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文檔簡介
1、3.1.2用二分法求方程的近似解(教學(xué)設(shè)計(jì))教學(xué)目標(biāo):知識(shí)與技能:通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用過程與方法:能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解,并了解這一數(shù)學(xué)思想,為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備情感、態(tài)度、價(jià)值觀:體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程,感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一教學(xué)重點(diǎn):重點(diǎn) 通過用二分法求方程的近似解,體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系,初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)難點(diǎn) 恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具,利用二分法求給定精確度的方程的近似解一、復(fù)習(xí)回礎(chǔ),新課引入:高次多項(xiàng)式方程公式解的探索史料由于實(shí)際問題的需要,我們經(jīng)常需
2、要尋求函數(shù)的零點(diǎn)(即的根),對(duì)于為一次或二次函數(shù),我們有熟知的公式解法(二次時(shí),稱為求根公式)在十六世紀(jì),已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式,但對(duì)于高于4次的函數(shù),類似的努力卻一直沒有成功,到了十九世紀(jì),根據(jù)阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)的研究,人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式,亦即,不存在用四則運(yùn)算及根號(hào)表示的一般的公式解同時(shí),即使對(duì)于3次和4次的代數(shù)方程,其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜,一般來講并不適宜作具體計(jì)算因此對(duì)于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù),有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法,這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題二、師生互動(dòng),新課講解:1、二分法:上節(jié)(P88例1)課我們
3、已經(jīng)知道,函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),問題是:如何找出這個(gè)零點(diǎn)呢?如果能夠把零點(diǎn)所在的區(qū)間范圍盡量縮小,那么在一定精確度的要求下,我們可以得到零點(diǎn)的近似值下面介紹一種求近似解的方法我們知道,函數(shù)的圖象與直角坐標(biāo)系中軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解,利用上節(jié)課學(xué)過的函數(shù)零點(diǎn)存在的條件,我們用逐步逼近的方法,來求方程的近似解(1)在區(qū)間(2,3)內(nèi),方程有解,取區(qū)間(2,3)中點(diǎn)2.5;(2)用計(jì)算器計(jì)算,因?yàn)?,所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi);(3)再取區(qū)間中點(diǎn)2.75,用計(jì)算器計(jì)算,因?yàn)?,所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)(4)重復(fù)上面的過程,在有限次重復(fù)相同步驟后,零點(diǎn)所在區(qū)間長度在一定精度控制范圍內(nèi),零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都
4、可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值,特別地,可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值本例中,把取中點(diǎn)和判斷零點(diǎn)的過程,用表格列出(課本第89頁表3-2)當(dāng)精確度為0.01時(shí),由于,所以,我們可將作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值,也即方程根的近似值對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection)給定精確度,用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下:1)確定區(qū)間,驗(yàn)證,給定精確度;2)求區(qū)間的中點(diǎn);3)計(jì)算;4)判斷:(1)若,則就是函數(shù)的零點(diǎn);(2)若,則令(此時(shí)零點(diǎn));(3)若,則令(此時(shí)零點(diǎn))5)判斷:區(qū)間長度是否達(dá)到精
5、確度?即若,則得到零點(diǎn)近似值;否則重復(fù)25說明:由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系,我們可用二分法來求方程的近似解由于都是重復(fù)性的工作,所以可以通過設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序,借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算例1(課本P90例2)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確到)小結(jié):1) 結(jié)論:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調(diào)函數(shù),在,上至多有一個(gè)零點(diǎn)2) 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)從“數(shù)”的角度看:即是使的實(shí)數(shù);從“形”的角度看:即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);若函數(shù)的圖象在處與軸相切,則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn);若函數(shù)的圖象在處與軸相交,則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)3) 用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)二分法的條件表明用二分法求函數(shù)的近似
6、零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)變式訓(xùn)練1:求方程x22x1的一個(gè)近似解(精確度0.1)解設(shè)f(x)x22x1.f(2)10,在區(qū)間(2,3)內(nèi),方程x22x10有一解,記為x0.取2與3的平均數(shù)2.5,f(2.5)0.250,2x02.5;再取2與2.5的平均數(shù)2.25,f(2.25)0.437 50,2.25x02.5;再取2.25與2.5的平均數(shù)為2.375,f(2.375)0.109 40,2.375x00.|2.3752.437 5|0.062 50時(shí),f(x)0,當(dāng)x0,f(x)|x|的函數(shù)值非負(fù),即函數(shù)f(x)|x|有零點(diǎn)但零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào),不能用二分法求零點(diǎn)2若函數(shù)yf(x)在R上遞增,則
7、函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(B)A至少有一個(gè) B至多有一個(gè) C有且只有一個(gè) D可能有無數(shù)個(gè)3(2011新課標(biāo)全國)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)ex4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.解析因?yàn)閒e43e20,fe43e10,所以f(x)ex4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.答案C4.若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:那么方程x3+x2-2x-2=0的一個(gè)近似根為 。(答案:1.437 5)5若函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01,則對(duì)區(qū)間(1,2)至少二等分()A5次 B6次 C7次 D8次解析:設(shè)對(duì)區(qū)間(1,2)至少二等分n次,此時(shí)區(qū)間長為1,第1次二等分后區(qū)間長為,第2次二等分后區(qū)間長為,第3次二等分后區(qū)間長為,第n次二等分后區(qū)間長為.依題意得log2100.由于6log21000,f(4)0.50,根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理知選C.7方程在區(qū)間上的根必定屬于區(qū)間( B )ABCD8函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是( C )A(3,4) B(2,e) C(1,2) D(0,1)9已知函數(shù)f(x)x2xa在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析函數(shù)f(x)x2xa在(0,1)上遞增由已知條件f(0)f(1)0,即a(a2)0,
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