浙江專用2020版高考數(shù)學復習函數(shù)的奇偶性與周期性課件.pptx

1、 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性,教材研讀,1.函數(shù)的奇偶性,2.奇(偶)函數(shù)的性質,3.周期性,4.周期函數(shù)常用的三個結論,考點突破,考點一 函數(shù)奇偶性,考點二 函數(shù)圖象的對稱性,考點三 函數(shù)周期性,考點四 函數(shù)性質的綜合應用,1.函數(shù)的奇偶性,教材研讀,2.奇(偶)函數(shù)的性質 (1)奇(偶)函數(shù)的定義域關于原點對稱. (2)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同,偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反. (3)在相同定義域內, (i)兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù). (ii)兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù). (iii)一個奇函數(shù),一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).,(4)若函數(shù)f(x)

2、是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.,知識拓展 與函數(shù)奇偶性相關的結論 (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種,即f(x)=0,xD,其中定義域D是關于原點對稱的非空數(shù)集. (3)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時的自變量也互為相反數(shù).,3.周期性 (1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函 數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.

3、 (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小 的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.,4.周期函數(shù)常用的三個結論 (1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期為2|a|; (2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2|a|; (3)若f(x+a)=-,則函數(shù)的周期為2|a|.,知識拓展 與函數(shù)周期相關的其他結論 (1)若f(x+a)=,則函數(shù)的一個周期為2|a|; (2)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a與x=b對稱,那么函數(shù)f(x)的一個周期為2|b-a|; (3)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)對稱,又關于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的

4、一個周期為2|b-a|; (4)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a對稱,又關于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的,一個周期為4|b-a|; (5)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關于直線x=a對稱,則函數(shù)f(x)的周期為2|a|; (6)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關于直線x=a對稱,則函數(shù)f(x)的周期為4|a|.,1.(教材習題改編)函數(shù)f(x)=的大致圖象為( D ),解析 因為f(x)的定義域為(-,0)(0,+),且在(0,+)上為減函數(shù),所以排除B、C. 又因為f(-x)=f(x), 所以f(x)為偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,排除A,故選D.,2.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為

5、( D ) A.y=x+1B.y=-x3 C.y=D.y=x|x|,解析 y=x+1是非奇非偶函數(shù);y=-x3是減函數(shù);y=在(0,+)上為減 函數(shù);y=x|x|為奇函數(shù),當x0時,y=x2為增函數(shù),由奇函數(shù)性質得y=x|x|在R上為增函數(shù),故選D.,3.設函數(shù)f(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且滿足f(x)+g(x)=x3-x2+1,則f(1)=( B ) A.-1B.1C.-2D.2,解析 f(1)+g(1)=1, f(-1)+g(-1)=-f(1)+g(1)=-1,兩式相減并化簡得f(1)=1.,4.已知f(x)是定義在m,4m+5上的奇函數(shù),則m= -1 ,當x0時,

6、 f(x)=lg(x+1),則當x0時, f(x)=-lg(1-x).,解析由奇函數(shù)的定義區(qū)間關于原點對稱可知m+4m+5=0,解得m=-1.當x0,此時f(-x)=lg(-x+1)=-f(x),故f(x)=-lg(1-x),即當x0時, f(x)=-lg(1-x).,函數(shù)奇偶性 命題方向一函數(shù)奇偶性的判定 典例1判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=x3-; (2)f(x)=+; (3)f(x)=,考點突破,解析(1)原函數(shù)的定義域為x|x0,關于原點對稱, 并且對于定義域內的任意一個x都有 f(-x)=(-x)3-=-=-f(x), 所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (2)f(x)的定義域為-

7、1,1,關于原點對稱, 且f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (3)f(x)的定義域為R,關于原點對稱,當x0時, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 當x0時, f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 當x=0時, f(0)=0,也滿足f(-x)=-f(x). 故該函數(shù)為奇函數(shù).,規(guī)律方法 判定函數(shù)奇偶性的3種常用方法 (1)定義法,(2)圖象法 f(x)的圖象 (3)性質法 設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,

8、奇偶=奇. 提醒(1)“性質法”中的結論是在兩個函數(shù)的公共定義域內才成立的.,(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應分段分別證明f(-x)與f(x)的關系,只有對各段上的x都滿足相同關系時,才能判斷其奇偶性.,典例2(1)已知函數(shù)f(x)=的圖象關于原點對稱,g(x)=ln(ex+1)-bx 是偶函數(shù),則logab=( B ) A.1B.-1C.-D. (2)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x0時, f(x)=1+2x-x2,則函數(shù)f(x)的解 f(x)= 析式是 .,命題方向二函數(shù)奇偶性的應用,解析(1)由題意得f(0)=0,a=2. g(x)是偶函數(shù),g(1)=g(-1), ln(e+1)-b=

9、ln+b, b=,logab=log2=-1.故選B. (2)設x0,f(x)是奇函數(shù),f(-x)=1-2x-x2=-f(x), 即x0時, f(x)=-1+2x+x2, 又易知f(0)=0, f(x)=,規(guī)律總結 已知函數(shù)奇偶性可以解決的4個問題 (1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解. (2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)f(-x)=0得到關于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得出參數(shù)的方程或方程(組),進而得出參數(shù)的值.,(4)畫函數(shù)圖象:利用奇偶性可畫出對稱區(qū)間上的圖象.,1

10、-1(2015課標全國理,13,5分)若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則 a= 1 .,解析由已知得f(-x)=f(x), 即-xln(-x)=xln(x+), 則ln(x+)+ln(-x)=0, ln()2-x2=0, 得ln a=0,a=1.,1-2已知函數(shù)f(x)=asin x+bx3+x2-x+2,且f(2)=4,則f(-2)= 8 .,解析令g(x)=asin x+bx3, 易知g(x)為奇函數(shù), g(x)=-g(-x),又 f(-2)+f(2)=g(2)+g(-2)+12=12, f(2)=4,f(-2)=8.,1-3判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=+; (2)f(

11、x)=,解析(1)因為函數(shù)f(x)=+的定義域為,不關于坐標原 點對稱, 所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù). (2)易知函數(shù)f(x)的定義域為(-,0)(0,+),關于原點對稱. 當x0時, f(x)=x2+x,則當x0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 當x0時,-x0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函數(shù)是偶函數(shù).,典例3(1)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(8,+)上為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x+8)為偶函數(shù),則( D ) A.f(6)f(7)B.f(6)f(9) C.f(7)f(9)D.f(7)f(10) (2)已知函數(shù)f(x)=,其圖象關于點(-3,2)對稱,則f

12、(2)的值是.,函數(shù)圖象的對稱性,解析(1)由y=f(x+8)為偶函數(shù)可知y=f(x)的圖象關于直線x=8對稱,而y=f(x)在(8,+)上是減函數(shù),則在(-,8)上為增函數(shù),故選D. (2)因為函數(shù)f(x)=a+, 所以函數(shù)的對稱中心為(b,a). 又因為函數(shù)f(x)=,其圖象關于點(-3,2)對稱, 所以a=2,b=-3. 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=,所以f(2)=.,規(guī)律方法 (1)若函數(shù)滿足f(x+t)=f(t-x)(或f(x)=f(2t-x),則函數(shù)關于直線x=t對稱,若函數(shù)滿足f(x+2t)=f(x),則函數(shù)f(x)以2t(t0)為周期. (2)若函數(shù)y=f(x)的對稱中

13、心為(a,b),根據(jù)函數(shù)y=f(x)圖象上任意點關于該對稱中心的對稱點也在此函數(shù)圖象上,利用恒等式求解.,2-1(2019溫州中學月考)用mina,b表示a,b兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)f(x)=min|x|,|x+t|的圖象關于直線x=-對稱,則t的值為( D ) A.-2B.2C.-1D.1,解析由于函數(shù)f(x)的值是兩個函數(shù)y1=|x|,y2=|x+t|的值中的較小者,因此f(x)在不同的定義域內取值不同,故需作出其圖象求解. 在同一坐標系中,分別作出函數(shù)y=|x|與y=|x+t|的草圖(如圖).由題意知f(x)的圖象為圖中的實線部分(A-B-C-O-E).由于f(x)的圖象關于直線x=-對

14、 稱,于是=-,所以t=1.,2-2函數(shù)f(x)=的圖象的對稱中心是(4,1),則a= 3 .,解析因為f(x)=1+,所以函數(shù)f(x)圖象的對稱 中心是(a+1,1). 由已知得a+1=4,故a=3.,典例4(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x-2),函數(shù)y=f(x-2)的圖象關于y軸對稱,當0x2時, f(x)=log2 x2,則下列結論中正確的是( A ) A.f(4.5)f(7)f(6.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5) C.f(7)f(6.5)f(4.5)D.f(4.5)f(6.5)f(7) (2)(2016江蘇,11,5分)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在

15、區(qū)間-1,1)上, f(x)=其中aR.若f=f,則f(5a)的值是- .,函數(shù)周期性,解析(1)由f(x+2)=f(x-2)易得f(x)=f(x+4), 即f(x)是以4為周期的周期函數(shù). 由y=f(x-2)的圖象關于y軸對稱, 得y=f(x)的圖象關于直線x=-2對稱, 又f(x)的周期為4, 所以f(x)的圖象關于直線x=2對稱. f(4.5)=f(0.5), f(7)=f(3)=f(1), f(6.5)=f(2.5)=f(1.5). 當0x2時, f(x)=log2x2,當0x2時, f(x)是單調遞增函數(shù). 又00.511.52, f(0.5)f(1)f(1.5), f(4.5)f(

16、7)f(6.5), 故選A.,(2)f(x)是周期為2的函數(shù),f=f=f, f=f=f ,又f=f,f=f,即-+a=,解得a=,則f(5a)=f(3)=f (4-1)=f(-1)=-1+=-.,3-1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且對任意實數(shù)x都有f(x+2)=-,則f(2 019)=-.,解析對任意的實數(shù)x都有f(x+2)=-, 則f(x+4)=-=f(x), 即f(x)是周期為4的周期函數(shù), 由2 019=5044+3,知f(2 019)=f(3), f(3)=f(1+2)=-=-,f(2 019)=-.,典例5(1)已知奇函數(shù)f(x)在R上單調,若函數(shù)y=f(2x2+1

17、)+f(-x)只有一個零點,則實數(shù)的值是( C ) A.B.C.-D.- (2)(2016天津理,13,5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0) 上單調遞增.若實數(shù)a滿足f(2|a-1|)f(-),則a的取值范圍是.,函數(shù)性質的綜合應用 命題方向一奇偶性與單調性的綜合應用,解析(1)令f(2x2+1)+f(-x)=0, 則f(2x2+1)=-f(-x). 因為f(x)是奇函數(shù),所以f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-). 又因為f(x)在R上單調,所以2x2+1=x-, 整理得2x2-x+1=0, 由y=f(2x2+1)+f(-x)只有一個零點知方程f(2x2+1)+f(

18、-x)=0只有一個根, 即2x2-x+1=0只有一個根,所以=(-1)2-42(+1)=0,解得=-. (2)由題意知函數(shù)f(x)在(0,+)上單調遞減.因為f(2|a-1|)f(-), f(-)=f (),所以f(2|a-1|)f(),所以2|a-1|,解得a.,方法指導 在遇到偶函數(shù)時,合理利用性質f(x)=f(|x|),可以避免分類討論,從而簡化解題過程.,4-1已知函數(shù)f(x)=+x3,則不等式f(2a)+f(1-a)0的解集為( C ) A.(0,+)B.-1,+)C.(-1,+)D.0,+),解析因為f(x)=+x3=1-+x3,所以f(x)在R上是增函數(shù),又f(-x)= -x3=

19、-=-f(x),所以f(x)在R上是奇函數(shù).所以f(2a)+f(1-a)0 f(2a)-f(1-a)=f(a-1)2aa-1a-1,故選C.,典例6(1)若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),則f(2 017)= ( B ) A.-2 017B.0C.1D.2 017,命題方向二函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應用,(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x時, f=f.則f(6)=( D ) A.-2B.-1C.0D.2,解析(1)y=f(x)是R上的周期為2的奇函數(shù),所以f(x)=f(x+2),所以f(1)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=f(-1)=0.所以f(2 017)=f(

20、1)=0,故選B.,(2)當x時,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由題意知 f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故選D.,方法指導 利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以把所求問題轉化到性質已知的區(qū)間求解.,4-2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當0x1時, f(x)=4x,則f+ f(1)= -2 .,解析f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x)=-f(-x), 又f(x)的周期為2,f(x+2)=f(x),f(x+2)=-f(-x), 即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0, f(1)

21、=0. 又f=f=-f=-=-2, f+f(1)=-2.,典例7已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x)=f(2-x).若f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù),則f(x)( B ) A.在區(qū)間-2,-1上是增函數(shù),在區(qū)間3,4上是增函數(shù) B.在區(qū)間-2,-1上是增函數(shù),在區(qū)間3,4上是減函數(shù) C.在區(qū)間-2,-1上是減函數(shù),在區(qū)間3,4上是增函數(shù) D.在區(qū)間-2,-1上是減函數(shù),在區(qū)間3,4上是減函數(shù),命題方向三函數(shù)奇偶性與對稱性,解析由f(x)=f(2-x),得函數(shù)f(x)關于x=1對稱, 又因為f(x)在R上是偶函數(shù),所以f(x)關于y軸對稱. 又因為f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù), 所

22、以f(x)在0,1上為增函數(shù),在-1,0上為減函數(shù),故函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.由圖可知B正確.,4-3偶函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱, f(3)=3,則f(-1)= 3 .,解析因為f(x)的圖象關于直線x=2對稱, 所以f(4-x)=f(x), 又f(3)=3,所以f(4-1)=f(1)=f(3)=3,即f(1)=3. 因為f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x), 所以f(-1)=f(1)=3.,典例8已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),且滿足f(x+1)=,當2x2x11時,f (x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,設a=f(-2 016),b=f(2 015),c=f(),則a,b,c的大小關系為 acb .,命題方向四函數(shù)性質的綜合應用,解析y=f(x+1)是偶函數(shù),y=f(x+1)的圖象關于y軸對稱.函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位可得y=f(x+1)的圖象,y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.f(x+1)=,f(x+2)=f(x),函數(shù)f(x)是周期為2的函 數(shù).當2x2x11時,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,函數(shù)f(x)在1,2上單調遞增.a