新課引入：高次多項(xiàng)式方程公式解的探索史料由于實(shí)際問題的需要，我們經(jīng)常需

2、要尋求函數(shù)的零點(diǎn)（即的根），對(duì)于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法（二次時(shí)，稱為求根公式）在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，但對(duì)于高于4次的函數(shù)，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運(yùn)算及根號(hào)表示的一般的公式解同時(shí)，即使對(duì)于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜，一般來講并不適宜作具體計(jì)算因此對(duì)于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題二、師生互動(dòng)，新課講解：1、二分法：上節(jié)（P88例1）課我們

3、已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，問題是：如何找出這個(gè)零點(diǎn)呢？如果能夠把零點(diǎn)所在的區(qū)間范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值下面介紹一種求近似解的方法我們知道，函數(shù)的圖象與直角坐標(biāo)系中軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解，利用上節(jié)課學(xué)過的函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，我們用逐步逼近的方法，來求方程的近似解（1）在區(qū)間（2，3）內(nèi)，方程有解，取區(qū)間（2，3）中點(diǎn)2.5；（2）用計(jì)算器計(jì)算，因?yàn)?，所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；（3）再取區(qū)間中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器計(jì)算，因?yàn)?，所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)（4）重復(fù)上面的過程，在有限次重復(fù)相同步驟后，零點(diǎn)所在區(qū)間長度在一定精度控制范圍內(nèi)，零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都

4、可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值本例中，把取中點(diǎn)和判斷零點(diǎn)的過程，用表格列出（課本第89頁表3-2）當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于，所以，我們可將作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，也即方程根的近似值對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection）給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；2）求區(qū)間的中點(diǎn)；3）計(jì)算；4）判斷：（1）若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；（3）若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）5）判斷：區(qū)間長度是否達(dá)到精

5、確度？即若，則得到零點(diǎn)近似值；否則重復(fù)25說明：由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解由于都是重復(fù)性的工作，所以可以通過設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算例1（課本P90例2）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確到）小結(jié)：1） 結(jié)論：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個(gè)零點(diǎn)2） 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)3） 用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)二分法的條件表明用二分法求函數(shù)的近似

6、零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)變式訓(xùn)練1：求方程x22x1的一個(gè)近似解(精確度0.1)解設(shè)f(x)x22x1.f(2)10，在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程x22x10有一解，記為x0.取2與3的平均數(shù)2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2與2.5的平均數(shù)2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；再取2.25與2.5的平均數(shù)為2.375，f(2.375)0.109 40，2.375x00.|2.3752.437 5|0.062 50時(shí)，f(x)0，當(dāng)x0，f(x)|x|的函數(shù)值非負(fù)，即函數(shù)f(x)|x|有零點(diǎn)但零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn)2若函數(shù)yf(x)在R上遞增，則

7、函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(B)A至少有一個(gè) B至多有一個(gè) C有且只有一個(gè) D可能有無數(shù)個(gè)3(2011新課標(biāo)全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)ex4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.解析因?yàn)閒e43e20，fe43e10，所以f(x)ex4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.答案C4.若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：那么方程x3+x2-2x-2=0的一個(gè)近似根為 。（答案：1.437 5）5若函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01，則對(duì)區(qū)間(1,2)至少二等分()A5次 B6次 C7次 D8次解析：設(shè)對(duì)區(qū)間(1,2)至少二等分n次，此時(shí)區(qū)間長為1，第1次二等分后區(qū)間長為，第2次二等分后區(qū)間長為，第3次二等分后區(qū)間長為，第n次二等分后區(qū)間長為.依題意得log2100.由于6log21000，f(4)0.50，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理知選C.7方程在區(qū)間上的根必定屬于區(qū)間（ B ）ABCD8函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ C ）A（3，4） B（2，e） C（1，2） D（0，1）9已知函數(shù)f(x)x2xa在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析函數(shù)f(x)x2xa在(0,1)上遞增由已知條件f(0)f(1)0，即a(a2)0，