(華師版初中數(shù)學(xué)教案及隨堂練習(xí)全)第十七章 分式

1、第十七章 分式17.1 分式及其基本性質(zhì)一 知識(shí)點(diǎn)：1.分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母（未知數(shù)），B0)的式子，叫做分式(fraction).其中A叫做分式的分子(numerator),B叫做分式的分母（denominator）.整式和分式統(tǒng)稱有理式（rational expression）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，則分式?jīng)]有意義。（分式有意義的條件）2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.與分?jǐn)?shù)類似，根據(jù)分式的基本性，可以對(duì)分式進(jìn)行約分和通分.3.分式值為零的條件：分子等于零且分母不等于零。二學(xué)習(xí)過

2、程：1先由分?jǐn)?shù)，整數(shù)，有理數(shù)的概念引入分式，有理式。（單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。代數(shù)式中的一種有理式.不含除法運(yùn)算或分?jǐn)?shù),以及雖有除法運(yùn)算及分?jǐn)?shù),但除式或分母中不含變數(shù)者，則稱為整式）再按教材的思路講解，并歸納相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。2. 和學(xué)生一起完成課后習(xí)題。三例題及習(xí)題：教材中的題目。典型例題1.是一個(gè)分式么？答：是。雖然可以化成3m的整式形式，但在化簡的過程中正是運(yùn)用了分式的基本性質(zhì)化簡的，另外與3m中的字母的取值也不同習(xí)題一（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，下列分式有意義？(1);(2) （2）. 要使分式有意義，則.（ ）（A）x (B)x5 (C)x且x5 (D)x或x5（3）. 當(dāng)a為任意有理數(shù)時(shí)，

3、下列分式一定有意義的是.（ ）（A） （B） （C） （D）（4）. 當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)，分式的值是零？解：由分子x+2=0得x=-2而當(dāng)x=-2時(shí)，分母2x-50所以，當(dāng)x=-2時(shí)，分式的值是零習(xí)題二一、填空題1.約簡公式= .2.a取整數(shù) 時(shí)，分式(1-)的值為正整數(shù).3.如果x+=3，則的值為 .4.已知x=1+,y=1-.用x的代數(shù)式表示y，得y= ；用y的代數(shù)式表示x，得x= .5要使代數(shù)式的值為零，只須 .6.已知s=,用x、y、s表示q的式子是 .7.兩個(gè)容積相等的瓶子中裝滿了酒精和水的溶液，其中一個(gè)瓶子中酒精與水的容積之比是p1，另一個(gè)瓶子中是q1.若把這兩瓶溶液混合在一起，混合液

4、中酒精與水的容積之比為 .二、解答題8.化簡分式9.解關(guān)于x的方程，其中a+2b-3c0,a、b、c互不相等.10.已知ab=1，證明11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成后乙來完成，這樣完成工作所用時(shí)間比甲、乙兩人同時(shí)工作晚4天，甲、乙兩人單獨(dú)完成這項(xiàng)工作各需多少天？參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1. 2.-2或-4 3. 4. 3-2y 5.a=-3 6.q= 7. 二、8.當(dāng)m0時(shí)，且m1時(shí)，原式=1+m.當(dāng)m0時(shí)，且m-1時(shí)，原式=9.x= 10.提示：將第二個(gè)分式的分母中的1換為ab.11.甲單獨(dú)完成需6天，乙需12天.17.2 分式的運(yùn)算一 知識(shí)點(diǎn)：1.分式的乘除法：分式乘分式，用

5、分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.如果得到的不是最簡分式，應(yīng)該通過約分進(jìn)行化簡.分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式乘方的法則：分子的乘方作分子，分母的乘方作分母。2.分式的加減法：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.二學(xué)習(xí)過程：1按教材的思路講解，并歸納相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。2. 和學(xué)生一起完成課后習(xí)題。三例題及習(xí)題：教材中的題目。分式的運(yùn)算一、選擇題: 1.下列各式計(jì)算正確的是( )A.; B.C.; D.2.計(jì)算 的結(jié)果為( )A.1 B.x+1 C. D.3.下列分式中,最簡分式是( )A.

6、B. C. D.4.已知x為整數(shù),且分式的值為整數(shù),則x可取的值有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.化簡的結(jié)果是( )A.1 B. C. D.-16.當(dāng)x=時(shí),代數(shù)式 的值是( )A. B. C. D.二、填空題7.計(jì)算 的結(jié)果是_.8.計(jì)算a2bcd的結(jié)果是_.9.若代數(shù)式有意義,則x的取值范圍是_.10.化簡 的結(jié)果是_.11.若 ,則M=_.12.公路全長s千米,騎車t小時(shí)可到達(dá),要提前40分鐘到達(dá),每小時(shí)應(yīng)多走_(dá)千米.三、計(jì)算題13.; 14.四、解答題15.閱讀下列題目的計(jì)算過程: =x-3-2(x-1) =x-3-2x+2 =-x-1 (1)上述計(jì)算過程,從哪一步開始

7、出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫出該步的代號(hào):_. (2)錯(cuò)誤的原因是_. (3)本題目的正確結(jié)論是_.16.已知x為整數(shù),且為整數(shù),求所有符合條件的x值的和.答案一、1.D2.C 解:原式= =3.B 點(diǎn)撥:A的最簡結(jié)果是-1;C的最簡結(jié)果是x+2;D易被錯(cuò)選,因?yàn)閍2+a-2=(a+2)(a-1)易被忽視,故化簡結(jié)果應(yīng)為.4.D 解:先化簡分式 ,故當(dāng)x-1分別等于2,1,-1或-2,即x分別等于3,2,0或-1時(shí),分式的值為整數(shù). 點(diǎn)撥:解決此類問題,最關(guān)鍵的是先將分式化成最簡形式.5.B 解:原式=.6.B 解:原式= =. 把x=代入上式,得原式=.點(diǎn)撥:此題計(jì)算到這一步時(shí),并未結(jié)束,還應(yīng)進(jìn)一步進(jìn)行分

8、母有理化, 應(yīng)引起足夠的重視.二、7. 解:原式=.8. 解:原式=.點(diǎn)撥:先將除法統(tǒng)一成乘法后再運(yùn)算,即簡便又不易出錯(cuò),否則,很容易犯運(yùn)算順序的錯(cuò)誤.9.x-2,-3和-4 點(diǎn)撥:此題易忽略了“x-3”這個(gè)條件,(x+3)雖然是分式 的分子,但是 又是整個(gè)算式的除式部分,由于除數(shù)不能為零,所以x+30,即x-3.10.-2 解:原式=.11.x2 點(diǎn)撥:將等號(hào)右邊通分,得 ,比較等號(hào)左邊的分式 ,不難得出M=x2. 可以在等號(hào)兩邊都乘以(x2-y2)后,化簡右邊即可.12. 點(diǎn)撥:首先把“40分鐘”化為“ 小時(shí)”.易列出的非最簡形式,應(yīng)進(jìn)一步進(jìn)行化簡計(jì)算:上式=.三、13.解:原式=. 點(diǎn)撥

9、:計(jì)算該題易錯(cuò)將 看成最終結(jié)果.強(qiáng)調(diào):進(jìn)行分式的運(yùn)算, 要將結(jié)果化成最簡形式為止.14.解:原式= =.四、15.(1);(2)錯(cuò)用了同分母分式的加減法則. (3). 點(diǎn)撥:等學(xué)習(xí)了解分式方程之后,步的錯(cuò)更易發(fā)生,特別提醒讀者,進(jìn)行分式的運(yùn)算,每步都要嚴(yán)格遵守法則.16.解:原式= = = =. 顯然,當(dāng)x-3=2,1,-2或-1,即x=5,4,2或1時(shí),的值是整數(shù), 所以滿足條件的數(shù)只有5,4,2,1四個(gè),5+4+2+1=12. 點(diǎn)撥:顯然在原式形式下無法確定滿足條件的x的值, 需先經(jīng)過化簡計(jì)算才能使問題得到解決,這是解決分式問題常用的做法.17.3 可化為一元一次方程的分式方程一 知識(shí)點(diǎn)：

10、1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程.2. 解分式方程的過程，實(shí)質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個(gè)整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.在將分式方程變形為整式方程時(shí)，方程兩邊同乘以一個(gè)含未知數(shù)的整式，并約去了分母，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根），這種根通常稱為增根.因此，在解分式方程時(shí)必須進(jìn)行檢驗(yàn).二學(xué)習(xí)過程：1按教材的思路講解，并歸納相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。2. 和學(xué)生一起完成課后習(xí)題。三例題及習(xí)題：教材中的題目。例1解方程 解： （1）方程兩邊同乘(x-2)，去分母，得3x-5=2(x-2)-(x+1

11、)整理，得x=0檢驗(yàn)：當(dāng)x=0時(shí)，x-20x=0是原方程的根。 （2）去分母，兩邊都乘x(x-1),得6x-(8-2x)=0x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x(x-1)=0x=1是原方程增根，原方程無解。例2關(guān)于x的方程 有增根，則a的值為_。 解：去分母，得ax+1-x+1=0(a-1)x=-2a=-1 例3解方程 思路分析： 解這類問題應(yīng)將可分解因式的分母分解，便于找出最簡公分母，x2-2x=x(x-2),最簡公分母為x(x-2) 解：方程兩邊都乘以x(x-2)，約去分母，得4=2x-(x-2),解這個(gè)整式方程，得x=2.檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x(x-2)=2(2-2)=0所以2是增根，原方程無解。例

12、4解方程 思路分析： 若直接去分母，最簡公分母為(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)，運(yùn)算量大，分析各分母x+5、x+6、x+7、x+8，相鄰兩者間距為 1，可適當(dāng)分組，再通分求解。 解： 方程兩邊分別通分，得： (x+8)(x+7)=(x+6)(x+5)， 去括號(hào)，得x2+15x+56=x2+11x+30 4x=-26, 例5k為何值時(shí)，方程 會(huì)產(chǎn)生增根？ 思路分析： 此例類似解分式方程，但不同的是有待定系數(shù)k,k的取值決定著未知數(shù)x的值，故可用k的代數(shù)式表示x。結(jié)合增根產(chǎn)生是最簡公分母x-3=0時(shí)產(chǎn)生的，可建立新的方程求解。解：去分母，得 x-4(x-3)=k, 當(dāng)x-3=0即x=3時(shí)

13、，方程會(huì)產(chǎn)生增根。 k=3.例6一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí)，一天，小船早晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流到B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時(shí)后找到救生圈，問：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港要多少小時(shí)？（2）救生圈是何時(shí)掉入水中的？ 思路分析： 本題的關(guān)鍵是：（1）弄清順流速度、逆流速度與船在靜水中速度和水速的關(guān)系；（2）弄清問題中的過程和找出所包含 的相等關(guān)系。 解：（1）設(shè)小船由A港漂流到B港用x小時(shí)，則水速為 由靜水速度=順流速度-水速=逆流速度+水速。 解得：x=48（小時(shí)）。 經(jīng)檢驗(yàn)x=48是原方程的解。答：小船按水流速度由A港漂流到B

14、港要48小時(shí)。（2）設(shè)救生圈在y點(diǎn)鐘落入水，由問題（1）可知水流速度為每小時(shí) ，小船順流由A港到B港用6小時(shí)， 逆流走1小時(shí)，同時(shí)救生圈又順流向前漂了1小時(shí)，依題意有： 解得：y=11 答：救生圈在中午11點(diǎn)落水。三、檢測(cè)題A組1、方程 的解是x=_.2、當(dāng)x=_時(shí)，兩分式 的值相等。3、若方程 有增根,則增根是_4、若關(guān)于x 的方程 有增根是1，則 a=_.5、若方程 有增根，則增根是_.6、如果方程 有增根，則m=( ) A.0 B.1 C.2 D.37、 ，則x的值為A-1 B.2 C.-2 D.無解8、若分式 的值為0，則x為A.-3 B.2 C.-2 D2 9、如果關(guān)于x的方程 有增

15、根，則m的值等于A.-3 B.-2 C.-1 D.310、下列說法正確的是A、方程的解等于零就是增根B、使分子的值為零的解是增根C、使所有分母的值都為零的解是增根D、使最簡公分母的值為零的解是增根11、有純酒精800克，要配制濃度為64%的酒精溶液，問需要加多少克蒸餾水？A組答案1、x5的所有數(shù) 2、x=73、x=64、x=-15、x=26、C7、D8、C9、B10、Dx=450 經(jīng)檢驗(yàn)x=450是原方程的解 答：需要加水450克B組1、若關(guān)于x的方程 有增根，則增根是_.2、已知 ，且a,b,c是互不相等的常數(shù)，則x+y+z=_.3、某校有70%的學(xué)生住校，住校學(xué)生的40%和不住校學(xué)生的60

16、%是男生，求該校男生占學(xué)生總數(shù)的百分比是多少？4、一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三隊(duì)合做4天可以完成，甲隊(duì)單獨(dú)做15天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做12天可以完成，丙隊(duì)單獨(dú)做幾天可以完成？5、甲、乙兩人分別從相距36千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，甲從A地出發(fā)和行至1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)有物件遺忘在A地，便立即返回，取到物件后又立即從A地向B地行進(jìn)，這樣甲、乙兩人恰好在AB中點(diǎn)處相遇，又知甲比乙每小時(shí)多走0.5千米，求甲、乙兩人的速度？B組答案1、3或-3 2、0 3、簡解：設(shè)該校男生占學(xué)生總數(shù)的百分比是x: x=46% 經(jīng)檢驗(yàn)x=46% 是原方程的解。答：該校男生占學(xué)生總數(shù)的x=46%.評(píng)析：百分比問題設(shè)求知數(shù)時(shí)不要設(shè)x

17、%,要將百分?jǐn)?shù)設(shè)為x.4、簡解：設(shè)丙隊(duì)單獨(dú)做x天可以完成 所以x=10 經(jīng)檢驗(yàn)x=10是原方程的解 答：丙隊(duì)單獨(dú)做10天可以完成。5、簡解：設(shè)乙的速度是每小時(shí)x 千米，則甲的速度是每小時(shí)x+0.5千米 即 答：甲的速度是每小時(shí)5千米，乙的速度是每小時(shí)4.5千米17.4 零指數(shù)冪與負(fù)整指數(shù)冪一 知識(shí)點(diǎn)：1.零指數(shù)冪：任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1。2.負(fù)整指數(shù)冪：任何不等于零的數(shù)的n （n為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù).3. 科學(xué)記數(shù)法：可以利用10的負(fù)整數(shù)次冪，用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對(duì)值較小的數(shù)，即將它們表示成a10-n的形式，其中n是正整數(shù)，1a10.二學(xué)習(xí)過程：1按教材的思路講

18、解，并歸納相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。2. 和學(xué)生一起完成課后習(xí)題。三例題及習(xí)題：教材中的題目。分式單元測(cè)試題一、填空題（每小題2分，共20分）1、在有理式，中屬于分式的有 .2、分式的值為0，則x= .3、分式和它的倒數(shù)都有意義，則x的取值范圍是 .4、當(dāng)時(shí)，的值為負(fù)數(shù)；當(dāng)、滿足 時(shí)，的值為；5、若分式的值為4，則x,y都擴(kuò)大兩倍后，這個(gè)分式的值為 6、當(dāng)x= 時(shí)，分式與互為相反數(shù).7、若分式方程1-有增根，則m= .8、要使方程有正數(shù)解，則a的取值范圍是 9、+=_10、若=，則分式=_二、選擇題（每小題3分，共30分）11、已知m、n互為相反數(shù)，a、b互為倒數(shù),|x|=2,則的值為（ ） A、2 B、

19、3 C、4 D、512、曉曉根據(jù)下表，作了三個(gè)推測(cè)：x 1 lO 100 1000 10000 3- 3 2.1 2Ol 2.001 2.0001 3- (x0)的值隨著x的增大越來越??； 3- (x0)的值有可能等于2； 3- (xO)的值隨著x的增大越來越接近于2 則推測(cè)正確的有( ) A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)13. 下列分式方程有解的是（ ）A、= B、 C、 D、14. 下列式子:（1）；（2）；（3）；（4）中正確的是 （ ）A、1個(gè) B、2 個(gè) C、3 個(gè) D、4 個(gè)15. 若分式不論m取何實(shí)數(shù)總有意義，則m的取值范圍是（ ）A、m1 B、m1 C、m1 D、m1 1

20、6. 下列分式中是最簡單分式的是（ ）. A、 B、 C、 D、17.下列分式與相等的是（ ）A、 B、 C、（xy） D、18. 納米是一種長度單位，1納米109米，已知某種花粉的直徑為3 500納米，那么用科學(xué)記數(shù)法表示該種花粉的直徑為（ ） A、3.5104米 B、3.5105米 C、3.5109米 D、3.5106米19.張老師和李老師同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，步行15千米去縣城購買書籍，張老師比李老師每小時(shí)多走1千米，結(jié)果比李老師早到半小時(shí)，兩位老師每小時(shí)各走多少千米？若設(shè)李老師每小時(shí)走x千米，則由題意得到的方程是（ ）A、 B、 C、 D、20. 已知分式的值是a，如果用x、y的相反數(shù)代入這

21、個(gè)分式所得的值為b，則a、b關(guān)系（）A、相等B、互為相反數(shù)C、互為倒數(shù)D、乘積為1三、解答題（每題5分，共20分）21、化簡：+(+)2.22、當(dāng)時(shí)，求的值.23、請(qǐng)你先化簡：，再選取一個(gè)使原式有意義，而你又喜愛的數(shù)代入求值.24、A玉米試驗(yàn)田是邊長為a米的正方形減去一個(gè)邊長為1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米試驗(yàn)田是邊長為（a1）米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的玉米都收獲了500千克.（1）那種玉米的單位面積產(chǎn)量高？（2）高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？四、探索題（每題10分，共30分）25、觀察以下式子：， .請(qǐng)你猜想，將一個(gè)正分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的變化情況，并證

22、明你的結(jié)論.26、甲、乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料.兩次飼料的價(jià)格有變化，兩位采購員的購貨方式也不同，其中，甲每次購買1000千克，乙每次用去800元，而不管購買多少飼料.（1）甲、乙所購飼料的平均單價(jià)各是多少？（2）誰的購貨方式更合算？27、一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價(jià)付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價(jià)付款.小明來該店購買鉛筆，如果給八年級(jí)學(xué)生每人購買1枝，那么只能按零售價(jià)付款，需用120元，如果多購買60枝，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需要120元，這個(gè)八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？若按批發(fā)價(jià)購買6枝與按零售價(jià)購買5枝的款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人？參考答案一、1. ， 2. 3 3.x0 且x2 4.x1，x+y0 5. 4 6. 0 7. 1 8. a2 9.