應用多元統(tǒng)計分析課后習題答案詳解北大高惠璇(第三章部分習題解答)

1、應用多元統(tǒng)計分析,第三章習題解答,.,2,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗,3-1 設XNn(,2In), A為對稱冪等陣,且rk(A)=r(rn),證明,證明 因A為對稱冪等陣，而對稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個非0特征值，即存在正交陣(其列向量ri為相應特征向量)，使,.,3,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,4,其中非中心參數(shù)為,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,5,3-2 設XNn(,2In), A，B為n階對稱陣.若AB 0 ,證明XAX與XBX相互獨立. ,證明的思路：記rk(A)=r. 因A為n階對稱陣,存在正交陣,使得 A=diag(1,r 0,.,0) 令YX，則

2、YNn(,2In),第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,且,.,6,又因為 XBX=YB Y= YHY 其中H=B 。如果能夠證明XBX 可表示為Yr+1，,Yn的函數(shù)，即H只是右下子塊為非0的矩陣。 則XAX 與XBX相互獨立。,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,7,證明 記rk(A)=r. 若r=n,由ABO,知B Onn,于是XAX與XBX獨立； 若r=0時,則A0,則兩個二次型也是獨立的. 以下設0rn.因A為n階對稱陣,存在正交陣,使得,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,8,其中i0為A的特征值(i=1,r).于是,令,r,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,由ABO可得DrH11O ，

3、 DrH12O . 因Dr為滿秩陣,故有H11Orr，H12Or(n-r) . 由于H為對稱陣，所以H21O(n-r)r .于是,.,9,由于Y1，,Yr ,Yr+1 ,Yn相互獨立，故XAX與XBX相互獨立.,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,令YX，則Y Nn(,2In), 且,.,10,設XNp(,),0,A和B為p階對稱陣,試證明 (X-)A(X-)與(X-)B(X-)相互獨立 AB0pp.,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-3,.,11,由“1.結論6”知與相互獨立 ,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,12,性質4 分塊Wishart矩陣的分布:設X() Np(0,) (1,n)相

4、互獨立，其中,又已知隨機矩陣,則,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,試證明Wishart分布的性質(4)和T2分布的性質(5).,3-4,.,13,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,證明: 設,記, 則,即,.,14,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,當12 =O 時,對1,2,n, 相互 獨立.故有W11與W22相互獨立.,由定義3.1.4可知,.,15,性質5 在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)計量保持不變. 證明:設X() (1,n) 是來自p元總體Np(,)的隨機樣本, X和Ax分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和離差陣,則由性質1有,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,令,其中C是pp非退化常數(shù)矩陣，

5、d是p1常向量。則,.,16,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,所以,.,17,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-5,對單個p維正態(tài)總體Np(,)均值向量的檢驗問題，試用似然比原理導出檢驗H0:=0(=0已知)的似然比統(tǒng)計量及分布.,解:總體XNp(,0)(00),設X()(=1,n) (np)為來自p維正態(tài)總體X的樣本.似然比統(tǒng)計量為,P66當=0已知的檢驗,.,18,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,19,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,20,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,因,所以由3“一2.的結論1”可知,.,21,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-6 (均值向量各分量間結構關

6、系的檢驗) 設總體XNp(,)(0),X()(1,n)(np)為來自p維正態(tài)總體X的樣本，記(1,p).C為kp常數(shù)(kp),rank(C)=k,r為已知k維向量.試給出檢驗H0:Cr的檢驗統(tǒng)計量及分布.,解：令,則Y()(1,n) 為來自k維正態(tài)總體Y的樣本，且,.,22,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,檢驗,這是單個k維正態(tài)總體均值向量的檢驗問題.利用3.2當y = CC未知時均值向量的檢驗給出的結論,取檢驗統(tǒng)計量:,.,23,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-7 設總體XNp(，) (0), X() (1,n)(np)為來自p維正態(tài)總體X的樣本，樣本均值為X，樣本離差陣為A.記(1,p

7、).為檢驗H0:1=2=p ,H1:1,2,p至少有一對不相等.令 ,則上面的假設等價于H0：C=0p-1,H1：C 0p-1 試求檢驗H0 的似然比統(tǒng)計量和分布.,解：,至少有一對不相等.,.,24,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,利用3-6的結果知，檢驗H0的似然比統(tǒng)計量及分布為：,其中,(注意:3-6中的k在這里為p-1),.,25,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-8 假定人體尺寸有這樣的一般規(guī)律:身高(X1),胸圍(X2)和上半臂圍(X3)的平均尺寸比例是641.假設 X ()(1,n)為來自總體X=(X1,X2,X3)的隨機樣本.并設XN3(,)，試利用表3.5中男嬰這一組數(shù)據(jù)檢

8、驗三個尺寸(變量)是否符合這一規(guī)律(寫出假設H0,并導出檢驗統(tǒng)計量).,解：檢驗三個尺寸(變量)是否符合這一規(guī)律的問題可提成假設檢驗問題.因為,其中,注意:,.,26,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,檢驗的假設H0為,利用3-6的結論，取檢驗統(tǒng)計量為：,由男嬰測量數(shù)據(jù)(p=3,n=6)計算可得 T2=47.1434, F=18.8574, p值=0.009195=0.05, 故否定H0,即認為這組數(shù)據(jù)與人類的一般規(guī)律不一致.,.,27,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-9,對單個p維正態(tài)總體Np(,)協(xié)差陣的檢驗問題，試用似然比原理導出檢驗H0:=0的似然比統(tǒng)計量及分布.,解:總體XNp(,

9、),設X()(=1,n)為來自p維正態(tài)總體X的樣本.似然比統(tǒng)計量為,.,28,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,29,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,由定理3.2.1,當n充分大時,有,.,30,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-10,對兩個p維正態(tài)總體Np(1),)和Np (2),)均值向量的檢驗問題，試用似然比原理導出檢驗H0：(1)=(2)的似然比統(tǒng)計量及分布.,解:設 (1,ni)為來自總體XNp(i),)的隨機樣本(i=1,2),且相互獨立,0未知.檢驗H0似然比統(tǒng)計量為,記,其中,.,31,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,其中 A=A1+A2稱為組內離差陣.B稱為組間離差陣.,

10、.,32,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,因為,似然比統(tǒng)計量,.,33,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,所以,.,34,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,由定義3.1.5可知,由,或,由于,.,35,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,可取檢驗統(tǒng)計量為,檢驗假設H0的否定域為,.,36,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-11,表3.5給出15名2周歲嬰兒的身高(X1)，胸圍(X2)和上半臂圍(X3)的測量數(shù)據(jù).假設男嬰的測量數(shù)據(jù)X()(1,6)為來自總體N3( (1)，)的隨機樣本.女嬰的測量數(shù)據(jù)Y() (1,9)為來自總體N3 (2)，)的隨機樣本.試利用表3.5中的數(shù)據(jù)檢驗H0:(1) =(2

11、) (=0.05).,解:這是兩總體均值向量的檢驗問題. 檢驗統(tǒng)計量取為(p=3,n=6,m=9):,.,37,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,其中,故檢驗統(tǒng)計量為,用觀測數(shù)據(jù)代入計算可得:,故H0相容.,顯著性概率值,.,38,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,3-12 在地質勘探中，在A、B、C三個地區(qū)采集了一些巖石，測其部分化學成分見表3.6.假定這三個地區(qū)巖石的成分遵從N3(i)，i)(i1，2，3)(=0.05). (1) 檢驗H0：123；H1：1,2,3不全等; (2) 檢驗H0：(1)(2),H1：(1)(2); (3) 檢驗H0:(1) (2)(3),H1:存在ij,使(i)(

12、j); (4) 檢驗三種化學成分相互獨立.,解:(4)設來自三個總體的樣本為(p=3,k=3),檢驗H0的似然比統(tǒng)計量為,.,39,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,似然比統(tǒng)計量的分子為,.,40,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,稱為合并組內離差陣.,.,41,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,.,42,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,似然比統(tǒng)計量的分母為,.,43,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,檢驗H0的似然比統(tǒng)計量可化為:,.,44,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,Box證明了，在H0成立下當n時， =-blnV2(f)， 其中,V=0.7253, =-blnV=3.2650, 因 p=0.35250.05. 故H0相容，即隨機向量的三個分量(三種化學成分)相互獨立.,.,45,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,或者利用定理3.2.1,當n充分大時， =-2ln2(f)， 其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V