高中數(shù)學必修五知識點大全

1、最新資料推薦知識點串講必修五1最新資料推薦第一章：解三角形1 1 1 正弦定理1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsin asinbsin c一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。2、已知abc中，a600 ， a3 , 求sinabcca sinb sin證明出abcabcasinbsincsina sin bsincsin解：設(shè)abck( ko)sinasinbsin c則有 ak sin a ， b k sinb ， ck sin c從而aa bc= k sin ak sinbk sinc = ksinsinbsin csin

2、asinbsin c又a302k ，所以abc=2sin asin60sin a sin bsin c評述：在abc中，等式abca bc0sin asinbsin csin asin bk ksin c恒成立。3、已知abc中， sin a:sinb:sinc 1:2:3，求 a: b : c（答案： 1： 2： 3）1.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bc cos ab2a2c22cosbacc 2a2b22ab cos c從余弦定理，又可得到以下推論：b2c2a2cosa2bca2c2b2co

3、sb2ac2最新資料推薦coscb2 a2 c22ba2、在abc中，已知 a23 ， c62 ， b600 ，求 b 及 a解： b2 a2c22accosb= (23)2(62) 22 23 ( 62) cos 450=12( 62)243(31)= 8 b 2 2.求 a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cosb2c2a2(2 2) 2 ( 62 )2 (2 3)21a2bc2 2 2( 6 2)2 , a060.解法二： sinaa sinb 23sin450 ,b22又 62 2.41.43.8,2 3 2 1.8 3.6, a c ，即 00 a 900,0 a60.

4、評述：解法二應注意確定a 的取值范圍。3、在abc中，若 a2b2c2bc ，求角 a（答案： a=1200 ）11 3 解三角形的進一步討論1、在abc中，已知 a,b,a，討論三角形解的情況分析：先由 sin bbsin a可進一步求出b；a則 c0從而 casin c180 ( a b)a3最新資料推薦1當 a 為鈍角或直角時，必須ab 才能有且只有一解；否則無解。2當 a 為銳角時，如果 a b ，那么只有一解；如果 ab ，那么可以分下面三種情況來討論：（ 1）若 a b sin a，則有兩解；（ 2）若 a b sin a，則只有一解；（ 3）若 a b sin a，則無解。（以上

5、解答過程詳見課本第910 頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當a 為銳角且bsin a ab 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。2、（ 1）在abc中，已知 a80， b100，a450 ，試判斷此三角形的解的情況。（ 2）在abc中，若 a1， c1 ，c400 ，則符合題意的 b 的值有 _個。2（ 3）在abc中，a xcm，b 2cmb450 ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x 的取值，范圍。（答案：（ 1）有兩解；（ 2） 0；（ 3） 2x22 ）3、在abc中，已知 a7 ， b5 ， c3 ，判斷abc的類型。解：7252 32 ，即 a

6、2b2c 2 ， abc是鈍角三角形 。4、（ 1）在abc中，已知 sin a:sinb:sinc 1:2:3 ，判斷abc的類型。（ 2）已知abc滿足條件 acosa b cosb ，判斷abc的類型。（答案：（ 1）abc是鈍角三角形 ；（ 2）abc是等腰或直角三角形）5、在abc中， a 600， b1，面積為3 ，求a bc的值2sin a sinbsin cabca bcsin asinbsin csina sinb sin c解：由 s1bc sina3 得 c2 ，22則 a2b2c22bc cos a =3，即 a3 ，從而abca2asinb sincsin asin4

7、最新資料推薦1.2 解三角形應用舉例1、兩燈塔a、 b 與海洋觀察站c 的距離都等于a km, 燈塔 a 在觀察站c 的北偏東30 ，燈塔 b 在觀察站 c 南偏東 60 ，則 a、 b 之間的距離為多少？解略： 2 a km2、 某人在 m汽車站的北偏西20的方向上的 a 處，觀察到點c處有一輛汽車沿公路向m站行駛。公路的走向是 m站的北偏東40。開始時，汽車到 a 的距離為 31 千米，汽車前進20 千米后，到 a的距離縮短了 10 千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達m汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20 千米后到達 b 處。在abc中， ac=31， bc=20， ab=21，

8、由余弦定理得ac 2 bc 2ab 2=23cosc=bc,2ac31則 sin 2 c =1- cos2 c =432,312sinc = 12 3 ,31所以 sinmac = sin （ 120-c） = sin120 cosc - cos120 sinc = 35 3625最新資料推薦在 mac中，由正弦定理得mc = ac sin mac = 3135 3 =35sinamc3622從而有 mb= mc-bc=15答：汽車還需要行駛15 千米才能到達m汽車站。3、 s= 1 absinc，a,s= 1 acsinb， s= 1 bcsin2224、在 abc中，求證：（ ） a2b

9、2sin 2asin 2b ;（）22+ c2（ bccosa+cacosb+abcosc ）12sin 2 c2a+ b=2c證明：（ 1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)a=b=c = ksinasin bsin c顯然 k0，所以左邊a 2b2k 2 sin2ak 2 sin 2 b=c 2k 2 sin2 c=sin 2 asin2 b=右邊sin2 c（ 2）根據(jù)余弦定理的推論，右邊 =2(bc b 2c2a 2+ca c 2a 2b2+ab a 2b 2c 2)2bc2ca2ab=(b2 +c 2 - a 2 )+(c2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 )=a 2 +b 2

10、 +c 2 =左邊變式練習 1：已知在abc中，b=30,b=6,c=63 , 求 a 及abc的面積 s提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案： a=6,s=93 ;a=12,s=1835、如圖，在四邊形abcd中，adb=bcd=75，acb=bdc=45， dc= 3 ，求：6最新資料推薦（ 1） ab 的長（ 2） 四邊形 abcd的面積略解（ 1）因為bcd=75，acb=45，所以acd=30，又因為bdc=45，所以dac=180- （ 75+ 45+ 30） =30，所以ad=dc=3在bcd中，cbd=180- （ 75+ 45）=60，所以b

11、d =dc， bd =3 sin 75=62sin 75sin 60sin 602在 abd中， ab2 =ad2 + bd 2 -2ad bd cos75= 5,所以得ab=5（ 3） s abd = 1ad bdsin75= 32 324同理， sbcd= 334所以四邊形 abcd 的面積 s= 63 347最新資料推薦第二章：數(shù)列21 數(shù)列的概念與簡單表示法1、概括數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。辯析數(shù)列的概念： “ 1，2，3， 4， 5”與“ 5， 4，3， 2， 1”是同一個數(shù)列嗎？與“1，3， 2，4， 5”呢？給出首項與第n

12、項的定義及數(shù)列的記法：an2、數(shù)列的分類: 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列，常數(shù)列。3、數(shù)列的表示方法：項公式列表和圖象等方法表示數(shù)列4、= 2 an-1 + 1（ n n ，n1 ），（）式稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。2 2 等差數(shù)列1、數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示。2、個數(shù) a， a， b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，a 叫做 a 與 b 的等差中項。3、等差數(shù)列中，若m+n=p+q 則 amana paq4、通項公式：

13、以a1 為首項， d 為公差的等差數(shù)列 an 的通項公式為：ana1( n1)d5、迭加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：（迭加法）： an 是等差數(shù)列，所以anan 1d,an 1an 2d ,an 2an 3d,a2a1d ,兩邊分別相加得ana1( n1)d ,所以ana1(n1)d（迭代法）： an 是等差數(shù)列，則有anan 1d8最新資料推薦an 2ddan 22dan 3d2dan 33da1( n1) d所以ana1( n1)d6、求等差數(shù)列8，5， 2，的第20 項 . -401 是不是等差數(shù)列-5 ， -9 ， -13 ，的項？如果是，是第幾項？解：由 a1 =8， d=5-

14、8=-3 ，n=20，得 a208( 211)( 3)49由 a1 =-5 ， d=-9- （ -5 ） =-4 ，得這個數(shù)列的通項公式為an54(n1)4n1, 由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n, 使得 -401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n 的方程，得n=100，即 -401 是這個數(shù)列的第100 項。7、某市出租車的計價標準為1.2 元 /km ，起步價為10 元，即最初的4km（不含 4 千米）計費10 元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km 處的目的地， 且一路暢通， 等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km 時，每增加1km，乘客需要

15、支付1.2 元 . 所以，我們可以建立一個等差數(shù)列 an 來計算車費 .令 a1 =11.2 ，表示 4km 處的車費，公差d=1.2 。那么當出租車行至14km處時， n=11，此時需要支付車費a1111.2(111)1.223.2(元 )答：需要支付車費23.2 元。9最新資料推薦2 2 等差數(shù)列的前n 項和1、倒序相加法求和我們用兩種方法表示sn ：（ 1）sna1( a1d )(a12d ).a1(n 1)d , snan(and )( an2d ). an( n1) d, 由 +，得2sn（ a1an）+（ a1 an）+（ a1an）+.+ （ a1an）n個n(a1an )由此得

16、到等差數(shù)列 an 的前 n 項和的公式 snn(a1an )2（ 2）sna1a2a3. an=a1(a1d )(a12d ) . a1( n 1)d =na1 d2d. ( n 1)d=na112. (n 1) d=na1n(n 1)2d2、已知一個等差數(shù)列 an 前 10 項的和是310，前 20 項的和是1220. 由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前 n 項和的公式嗎？解：由題意知s10310，s201220 ，（）snna1n n1將它們代入公式d，210a145d，得到31020a1190d1220解這個關(guān)于 a1 與 d 的方程組，得到a1 =4， d=6，10最新資料推薦所以 sn

17、 4n（）6 3n2nn n 12另解：s10a1an103102得a1a1062；s20a1a202012202所以a1a20122； - ，得10d60 ，所以d6代入得：a14sna1n（）3nn所以有n n1d221nn項為snn2n，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果3、已知數(shù)列 a 的前2是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù)sna1a2.an 1an與sn 1a1a2. an （1 n 1 ）可知，當 n 1 時， ansnsnn212111n（ n 1）（ n1） 2n222當 n=1 時， a1s112113也滿足式 .221所以數(shù)列 an 的通項公式為 an2

18、n.2由此可知，數(shù)列 an 是一個首項為3 ，公差為 2 的等差數(shù)列。2這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法. 已知前 n 項和 sn ，可求出通項a1（n）an1sns（ n 1）1n4、如果一個數(shù)列前n 項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于 n 的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.11最新資料推薦5、 已知等差數(shù)列， 2， 4 ，.的前 n 項和為sn ，求使得 sn 最大的序號 n 的值 .5 4377解：由題意知，等差數(shù)列， 2， 4，.的公差為5，所以5 43777n25 （ n1）（5sn）27=75n5n25152112514（ n2）5614于是，當 n 取與 15 最接近的

19、整數(shù)即7 或 8 時， sn 取最大值 .26 、已 知數(shù)列an , 是等差數(shù)列，sn是其前n 項 和，且s6 ， s12-s6 ， s18-s12 成等差數(shù)列，設(shè)k n, sk ,s2ksk , s3ks2 k 成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問題 .解：設(shè)an , 首項是 a1 ，公差為 d則： s6a1a2a3a4a5a6s12s6a7a8a9a10a11a12(a16d )( a26d )( a36d)(a46d )(a56d )( a66d )(a1a2a3a4a5a6 )36d s636ds18s12a13a14a15a16a17a18(a76d )( a86d )( a96d)(

20、a106d)(a116d)(a126d )(a7a8a9a10a11a12 ) 36ds12s636ds6 ,s12s6 , s18s12 為等差數(shù)列同理可得 sk , s2k sk , s3ks2k 成等差數(shù)列 .7、求集合 m m 7n,nn * ,且m100 的元素個數(shù)，并求這些元素的和。100142解由 m=100，得 n77滿足此不等式的正整數(shù)n 共有 14 個，所以集合m中的元素共有 14 個，從小到大可列為：7， 7 2， 7 3， 7 4， 7 14即： 7， 14， 21， 28， 9812最新資料推薦這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為an,其中 a17, a149814(798)s1

21、427351002解由 m=100，得 n1477滿足此不等式的正整數(shù)n 共有 14 個，所以集合m中的元素共有14 個，從小到大可列為：7， 7 2， 7 3， 7 4， 7 14即： 7， 14， 21， 28， 98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為an,其中 a1 7,a14 98s1414(7 98)7352答：集合 m中共有 14 個元素，它們和等于7352. 3 等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義：一般地，若一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù) ,這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比， 用字母 q 表示（ q 0），an即： an 1 =q（ q 0）2、既是等差又

22、是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列3、等比數(shù)列的通項公式 1: ana1qn 1 (a1 , q均不為 0)等比數(shù)列的通項公式 2:aaqn m (a ， q0)nmm4、若 an 為等比數(shù)列， mnpq (m, n, q, pn ) ，則 am ana p aq 由等比數(shù)列通項公式得： ama1 qm 1, an a1qn 1 ， ap a1qp 1,aqa1 qq 1 ，故 am an22qp q 2 ，a1 qm n 2 且 ap aqa1 mnpq ， amana p aq 13最新資料推薦5、已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。解：由題意可以設(shè)這三個數(shù)分別

23、為a , a, aq ，得：qa27a3a aqqa2 ( 12a222 2911 q2 ) 91q2aa qq 9q482q290 ，即得 q29或 q21 ，1 ，9 q3 或 q故該三數(shù)為：31， ，9或 ， ，或9， ， 11，3，9 或39 3 13說明：已知三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設(shè)該三數(shù)為a , a, aq q6、數(shù)列an 為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n 項和為 80，且前 n 項中數(shù)值最大的項為54，它的前 2n項和為 6560，求首項 a1 和公比 q 。解：若 q1 ，則應有 s2n2sn ，與題意不符合，故q1 。依題意有：a1 1qn80(1)1 qa1 1 q2

24、n6560(2)1q(2) 得 1q2nn 82 即 q2n82qn81 0(1) 1 q得 qn81或 qn1（舍去），qn81。由 qn81知 q1 ， 數(shù)列 an的前 n 項中 an 最大，得 an 54 。將 qn81代入（ 1）得 a1q1（ 3），由 ana1qn 154 得 a1qn54q ，即 81a1 54 q（4），14最新資料推薦a12聯(lián)立（ 3）（ 4）解方程組得。q32.4 等比數(shù)列的前n 項和1、等比數(shù)列的前n 項和公式：一般地，設(shè)等比數(shù)列a1 , a2a3 , an它的前 n 項和是sn a1a2a3ansna1a2a3an由 ana1q n1sna1a1 q a

25、1 q 2a1 q n 2a1qn 1得qsna1q a1q 2a1 q3a1 qn 1a1q n(1 q)sna1a1q nsna1 (1 qn )sna1an qq 11 q1q論同上）當時，或當 q=1 時， snna11 , 1 ,1,2、已知等比數(shù)列 93，求使得 sn 大于 100 的最小的 n 的值 .答案：使得 sn 大于 100 的最小的 n 的值為 7.3、設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn3na 當常數(shù) a 滿足什么條件時， an 才是等比數(shù)列？15最新資料推薦答案： a1an中,s420, s81640s12.4、已知等比數(shù)列,求15、某商店采用分期付款元的方式促銷一

26、款價格每臺為6000 電的腦 .商規(guī)店定，購買時先支付貨款的3 ，剩余部分在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款，且結(jié)算欠款的利息.已知欠款的月利率為0.5%到第一個月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？22解 (1)因為購買電腦時,貨主欠商店3 的貨款 ,即 60003 =4000( 元 ),又按月利率0.5% 到第一個月底的欠款數(shù)應為 4000(1+0.5%)=4020(元 ).即到第一個月底 ,欠款余額為 4020 元 .(2) 設(shè)第 i 個月底還款后的欠款數(shù)為y i ,則有y 1 =4000(1+0.5%)- ay 2 =y 1 (1+0.5%)- a=4000(1+0.5%)

27、2 - a (1+0.5%)- ay 3 =y 2 (1+0.5%)- ay 3 =y 2 (1+0.5%)- a=4000(1+0.5%) 3 - a (1+0.5%) 2 - a (1+0.5%)- ay i =y i 1 (1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)i- a (1+0.5%)i 1- ai2- a ,(1+0.5%)-整理得(10.5%) i1ia0.5%.( i =1,2, 36)y i =4000(1+0.5%)-(3)因為 y 36 =0,所以16最新資料推薦(10.5%) 36136a0.5%=04000(1+0.5%)-即每月還款數(shù)4000(10.5%) 360.5%121.69a =(10.5%)361(元 )所以每月的款額為121.69 元 .第三章不等式3.1 不等式與不等關(guān)系1、不等式的基本性質(zhì)：（ 1） ab, bcac（ 2） abacbc（ 3） ab, c0acbc（ 4） ab, c0acbc2、已知 ab0, c0, 求證 cc 。ab證明：以為 ab0，所以 ab0,10 。1ab111于是baab，即aabb由 c0