高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 第1課時(shí) 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程學(xué)案 新人教A版選修

1、1.5 第一課時(shí) 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程一、課前準(zhǔn)備1.課時(shí)目標(biāo)1.會求曲邊梯形的面積、變速運(yùn)動(dòng)的汽車行駛的路程等;2.從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景及意義.2.基礎(chǔ)預(yù)探1.如果函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間I上的圖象是一條_的曲線，那么就把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)2.由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為_，如圖3.把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些_.對每個(gè)_“以直代曲”，即用_的面積近似代替_的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的_，對這些近似值_，就得到曲邊梯形面積的_如圖4.如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)vv(t)，那么也可以采用_，_， _

2、，_的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1. “以直代曲”的思想求曲邊梯形的面積由于沒有曲邊梯形的面積公式，為計(jì)算曲邊梯形的面積，可以將它分割成許多個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形用相應(yīng)的小矩形近似代替，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積 “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲邊梯形”，隨著分割的等份數(shù)增多，這種“代替”就越精確當(dāng)n越大，所有小矩形的面積和就越趨近于曲邊梯形的面積2.用定積分的定義求定積分的技巧(1)熟記解題的四個(gè)步驟：分割、近似代替、求和、取極限；(2) 在“近似代替”中，每個(gè)小區(qū)間

3、上函數(shù)f(x)的值一般都取左端點(diǎn)的函數(shù)值代替或都取右端點(diǎn)的函數(shù)值代替。事實(shí)上，也可以取區(qū)間上的任意點(diǎn)代替，沒有統(tǒng)一的要求為了運(yùn)算方便，通常取一些特殊點(diǎn) (3)熟記以下結(jié)論：123n，122232n2，132333n3n2(n1)2.三、典例導(dǎo)析題型一 曲邊梯形的面積例1求由直線x1，x2和y0及曲線yx3所圍成的曲邊梯形的面積思路導(dǎo)析：將曲邊梯形分割成許多個(gè)小曲邊梯形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，求它們的和，得到曲邊梯形的面積的近似值，當(dāng)n趨向于，即x趨向于0時(shí)，這個(gè)近似值就無限趨近于所求的曲邊梯形的面積解析：(1)把曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，

4、用分點(diǎn)，把區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間1，2。每個(gè)小區(qū)間的長度為x.過各點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作：S1，S2，Sn.(2)取各小區(qū)間的左端點(diǎn)i，以點(diǎn)i的縱坐標(biāo)為一邊，以小區(qū)間的長度x為其鄰邊的小矩形面積，近似代替小曲邊梯形的面積第i個(gè)小曲邊梯形面積可以近似地表示為Six()3(i1,2，n)(3)因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都是可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形的面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即S()3。(4)當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目越多，即x越小時(shí)，和式的值就越接近曲邊梯形的面積S，因此n，即x0時(shí)，和式的極限就是所求的曲邊梯形的面積因?yàn)?)3(n

5、i1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3n(n1)33(n1)23(n1)n2(n1)2，所以S=歸納總結(jié)：本題在求和時(shí)，可先提取公因式，再將和式進(jìn)行化簡會更簡潔，然后再求極限變式訓(xùn)練：求由直線x1，x2，y0及曲線y圍成的圖形的面積S.題型2 汽車行駛的路程例2 一輛汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)汽車在時(shí)間t的速度v(t)，求汽車在t1到t2這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程思路導(dǎo)析：汽車在變速行駛過程中速度是變化的，無法直接求得路程，若將行駛過程中分為一段段的小區(qū)間，在每段小區(qū)間中便可近似的看做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從將變速直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為勻速直線運(yùn)動(dòng)解決。解析：（1）把區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間，(i1,2，

6、n)，每個(gè)區(qū)間的長度t，每個(gè)時(shí)間段行駛的路程記為si(i1,2，n)故路程和(2)i(i1,2，n) siv()t6()2 (i1,2,3，n)（3）6n6n（4）歸納總結(jié)：利用用分割、近似代替、求和、取極限這四個(gè)步驟可以將求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題轉(zhuǎn)化為求勻速直線運(yùn)動(dòng)的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想變式訓(xùn)練：彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即為F(x)kx(k為常數(shù)，x是伸長量)，求彈簧從平衡位置拉長b所做的功. 四、隨堂練習(xí)1在求由xa，xb(ab)，yf(x)f(x)0及y0圍成的曲邊梯形的面積S時(shí)，在區(qū)間a，b上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，分別過這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形

7、，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于S；n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于S；n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于S；n個(gè)小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定A1B2 C3 D42設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1xi1xi0時(shí)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，a0時(shí)為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，對于vat2btc(a0)，及vv(t)是t的三次、四次函數(shù)時(shí)，汽車做的都是變速(即變加速或變減速)直線運(yùn)動(dòng)答案：B4解析：將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為1，2，于是所求平面圖形的面積近似等于(1)1.02.答案：1.025解：(1)把區(qū)間0,1等分成n個(gè)小區(qū)間，(i1,2，n)，其長度為x，即把三角形分成一

8、個(gè)小三角形和(n1)個(gè)小梯形，其面積分別記為Si(i1,2，n)(2)用小矩形的面積代替小三角形和小梯形的面積，取i(i1,2，n)，則Sif()x3(i1)(i1,2，n)（3） (4) S= 所以由直線y3x，x0，x1，y0圍成的圖形的面積為.五、課后作業(yè)1.解析： ()2(i1)2(0212223220122)答案：C2解析：當(dāng)n很大時(shí)，f(x)x2在區(qū)間，上的值可用該區(qū)間上任何一點(diǎn)的函數(shù)值近似代替，也可以用左端點(diǎn)或右端點(diǎn)的函數(shù)值近似代替答案：C3答案：1054解析：將區(qū)間1,2n等分，記第i個(gè)小區(qū)間為，(n1,2，n)，每個(gè)小區(qū)間長都是.由于v(t)在此區(qū)間上的值變化很小，近似地等于

9、v().由于第i個(gè)小區(qū)間上的小曲邊梯形的面積近似地等于.這n個(gè)小曲邊梯形面積的和近似等于6n6n()6n()3.當(dāng)n時(shí)，上述和式的極限仍等于3，所以物體在t1到t2這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為3.答案：35解：(1)將0,1分割成n個(gè)小區(qū)間，(i1,2，n)，則x，取i(i1,2，n)S=6解：(1)在時(shí)間區(qū)間0,2上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，將它分成n個(gè)小區(qū)間：0，2，記第i個(gè)區(qū)間為，(i1,2，n)，其長度為，分別過上述n1個(gè)分點(diǎn)作t軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，物體在時(shí)間段0，上的路程分別為對應(yīng)小曲邊梯形的面積：S1，S2，Sn，則顯然有。(2)當(dāng)n很大，即t很小時(shí)，在區(qū)間，上，速度函數(shù)vt2m