機(jī)械工業(yè)出版社 復(fù)變函數(shù)與積分變換 第2章 解析函數(shù)

1、第二章 解析函數(shù),1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義,2.1 解析函數(shù)的概念,GO,2. 解析函數(shù)的概念,一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(1)導(dǎo)數(shù)定義,如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 f (z)在區(qū)域 D內(nèi)可導(dǎo)。,(1) z0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。,(2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求導(dǎo)公式與法則, 常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然數(shù)).,證明 對于復(fù)平面上任意一點z0，有,-實函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣, 設(shè)函數(shù)f (z),g (z) 均可導(dǎo)，則 f (z)g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) =

2、f (z)g(z) + f (z)g(z),復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。, 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中: w=f (z) 與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。,思考題,例3 問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？,例2,解,解,例4 證明 f (z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。,證明,(1) 復(fù)變函數(shù)在一點處可導(dǎo)，要比實函數(shù) 在一點處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得 多，這是因為z0是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原故。,(2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。,(3)可導(dǎo)與連續(xù),若 w

3、=f (z) 在點 z0 處可導(dǎo) w=f (z) 點 z0 處連續(xù).,?,二. 解析函數(shù)的概念,(1) w=f (z) 在 D 內(nèi)解析 在D內(nèi)可導(dǎo)。 (2) 函數(shù)f (z)在 z0 點可導(dǎo)，未必在z0解析。,例如 (1) w=z2 在整個復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個復(fù)平面 上的解析函數(shù)； (2) w=1/z，除去z=0點外，是整個復(fù)平面上的解析 函數(shù)； (3) w=zRez 在整個復(fù)平面上處處不解析(見例4)。,定理1 設(shè)w=f (z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)， 則 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0時) 均是D內(nèi)的解析函數(shù)。,定理 2 設(shè)

4、w=f (h) 在 h 平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析, h=g(z) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值 集合 G，則復(fù)合函數(shù)w=f g(z)在D內(nèi)處處解析。,2.2 解析函數(shù)的充要條件,1. 解析函數(shù)的充要條件,2.舉例,如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。,問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？,一. 解析函數(shù)的充要條件,記憶,定理1 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內(nèi)有定義， 則 f (z)在點 z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是 u(x,

5、y) 和 v(x, y) 在點 (x, y ) 可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程,上述條件滿足時,有,證明 （由f (z)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo) 函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微）。,函數(shù) w =f (z)點 z可導(dǎo)，即,則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可寫為,因此 u=ax-

6、by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(x, y)，v(x, y)在點(x, y)處可微.,（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點z=x+iy處可導(dǎo)）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：,定理2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微，且 滿足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個函數(shù)可導(dǎo)時,僅由其實部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.,利用該定理可以判斷哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的.,使用時: i)

7、判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗證C-R條件.,iii) 求導(dǎo)數(shù)：,前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的, 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意, 并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.,二. 舉例,例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：,解 (1) 設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則,解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny,僅在點z = 0處滿足C-R條件，故,解 (3) 設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則,例2 求證函數(shù),證明 由于在z

8、0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)， 且滿足C-R條件：,故函數(shù)w=f (z)在z0處解析，其導(dǎo)數(shù)為,例3,證明,例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)， 且 確定,練習(xí):,a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2,2.3初等函數(shù),3. 對數(shù)函數(shù),1. 指數(shù)函數(shù),2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù),4. 冪函數(shù),5. 反三角函數(shù),一. 指數(shù)函數(shù),它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：,定義,這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。,例1,例2,例3,二. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù),推廣到復(fù)變數(shù)情形,正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì),思考題,由正弦和余弦函數(shù)的定義得,其它三角函數(shù)的定義(詳見P43),雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì),三. 對數(shù)函數(shù),(1) 對數(shù)的定義,故,(2) 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),例4,四. 乘冪 與冪函數(shù),乘冪ab,定義,多值,一般為多值,q支,(2)當(dāng)b=1/n(n正整