Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用.ppt

1、Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用,目標(biāo)要求,會給矩陣賦值 會進行矩陣的基本運算，包括：加、減、數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置，冪等運算 會用命令inv計算矩陣的逆 會用命令det計算行列式； 會用命令rank計算矩陣的秩； 會用命令rref把矩陣變?yōu)樾凶詈喰停?會用命令rref計算矩陣的逆 會用命令rref解方程組的解 會用命令rref找出向量組的最大無關(guān)組 會用命令null計算齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 會用左除運算計算非齊次方程組的特解 會用命令orth把向量組正交規(guī)范化 會用命令eig計算矩陣的特征值和特征向量 會用命令eig把二次型標(biāo)準(zhǔn)化 會用命令eig判斷二次型的正定性,1 矩陣賦值,賦值語句一般形式

2、 變量=表達式（或數(shù)） 如：輸入a=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 顯示a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 輸入x=-1.2 sqrt(3) (1+2+3)/5*4 顯示x=-1.2000 1.7321 4.8000 規(guī)則：矩陣元素放在方括號中，元素之間以空格或逗號分隔，不同行以分號分隔，語句結(jié)尾用回車或逗號將顯示結(jié)果,基本賦值矩陣 ones(m,n), zero(m,n), magic(n), eye(n), rand(m,n), round(A) 如：輸入 f1=ones(3, 2) 顯示 f1= 1 1 1 1 1 1 輸入 f2=zero(2, 3) 顯示 f2= 0

3、0 0 0 0 0,1 矩陣賦值,輸入 f3=magic(3) 顯示 f3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 輸入 f4=eye(2) 顯示 f4= 1 0 0 1,2 矩陣的基本運算,矩陣算術(shù)運算書寫格式與普通算術(shù)相同，包括加、減、乘、除。可用括號規(guī)定運算的優(yōu)先級。 Matlab將矩陣加、減、乘的程序編為內(nèi)部函數(shù)，只要用+,-*做運算符號就包含階數(shù)檢查和執(zhí)行運算的全過程 兩相加矩陣有一個是標(biāo)量時，Matlab承認算式有效，自動把標(biāo)量擴展為同階等元素矩陣 如：鍵入 X=-1 0 1; Y=X-1 得 Y= -2 -1 0 矩陣除法 矩陣求逆 inv(A)，如果det(A)等于或很接近零，M

4、atlab會提示出錯 “左除”與“右除”，左乘或右乘矩陣的逆，A或/A,2 矩陣的基本運算,冪運算 A*A*A=A5 轉(zhuǎn)置 理論學(xué)習(xí)中，A的轉(zhuǎn)置表示為AT，在Matlab中用“”表示,3 行列式與方程組求解,相關(guān)命令 U=rref(A), 對矩陣A進行初等行變換，矩陣U為A的最簡梯矩陣 det(A), 計算矩陣A的行列式 rank(A),計算矩陣A的秩 B(: , i)=b, 把向量b賦給矩陣B的第i行 A(i, j), 引用矩陣A中第i行j列的元素 A, eye(5), 創(chuàng)建510矩陣，前5列為A，后5列為單位矩陣 syms x, 定義x為符號變量,3 行列式與方程組求解,逆矩陣各種求法：

5、clear A=-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4; % 1.命令法： An1=inv(A) % 2.冪運算法： An2=A-1 % 3.右除法： An3=eye(5)/A % eye(5)為5階單位矩陣 % 4.左除法： An4=Aeye(5) % 5.初等行變換法： B=rref(A,eye(5); % 對矩陣A , I 進行初等行變換 % B為矩陣A的最簡行階梯矩陣 if(rank(B(:,1:5)=5) % 判斷最簡行階梯矩陣B的前5列是否為單位陣 An5=B(:,6:10) % 取出矩陣的后

6、5列，并顯示 else disp(A不可逆); end,思考：如何用求逆陣或初等變換法解方程組？,3 行列式與方程組求解,% 求解符號行列式方程 clear % 清除各種變量 syms x % 定義x為符號變量 A=3,2,1,1;3,2,2-x2,1;5,1,3,2;7-x2,1,3,2 D=det(A) % 計算含符號變量矩陣A的行列式D f=factor(D) % 對行列式D進行因式分解 % 從因式分解的結(jié)果，可以看出方程的解 X=solve(D) % 求方程“D0”的解,解方程：,4 向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解,相關(guān)命令 R, s=rref(A), 把矩陣A的最簡梯矩陣賦值給R；

7、s是一個行向量，它的元素由R的首非零元所在列號構(gòu)成 null(A, r), 齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系 x0=Ab, 非齊次線性方程組Ax=b的一個特解x0 length(s), 計算s向量的維數(shù) end, 矩陣的最大下標(biāo)，最后一行或最后一列 find(s), 向量s中非零元素的下標(biāo) sub(A, k, n), 將A中所有符號變量k用數(shù)值n代替,4 向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解,求非齊次線性方程組的通解,4 向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解,% 求齊次線性方程組的通解 clear A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;

8、 % 輸入系數(shù)矩陣A b=-2;7;-23;43; % 輸入常數(shù)列向量b R,s=rref(A,b); % 把增廣矩陣的最簡行階梯矩陣賦給R % 而R的所有基準(zhǔn)元素在矩陣中的列號構(gòu)成了行向量s m,n=size(A); % 矩陣A的行數(shù)、列數(shù)賦給了變量m、n x0=zeros(n,1); % 將特解x0初始化為N維零向量 r=length(s); % 矩陣A的秩賦給變量r x0(s,:)=R(1:r,end); % 將矩陣R的最后一列按基準(zhǔn)元素的位置給特解x0賦值 disp(非齊次線性方程組的特解為：) x0 % 顯示特解x0 disp(對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：) x=null(A,r

9、) % 得到齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系x,4 向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解,當(dāng)k取何值時方程組有非零解？在有非零解的情況下，求出其基礎(chǔ)解系,已知齊次線性方程組：,4 向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解,clear syms k % 定義符號變量k A=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k; % 給系數(shù)矩陣賦值 D=det(A); % 算出系數(shù)矩陣的行列式D kk=solve(D); % 解方程“D0”，得到解kk，即k值 for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i); % 分別把k值代入系數(shù)矩陣A中 fprintf(當(dāng)k=); d

10、isp(kk(i); % 顯示k的取值 fprintf(基礎(chǔ)解系為：n); disp(null(AA) % 計算齊次線性方程組“Ax=0”的基礎(chǔ)解系 end,平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算,整理為,化學(xué)方程的配平,確定x1,x2,x3,x4，使兩邊原子數(shù)相等稱為配平，方程為 寫成矩陣方程,電阻電路的計算,設(shè)定三個回路電流ia,ib,ic，回路壓降的方程為：,信號流圖模型,信號流圖是用來表示和分析復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)的信號變換關(guān)系的工具。右圖方程如下。 寫成矩陣方程 或x=QxPu 移項整理，可以得到求信號向量x的公式。,信號流圖的矩陣解法,( I Q ) x= Pu，x = inv( I Q )*Pu 定義系統(tǒng)的傳

11、遞函數(shù)W為輸出信號與輸入信號之比x/u，則W可按下式求得： W=x/u = inv( I Q )*P 因為 得到,復(fù)雜點的信號流圖,按右面的信號流圖，照上述方法列出它的方程如下： x1 = -G4x3 + u x2 = G1x1-G5x4 x3 = G2x2 x4 = G3x3,信號流圖的矩陣方程,列出的矩陣方程為： 矩陣中的參數(shù)是符號而不是數(shù)，MATLAB的許多函數(shù)(特別是求逆)都可以處理符號，帶來了極大的方便。只要在程序第一行注明哪些是符號變量： syms G1 G2 ,用符號運算工具箱求解,矩陣代數(shù)方法的最大好處是可用于任意高的階次的信號流圖，實現(xiàn)傳遞函數(shù)推導(dǎo)的自動化 如下題的MATLA

12、B程序ag863 syms G1 G2 G3 G4 G5 Q=0,0,G4,0;G1,0,0,G5;0,G2,0,0;0,0,G3,0, P=1;0;0;0 W=inv(eye(4)Q)*P pretty(W(4) 運行結(jié)果為,5 特征向量與二次型,orth(A), 求出矩陣A的列向量組構(gòu)成空間的一個正交規(guī)范基 P=poly(A), 計算A的特征多項式，P是行向量，元素為多項式系數(shù) roots(P), 求多項式P的零點 r=eig(A), r為列向量，元素為A的特征值 V, D=eig(A), 矩陣D為A的特征值所構(gòu)成的對角陣，V的列向量為A的特征向量，與D中特征值一一對應(yīng) V, D=schu

13、r(A), 矩陣D為對稱陣A的特征值所構(gòu)成的對角陣，V的列為A的單位特征向量，與D中特征值一一對應(yīng),5 特征向量與二次型,已知矩陣 求其特征值。 A=2,-2,-20,-19;-2,16,-9,11;-8,4,-6,1;0,-8,-4,-7; % 1.符號變量法 syms k % 定義符號變量k B=A-k*eye(length(A); % 構(gòu)造矩陣B=(A-kI） D=det(B); % 計算行列式：|A-kI| lamda1=solve(D) % 求|A-kI|=0的符號形式的解 % 2.特征多項式法 P=poly(A); % 計算矩陣A的特征多項式， 向量P的元素為該多項式的系數(shù) lam

14、da2=roots(P) % 求該多項式的零點，即特征值 % 3.命令法 lamda3=eig(A) % 直接求出矩陣A的特征值,5 特征向量與二次型,求矩陣的特征值和特征向量，判斷是否可對角化，如可以則找出可逆矩陣V，使V-1AV=D A=1,2,3;2,1,3;1,1,2; V,D=eig(A),5 特征向量與二次型,用正交變換法將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)型 clear A=1,0,0;0,2,2;0,2,2; % 輸入二次型的矩陣A V,D=eig(A); % 其中矩陣V即為所求正交矩陣 % 矩陣D為矩陣A的特征值構(gòu)成的對角陣 % 或：V,D=schur(A) % 結(jié)果和eig( ) 函數(shù)相同

15、disp(正交矩陣為：); V disp(對角矩陣為：); D disp(標(biāo)準(zhǔn)化的二次型為：); syms y1 y2 y3 f=y1,y2,y3*D*y1;y2;y3,平面上線性變換的幾何意義,例9.1 設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個單位方塊，其四個頂點的數(shù)據(jù)可寫成 把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果yi=Ai*x。用程序ag911進行變換計算，并畫出x及yi圖形： x0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r) A11,0;0,1, y1A1*x subplot(2,3,2), fill(y1(1,

16、:),0,y1(2,:),0,g) ,幾種變換的行列式與特征值,二維矩陣特征值的幾何意義,二維矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的放大量。例如矩陣A1在第一特征向 量 方向的特征值為，即橫軸 正方向的增益為1，其結(jié)果是把原圖中橫軸正方向的部分變換到新圖的負方向去了； A1在第二特 征向量 的方向的特征值為1(2)=1， 即縱軸正方向的增益為1，因而保持了新圖和原圖在縱軸方向尺度不變。,用eigshow函數(shù)看特征值,對于比較復(fù)雜的情況，完全憑簡單的幾何關(guān)系去想像是困難的，應(yīng)當(dāng)用eigshow函數(shù)，聯(lián)系x和Ax的向量圖來思考。 鍵入eigshow(A4) 。綠色的x表示原坐標(biāo)系中的單

17、位向量，可以用鼠標(biāo)左鍵點住x并拖動它圍繞原點轉(zhuǎn)動。圖中同時出現(xiàn)以藍色表示的Ax向量，它表示變換后的新向量。當(dāng)兩個向量處在同一條直線上時（包括同向和反向），表示兩者相位相同，只存在一個（可正可負的）實數(shù)乘子， Axx,Eigshow(A4)產(chǎn)生的圖形,eigshow(1,2; 2,2)的圖形,將eigshow(1,2; 2,2)粘貼到命令窗,A是對稱實矩陣的情況,特別要注意A是對稱實矩陣的情況，所謂對稱矩陣是滿足ATA的矩陣。，對22矩陣，只要求A(1,2) A(2,1)。例如令A(yù) =1,2;2,2 再鍵入eigshow(A)，這時的特點是：Axx出現(xiàn)在Ax橢圓軌跡的主軸上，所以兩個特征值分別對

18、應(yīng)于單位圓映射的橢圓軌跡的長軸和短軸。此時A的特征值為 -0.5616和 3.5616，可以和圖形對照起來看。,人口遷徙模型,設(shè)在一個大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個分量表示，一年以后，市區(qū)人口為xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊區(qū)人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0，,問題的矩陣描述,用矩

19、陣乘法來描述，可寫成： 從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式可擴展為， 故可用程序ag981n進行計算： A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 得到：,本題特征值和特征向量的意義,無限增加時間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么這個過程趨向于一個穩(wěn)態(tài)值，我們改變一下坐標(biāo)系統(tǒng)。在這個坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果，先求A的特征值和特征向量，得到 令它是特征向量的整數(shù)化，得到,6 直線和平面的快速繪制程序,平面曲線的快速繪制程序 ezplot( ,a,b) 引號中函數(shù)可以只有一個自變量，代表顯函數(shù) ezplot(f(x), a,b) 系統(tǒng)將在 a x b的范圍內(nèi)畫出 f = f(x) 引號中的函數(shù)若有兩個自變量，那就代表隱函數(shù)，其典型格式為 ezplot(f(x,y), a,b) 系統(tǒng)將在 a x