選修4-4曲線的參數(shù)方程.ppt

1、曲線的參數(shù)方程,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處100m/s的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？,即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開始投放物資？,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系。,因此,不易直接建立x,y所滿足的關(guān)系式。,x表示物資的水平位移量，y表示物資距地面的高度，,由于水平方向與豎直方向上是兩種不同的運(yùn)動(dòng)，,物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：,（1）沿ox作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；,（2）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。,在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中涉及到哪幾個(gè)變量？這些變量之間有什么關(guān)系？,t時(shí)刻，水平位移為x=

2、100t，離地面高度y，即：,y=500-gt2/2，,物資落地時(shí)，應(yīng)有y=0，,得x10.10m；,即500-gt2/2=0，解得，t10.10s，,因此飛行員在距離救援點(diǎn)水平距離約為1010米時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定位置。,參數(shù)方程的概念：,一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x，y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù),那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。,并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M(x, y) 都在這條曲線上，,參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x, y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明

3、顯實(shí)際意義的變數(shù)。,相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。,例1: 已知曲線C的參數(shù)方程是 （為參數(shù)） (1)判斷點(diǎn)M1(0，1)，M2(5，4)與曲線C的位置關(guān)系； (2)已知點(diǎn)M3（6，a）在曲線C上，求a的值。,解：(1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，解得t=0，所以M1在曲線上,把點(diǎn)M2的坐標(biāo)(5,4)代入方程組，得到,這個(gè)方程無解，所以點(diǎn)M2不在曲線C上,(2)因?yàn)辄c(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，所以,解得t=2, a=9 所以，a=9.,B,A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0),D,A(2，7)； B(1/3,

4、 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0),(1)由題意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；,代入第二個(gè)方程得: y=(x-1)2/4,（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.,參數(shù)方程求法:,（1）建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為;,（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù);,（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì), 物理意義, 建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式;,圓的參數(shù)方程,復(fù)習(xí)：,1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？它表示怎樣的圓？,(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圓心坐標(biāo)為 (a,b),半徑為r的圓。,2.三角函數(shù)的定義？,3.參數(shù)方程的定義？,一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意

5、一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即,探求：圓的參數(shù)方程,點(diǎn)P在P0OP的終邊上,如圖,設(shè)O的圓心在原點(diǎn),半徑是r.與x 軸正半軸的交點(diǎn)為P0 ,圓上任取一點(diǎn)P,若OP0 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OP位置所形成的角P0 OP =,求P點(diǎn)的坐標(biāo)。,根據(jù)三角函數(shù)的定義得,解:,設(shè)P（x,y）,(1),我們把方程組(1)叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程。 其中參數(shù)表示OP0到OP所成旋轉(zhuǎn)角， 。,M(x, y),圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，,怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？,那么=t. 設(shè)|OM|=r，那么由三角函數(shù)定義，有,如果在時(shí)刻t，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是，坐

6、標(biāo)是M(x, y)，,即,這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r 的圓的參數(shù)方程,參數(shù) t 有物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻),考慮到=t，也可以取為參數(shù)，于是有,圓心為原點(diǎn)半徑為r 的圓的參數(shù)方程.,其中參數(shù)的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過的角度,一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，,另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。,(2)圓心為(-2,-3),半徑為1: _.,(x-1)2+(y+1)2=25,3.已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,則它的 參數(shù)方程為_.,練習(xí),解： x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程, (x+1)2+(y-3)2=1,

7、參數(shù)方程為,(為參數(shù)),例1 已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。,練習(xí)：,例2 如圖,圓O的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cos,2sin).,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是,解：由已知圓的參數(shù)方程為,練習(xí),A,A36 B6 C26 D25,D,A,.,5 已知點(diǎn)P是圓 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(12, 0)， 點(diǎn)M在線段PA上，且2|PM|=|MA|，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng) 時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,

8、y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4cos,4sin).,2|PM|=|MA|, 由題設(shè),(x-12, y)=,因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是,例4 (1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)Q(m+n, 2mn)的軌跡方程;,(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方程表示一個(gè)圓, 求m的取值范圍和圓心的軌跡方程.,已知P(x, y)圓C：x2+y26x4y+12=0上的點(diǎn)。,(1)求 的最小值與最大值,(2)求xy的最大值與最小值,例5 最值問題,例6 參數(shù)法求軌跡,已知點(diǎn)A(2, 0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn), 的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡.,

9、AQ:QP=2:1,參數(shù)方程和普通方程的互化,把它化為我們熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; 于是(x-3)2+y2=1， 軌跡是什么就很清楚了,在例1中，由參數(shù)方程,直接判斷點(diǎn)M的軌跡是什么并不方便，,一般地, 可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；,曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.,在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.,把參數(shù)方程化為普通方程：,（1）參數(shù)方程通過消元（代入消元、加減消元、利用三角恒等式消元等）消去參數(shù)化為普通方程。,如：參數(shù)方程,消去參數(shù),可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

10、,可得普通方程y=2x-4,通過代入消元法消去參數(shù)t ,（x0）。,注意： 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價(jià)的.,例1、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？,解: (1)由,得,代入,得到,這是以（1，1）為端點(diǎn)的一條射線；,所以,把,得到,(1),(2),(1) (x-2)2+y2=9,(2) y=1- 2x2（- 1x1）,(3) x2- y=2（x2或x- 2）,練習(xí)、將下列參數(shù)方程化為普通方程：,步驟：（1）消參； （2）求定義域。,練習(xí) 將下列參數(shù)方程化為普通方程,B,例2 求參數(shù)方程,表示（ ）,（A）雙曲線的一支

11、, 這支過點(diǎn)（1, 1/2）;,（B）拋物線的一部分, 這部分過（1, 1/2）;,（C）雙曲線的一支, 這支過點(diǎn)（1, 1/2);,（D）拋物線的一部分, 這部分過（1, 1/2).,例3、把下列參數(shù)方程化為普通方程， 并說明它們各表示什么曲線？,例、將下列參數(shù)方程化為普通方程：,(1),(2),（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1- 2x2（- 1x1）,（3）x2- y=2（X2或x- 2）,步驟：（1）消參； （2）注意取值范圍。,參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：,1.代入法：,利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù),2.三角法：,利用三角恒等式消去參

12、數(shù),3.整體消元法：,根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征, 整體上消去,化參數(shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。,小 結(jié),普通方程化為參數(shù)方程：,普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)：,如：直線 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程:,一般地, 如果知道變量x, y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變量與參數(shù)t的關(guān)系y=g(t)，那么:,就是曲線的參數(shù)方程。,在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x, y的取值范圍保持一致,為什么兩個(gè)參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？,在y=x2中，xR, y0，,因而與 y=x2不等價(jià)；,練習(xí):,曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（ ）.,在A、B、C中，x, y的范圍都發(fā)生了變化，,而在D中， x, y范