高中數學 第一章 導數及其應用 1.5 第1課時 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程學案 新人教A版選修

1、1.5 第一課時 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程一、課前準備1.課時目標1.會求曲邊梯形的面積、變速運動的汽車行駛的路程等;2.從問題情境中了解定積分的實際背景及意義.2.基礎預探1.如果函數yf(x)在某個區(qū)間I上的圖象是一條_的曲線，那么就把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數2.由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為_，如圖3.把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些_.對每個_“以直代曲”，即用_的面積近似代替_的面積，得到每個小曲邊梯形面積的_，對這些近似值_，就得到曲邊梯形面積的_如圖4.如果物體做變速直線運動，速度函數vv(t)，那么也可以采用_，_， _

2、，_的方法，求出它在atb內所作的位移s.二、學習引領1. “以直代曲”的思想求曲邊梯形的面積由于沒有曲邊梯形的面積公式，為計算曲邊梯形的面積，可以將它分割成許多個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形用相應的小矩形近似代替，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值當分割無限變細時，這個近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積 “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲邊梯形”，隨著分割的等份數增多，這種“代替”就越精確當n越大，所有小矩形的面積和就越趨近于曲邊梯形的面積2.用定積分的定義求定積分的技巧(1)熟記解題的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限；(2) 在“近似代替”中，每個小區(qū)間

3、上函數f(x)的值一般都取左端點的函數值代替或都取右端點的函數值代替。事實上，也可以取區(qū)間上的任意點代替，沒有統一的要求為了運算方便，通常取一些特殊點 (3)熟記以下結論：123n，122232n2，132333n3n2(n1)2.三、典例導析題型一 曲邊梯形的面積例1求由直線x1，x2和y0及曲線yx3所圍成的曲邊梯形的面積思路導析：將曲邊梯形分割成許多個小曲邊梯形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形的面積的近似值，求它們的和，得到曲邊梯形的面積的近似值，當n趨向于，即x趨向于0時，這個近似值就無限趨近于所求的曲邊梯形的面積解析：(1)把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，

4、用分點，把區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間1，2。每個小區(qū)間的長度為x.過各點作x軸的垂線，把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：S1，S2，Sn.(2)取各小區(qū)間的左端點i，以點i的縱坐標為一邊，以小區(qū)間的長度x為其鄰邊的小矩形面積，近似代替小曲邊梯形的面積第i個小曲邊梯形面積可以近似地表示為Six()3(i1,2，n)(3)因為每一個小矩形的面積都是可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形的面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即S()3。(4)當分點數目越多，即x越小時，和式的值就越接近曲邊梯形的面積S，因此n，即x0時，和式的極限就是所求的曲邊梯形的面積因為()3(n

5、i1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3n(n1)33(n1)23(n1)n2(n1)2，所以S=歸納總結：本題在求和時，可先提取公因式，再將和式進行化簡會更簡潔，然后再求極限變式訓練：求由直線x1，x2，y0及曲線y圍成的圖形的面積S.題型2 汽車行駛的路程例2 一輛汽車作變速直線運動，設汽車在時間t的速度v(t)，求汽車在t1到t2這段時間內運動的路程思路導析：汽車在變速行駛過程中速度是變化的，無法直接求得路程，若將行駛過程中分為一段段的小區(qū)間，在每段小區(qū)間中便可近似的看做勻速直線運動，從將變速直線運動轉化為勻速直線運動解決。解析：（1）把區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間，(i1,2，

6、n)，每個區(qū)間的長度t，每個時間段行駛的路程記為si(i1,2，n)故路程和(2)i(i1,2，n) siv()t6()2 (i1,2,3，n)（3）6n6n（4）歸納總結：利用用分割、近似代替、求和、取極限這四個步驟可以將求變速直線運動的路程問題轉化為求勻速直線運動的問題，體現了轉化的思想變式訓練：彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即為F(x)kx(k為常數，x是伸長量)，求彈簧從平衡位置拉長b所做的功. 四、隨堂練習1在求由xa，xb(ab)，yf(x)f(x)0及y0圍成的曲邊梯形的面積S時，在區(qū)間a，b上等間隔地插入n1個分點，分別過這些分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形

7、，下列說法中正確的個數是()n個小曲邊梯形的面積和等于S；n個小曲邊梯形的面積和小于S；n個小曲邊梯形的面積和大于S；n個小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關系無法確定A1B2 C3 D42設函數f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0x1xi1xi0時為勻加速直線運動，a0時為勻減速直線運動，對于vat2btc(a0)，及vv(t)是t的三次、四次函數時，汽車做的都是變速(即變加速或變減速)直線運動答案：B4解析：將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為1，2，于是所求平面圖形的面積近似等于(1)1.02.答案：1.025解：(1)把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間，(i1,2，n)，其長度為x，即把三角形分成一

8、個小三角形和(n1)個小梯形，其面積分別記為Si(i1,2，n)(2)用小矩形的面積代替小三角形和小梯形的面積，取i(i1,2，n)，則Sif()x3(i1)(i1,2，n)（3） (4) S= 所以由直線y3x，x0，x1，y0圍成的圖形的面積為.五、課后作業(yè)1.解析： ()2(i1)2(0212223220122)答案：C2解析：當n很大時，f(x)x2在區(qū)間，上的值可用該區(qū)間上任何一點的函數值近似代替，也可以用左端點或右端點的函數值近似代替答案：C3答案：1054解析：將區(qū)間1,2n等分，記第i個小區(qū)間為，(n1,2，n)，每個小區(qū)間長都是.由于v(t)在此區(qū)間上的值變化很小，近似地等于

9、v().由于第i個小區(qū)間上的小曲邊梯形的面積近似地等于.這n個小曲邊梯形面積的和近似等于6n6n()6n()3.當n時，上述和式的極限仍等于3，所以物體在t1到t2這段時間內運動的路程為3.答案：35解：(1)將0,1分割成n個小區(qū)間，(i1,2，n)，則x，取i(i1,2，n)S=6解：(1)在時間區(qū)間0,2上等間隔地插入n1個分點，將它分成n個小區(qū)間：0，2，記第i個區(qū)間為，(i1,2，n)，其長度為，分別過上述n1個分點作t軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，物體在時間段0，上的路程分別為對應小曲邊梯形的面積：S1，S2，Sn，則顯然有。(2)當n很大，即t很小時，在區(qū)間，上，速度函數vt2m