《量子力學(xué)基礎(chǔ)》PPT課件.ppt

1、第六篇 量 子 物 理 (2),第26章 量子力學(xué)基礎(chǔ) （8課時(shí)）,第26章 量子力學(xué)基礎(chǔ),261 德布羅意物質(zhì)波假設(shè) 262 代維遜革末實(shí)驗(yàn) （電子衍射實(shí)驗(yàn)） 263 不確定關(guān)系 （測不準(zhǔn)關(guān)系） 264 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)意義 265 薛定諤方程 266 勢阱中的粒子 267 氫原子的量子力學(xué)處理 268 電子自旋 269 多電子原子中電子殼層結(jié)構(gòu),1924年德布羅意提出，實(shí)物粒子（電子、質(zhì)子、中子、分子、 介子、子彈等）也具有波粒二象性。,261 德布羅意物質(zhì)波假設(shè),1. 德布羅意假設(shè),（1）質(zhì)量為 m 速度為 v 的粒子，具有能量 E 動量 P。,（2）上述粒子具有波長 ，頻率 ,（3）它們

2、之間的關(guān)系是：,2. 德布羅意公式,靜止質(zhì)量為 m 0 的實(shí)物粒子，若以速度 v 運(yùn)動時(shí)，與 該粒子締合在一起的平面單色波的波長為 這種波稱為 “德布羅意波”或“物質(zhì)波” 。,例1. 電子由電場加速，加速電壓為V ， 求電子的德布羅意波長。,電子的德布羅意 波長很短,所以，電子的德布羅意波長為：,決定，即：,注意：若 v c 則,解：電子的速度由,262 代維遜革末實(shí)驗(yàn) （電子衍射實(shí)驗(yàn)）,回顧 X 射線的布喇格衍射,當(dāng) d , 一定時(shí),只有當(dāng) 滿足以上條件時(shí),才能得到 電流強(qiáng)度的極大值。 即：,才能得到 I 的極大值,對應(yīng)著一定的d , , k 取1,2時(shí),由上式計(jì)算出來的V值恰好與實(shí)驗(yàn)相符。

3、證實(shí)了實(shí)物粒子的波粒二象性。, 26 3 不確定關(guān)系 （測不準(zhǔn)關(guān)系）,研究宏觀質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和動量可以同時(shí)被測定。,1. 位置和動量的不確定關(guān)系式,粒子的坐標(biāo)和動量不可能同時(shí)具有確定值。例：,*沿 y 方向運(yùn)動的粒子穿過狹縫前 ，若粒子沒有波動性， 它穿過狹縫時(shí)，仍有 。只要盡可能地將 縮小，就可同時(shí)準(zhǔn)確地確定粒子在穿過狹縫時(shí)的坐標(biāo) 和動量 。,*事實(shí)上，粒子具有波動性，當(dāng)它穿過狹縫時(shí)，會發(fā)生衍射現(xiàn)象，粒子運(yùn)動的方向?qū)l(fā)生變化 Px 不可能總是零！,而微觀粒子的坐標(biāo)和動量不能同時(shí)被測定 。,*粒子的坐標(biāo)不確定范圍是,*動量在 ox 方向的分量,（單縫衍射一級極小的條件）,ox 軸上，動

4、量的不準(zhǔn)確量,*將德布羅意關(guān)系式 代入上式得：,*粒子的坐標(biāo) X ，動量Px 不可能同時(shí)有確定的值。,如果把次級極大包括在內(nèi)，則有,對三維運(yùn)動：,海森伯不確定關(guān)系 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,意義：在決定粒子坐標(biāo)越準(zhǔn)確的同時(shí)（即X 越小）決定 粒子在這坐標(biāo)方向上動量分量的準(zhǔn)確度就越差（ P x 越大），反之亦然。,例2. 對速度為 v=105 m.s-1 的 射線， 若測量速度的精確度為 0.1% 即,求：電子位置的不確定量,解：,例3. 用不確定關(guān)系討論原子中電子的速度,*原子的線度的數(shù)量級是 10-10 m ，原子中確定電子位置的不準(zhǔn)確量為 x 10-10 m ，,*原子中電子速度的不確定量按不確定關(guān)

5、系,*按經(jīng)典力學(xué)算氫原子的電子在軌道上速度的數(shù)量級為 10 6 m.s-1,不能用經(jīng)典理論計(jì)算原子核外電子的速度。,估算為：,結(jié)論：,動量的不準(zhǔn)確量為 P x h/ x .,例4. 試比較電子和質(zhì)量為10g 的子彈在確定它們位置時(shí) 的不確定量 x ，假定它們都在 x 方向以 200m.s-1 的速度運(yùn)動，速度的測量誤差在 0.01% 以內(nèi)。,解： 據(jù)不確定關(guān)系：,得,對電子,對子彈,結(jié)果分析.,關(guān)于h的幾句話：,非常小,令：h0,那么：在任何情況下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就將從自然界中消失！,讓h大一點(diǎn)：,子彈射出槍口的橫向速度：,波粒二象性就將統(tǒng)治到宏觀世界中！,不大不小

6、,正好！,10,2.能量和時(shí)間的不確定關(guān)系：,（1）若一體系處于某狀態(tài)的時(shí)間不確定量為t 那么，這個(gè)狀態(tài) 的能量也有不確定范圍E 。（可解釋光譜線寬度）,（2）原子在某激發(fā)狀態(tài)的時(shí)間越長， 該態(tài)的能級寬度就越小,（3）E小的能級比較穩(wěn)定， 基態(tài)最穩(wěn)定。 即：基態(tài)的能量 是可以準(zhǔn)確被測定的,愛因斯坦的時(shí)鐘匣子,26 4 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)意義,宏觀物體,運(yùn)動狀態(tài)的描述：,運(yùn)動規(guī)律的描述：,微觀物體,運(yùn)動狀態(tài)的描述：,運(yùn)動規(guī)律的描述：,1. 波函數(shù)的引入,由經(jīng)典物理知：頻率為 、波長為 、沿 X 方向傳播的平面余弦波可表示為:,機(jī)械波 電磁波,波函數(shù),薛定諤方程,上式可用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為：,但是，對于

7、與自由粒子對應(yīng)的平面波，還具有微粒性,將德布羅意關(guān)系式,得與自由實(shí)物粒子對應(yīng)的平面物質(zhì)波復(fù)數(shù) 表式：,這便是描述能量為 E 動量為 P 的自由粒子的德布羅意波,代入 ，,而 或 便稱為波函數(shù)它既不是 y( 位移)，又不是 E (電矢量)。 波函數(shù)是什么？,2. 波函數(shù)的物理意義： （統(tǒng)計(jì)解釋）,光波,波動：衍射圖樣最亮處，光振動的振幅最大，強(qiáng)度,微粒：衍射圖樣最亮處，射到此的光子數(shù)最多，,物質(zhì)波,波動：電子波的強(qiáng)度 （ 波函數(shù)模的平方）,微粒：,結(jié)論：某時(shí)刻在空間某地點(diǎn)，粒子出現(xiàn)的幾率正比于該時(shí)刻、該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方。,*波函數(shù)是什么呢？,與粒子（某時(shí)刻、在空間某處）出現(xiàn)的幾率成正比。,*物

8、質(zhì)波是什么呢？,不是機(jī)械波不是電磁波而是幾率波!,* 對微觀粒子，討論其運(yùn)動軌道及速度是沒有意義的, 波函數(shù)所反映的只是微觀粒子運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,宏觀物體：討論它的位置在哪里。,微觀粒子：研究它在那里出現(xiàn)的幾率有多大。,3. 波函數(shù)的歸一化條件,且粒子在某區(qū)域出現(xiàn)的幾率又正比于該區(qū)域的大小，,幾率密度,表示某時(shí)刻、在空間某地點(diǎn)附 近單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率.,必定,這就是波函數(shù)的歸一化條件,幾率密度：,所以某時(shí)刻、在（ x,y,z ）附近的體積元 dV 中，出現(xiàn)粒子的幾率為：,因 與粒子某時(shí)刻、在空間某處出現(xiàn)的幾率成正比,4. 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件,單值 : 一定時(shí)刻，在空間某點(diǎn)附近，

9、單位體積內(nèi)， 粒子出現(xiàn)的幾率應(yīng)有一定的量值.,連續(xù)、有限。 （保證其平方可積）,歸一化。, 265 薛定諤方程,1. 自由粒子 一維 定態(tài) 薛定諤方程,即：一維空間自由粒子的振幅方程。,自由粒子：沒有外場作用，具有能量 E（恒量）、動量 P（恒量）的自由運(yùn)動的粒 子， 粒子在某處出現(xiàn)的幾率不隨 時(shí)間 變化。,從物理、數(shù)學(xué)上看，歸納為：,一個(gè)沿 X 軸（一維）運(yùn)動的自由粒子，具有確定的,動量：,能量：,它的平面波函數(shù)是：,振幅函數(shù) 也稱波函數(shù),將 (x) 對x 取二階導(dǎo)數(shù)：,將 2mE 代入,這就是一維空間、自由粒子的振幅方程，因?yàn)?(x) 只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)，所以 (x)描述的是粒 子

10、在空間的一種穩(wěn)定（定態(tài)）的分布。,式稱為自由粒子一維、定態(tài)、薛定諤方程。,2. 粒子一維 定態(tài) 薛定諤方程,粒子在勢場中作一維運(yùn)動總能量,所以，,采用拉普拉斯算符,上式可表示為,2. 粒子一維 定態(tài) 薛定諤方程,回顧上次課：,1. 自由粒子 一維 定態(tài) 薛定諤方程,2. 粒子一維 定態(tài) 薛定諤方程,波 函 數(shù),一般定態(tài)薛定諤方程的意義:,*質(zhì)量為 m (不考慮相對論效應(yīng)),并在勢場中運(yùn)動的一 個(gè) 粒子,有一個(gè)波函數(shù)與它的運(yùn)動的穩(wěn)定狀態(tài)相聯(lián)系, 這個(gè) 波函數(shù)滿足薛定諤方程。,*這個(gè)方程的每一個(gè)解 (x,y,z) ,表示粒子運(yùn)動的某一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài).與這個(gè)解相應(yīng)的常數(shù)E (參數(shù)),就是粒子在這個(gè)穩(wěn)定狀

11、態(tài)的 能量。,*同時(shí)說明, 根據(jù)題設(shè)的 U , 還要算出 (x,y,z) 合理: 單值、連續(xù)、有限、歸一化。因此，,只有 E 為一些特定的值時(shí)，方程才有解，這些 E 值叫本征值，與這些 E 值對應(yīng)的波函數(shù) (x,y,z) 叫本征函數(shù)。,總之，解薛定諤方程，就是求出：,（1）波函數(shù) ,（2）與這些狀態(tài)對應(yīng)的能量 E ，從而動量 P 。,表示粒子所處的各個(gè)可能穩(wěn)定狀態(tài)。,266 勢阱中的粒子,1. 對一維 無限深 方勢阱 求解薛定諤方程,設(shè)質(zhì)量為 m 的粒子只能在 0xa 的區(qū)域 內(nèi)自由運(yùn)動,因此 ，在 x 0, x a 的區(qū)域中,定態(tài) 問題,在 0 x a 的區(qū)域中，粒子的定態(tài) 薛定諤方程為,求

12、解此薛定諤方程：（1）求 （x） , （2）求 E,（1）先求 E,薛定諤方程改寫為,(x)=0,其通解為：,式中 A、B、k 可用邊界條件、 歸一化條件確定。,邊界條件,由（1）可得：,k 只能取一系列不連續(xù)的值.,注意：n 0 。 若 n=0, k=0, (x) 0, k 是什么？,k對應(yīng)著能量！,k 取一系列不連續(xù)的值，就是 能量只能取一系列不連續(xù)的值。,由（2）可得：,這樣的波函數(shù)不滿足歸一化條件!,！,即, 粒子在無限深方勢阱中允許的狀態(tài)的能量值為:,結(jié)論： 10 能量是量子化的這是量子力學(xué)中解薛定諤方程得到的必然結(jié)果，不是（玻爾理論中的）人為的假設(shè)。,20 可看出粒子的零點(diǎn)能（即粒

13、子的最低能量狀態(tài)）。,（ 與 a 有關(guān)，居然與 v 無關(guān)?。?經(jīng)典理論中粒子的能量可以為零，量子理論認(rèn)為勢阱中的粒子能量不可能為零。,動能！ （ 因 U = 0 ）,30 相鄰兩能級的能量差：可以證明,當(dāng)勢阱的寬度 a 小到原子的尺度， E 很大，,當(dāng)勢阱的寬度 a 大到宏觀的尺度， E 很小，,可把能量看成連續(xù)，量子理論回到了經(jīng)典理論。,能量的量子化顯著。,能量量子化不顯著 。,40 對不同的 n , 得粒子的能級圖 ,（2）再求(x),薛定諤方程本征解,與一定的 En 對應(yīng)，得本征函數(shù)：,式中的 A 可由歸一化條件確定：,查表求得,薛定諤方程 的解：,說明：10 粒子被限制在勢阱中，它的狀

14、態(tài)稱為束縛態(tài)，描述這些狀態(tài)的波函數(shù)為實(shí)數(shù)，從物理意義上理解束縛定態(tài)方程 的解，是一些駐波。這些駐波圖形,形象地表示出處在某個(gè)能量狀態(tài)的粒 子在 0 x a 范圍內(nèi)哪些地方出現(xiàn)粒子的幾率最大、最小。,20 束縛定態(tài)能級的高低，由駐波的半波數(shù)來定，半波數(shù)越多，（駐波波長越短），對應(yīng)粒子的能級越高。,30 第 n 個(gè)能級,波函數(shù)在總區(qū)間內(nèi)有 n-1個(gè)節(jié)點(diǎn) ( 0 、a 除外）. 節(jié)點(diǎn)說明此處出現(xiàn)粒子的幾率為零.,例：n=8,例5. 在寬度為 a 的一維無限深方勢阱中運(yùn)動的電子,（4）n=1 及 n=2時(shí)，幾率密度最大的位置（5）處在基態(tài)的粒子 在 a/4 3a/4 范圍內(nèi)的幾率（6）波函數(shù)圖形,解（

15、1）,（2）,由邊界條件可求得,（4）幾率密度：,求（1）系數(shù)A（2）基態(tài)能量（3）基態(tài)德布羅意波長,已知：,（3）,電子的質(zhì)量,幾率密度最大的位置：,由倍角公式，上式為：,若 n=2 可求得,(6)波函數(shù)圖形:略,（5）處在基態(tài)的粒子在 a/4 到 3a/4 范圍內(nèi)的幾率,將 n=1 代入此式：,2. 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）,（1）梯形勢壘：,薛定諤方程：,O,I,II,其解為：,（EUU0,衰減解）,(EU0,振動解）,電子逸出金屬表面的模型,31,（2）隧道效應(yīng),（3）掃描隧道顯微鏡,圖象放大：108倍,分辨本領(lǐng)：10-10m,32,動畫,碘原子在鉑晶體上的吸附,硅表面的硅原子排列,砷化鉀

16、表面的砷原子排列,觀看原子,石墨晶體表面原子的STM照片,34,量 子 阱,48個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.,移動原子,267 氫原子的量子力學(xué)處理,1. 氫原子的薛定諤方程,設(shè) 則 處：,（ U 是 r 的函數(shù)，不隨時(shí)間變化，所以是定態(tài)問題。 不是一維）將一般的定態(tài)薛定諤方程改用球坐標(biāo)表示：,解之，得氫原子中電子的波函數(shù)及氫原子的一些量子化特征，介紹如下：,（1）能量量子化：,玻爾理論與量子力學(xué)一致 。 (但量子力學(xué)無軌道而言),氫原子核外電子在核電荷的勢場中運(yùn)動，,（2）角動量量子化：,微觀粒子有動量，此動量對坐標(biāo)原點(diǎn)（核）就有角動量.,玻爾理論中角動量量子化的表式：

17、 ,玻爾理論與量子理論在角動量問題上的異同：,相同之處：電子運(yùn)動的角動量是量子化的。 不同之處：,L= mvr 對應(yīng)著軌道,無軌道可言,L與 En 的取值都由主量子數(shù) n 決定,L的取值由角量子數(shù) l 決定， En 的取值主要由主量子數(shù) n 決定，與l 也有關(guān)。,玻爾理論,量子理論,n 取值不限,n一定時(shí)，,n 個(gè)值,（3）角動量的空間量子化（軌道平面取向的量子化）,玻爾和量子理論都認(rèn)為：氫原子中角動量L在空間的取向不是任意的，只能取一些特定的方向（空間量子化），,軌道磁量子數(shù)，決定 L z 的大小。,L,L,L,L,Lz,Lz,動畫,L,L,這個(gè)特征是以角動量在空間某一特定方向（例如 外磁場

18、 方向）Z 軸上的投影來表示的。,對確定的 , m 有 個(gè)值。,例6. 畫出 時(shí)電子軌道運(yùn)動空間量子化情形,注意：量子力學(xué)中雖沒有軌道的概念，但有電子的空間 幾率 分布的概念?？梢宰C明，玻爾理論中所謂 n=1時(shí) 所對應(yīng)的r1=0.53A0 ，在數(shù)值上等于量子理論中，氫原 子處于基態(tài) E1 時(shí)，核外電子出現(xiàn)幾率最大的位置。,則,解： n=4 , 可取 0,1,2,3 四個(gè)值，,依題意 = 2,2. 氫原子中電子的穩(wěn)定狀態(tài),（1）原子中電子的穩(wěn)定狀態(tài)用一組量子數(shù)來描述。,10 n主量子數(shù)：氫原子能量狀態(tài)主要取決于 n 。,30 m（軌道）磁量子數(shù)：決定角動量空間量子化,n個(gè)值,（2）無外場時(shí)，電子

19、的狀態(tài)用 n , l 表示。,n 個(gè)值,20 角量子數(shù)（副量子數(shù)）: 角動量的量子化由 決定,2 +1個(gè)值,稱為,電子,在無外場時(shí)，氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)有：,例7 . （2612）,證明：氫原子 2P 和 3d 態(tài)徑向幾率密度的最大值分別位于距核 4a 0 和 9a 0 處，2P 和 3d 態(tài)波函數(shù)徑向部分分別為,式中 a 0 為玻爾半徑,解：在半徑為 r 的單位球殼空間內(nèi) 2p 電子出現(xiàn)的幾率為,令,解出,故 r = 4a0 處為一幾率 密度 極大值。,同理可證 r = 9a0 處為另 一幾率密度極大值., 268 電子自旋,薛定諤方程解釋不了原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)問題。,1. 斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)：

20、,一條譜線分裂成兩條！,原子的磁矩,電流的磁矩,動畫,可以證明,動畫,被加熱的原子射線在沒有外場作用時(shí)，應(yīng)有：,分析：,在非均勻的外磁場中 若所有的原子軌道磁矩 都相同,若每個(gè)原子有大小 不同的軌道磁矩， 而此磁矩又不是空間量子化的,若磁矩是空間量子化的（角動量空間量子化）,最奇怪的是：處于 S 態(tài)的銀原子,而實(shí)際上卻是,這種磁矩顯然不是軌道磁矩，它是什么？,事實(shí)正是這樣！,說明原子具有磁矩！,應(yīng)有,原子本身沒有軌道磁矩,2. 電子自旋,1925年,烏倫貝克,高斯密特提出電子自旋的半經(jīng)典假設(shè):,（1）電子是帶電小球,除繞原子核旋轉(zhuǎn)有軌道角動量以外，還繞自身的軸旋轉(zhuǎn)有自旋角動量和自旋磁矩。,且自旋角動量的取值是量子化的,自旋量子數(shù),（3）自旋角動量取向量子化，用 在外磁場方向的投影 來表示,ms 共2S+1 個(gè)值，實(shí)際 2 個(gè)值,自旋磁量子數(shù),（2）,動