線性代數(shù)模型魔方植物基因分布.ppt

1、討論實練題 財產(chǎn)分配問題,案例1 大衣之爭,甲乙兩人為爭奪一件大衣發(fā)生爭執(zhí)。甲說：大衣是我發(fā)現(xiàn)的，完全是我的；乙也說：大衣是我發(fā)現(xiàn)的，完全是我的。在兩人的說法都有效的情況下，建議這件有爭執(zhí)的大衣甲乙各得一半。例如當大衣的價值為200元時，甲乙各得100元。如果甲說：大衣完全是我的；乙說大衣的一半是我的。則建議這件有爭執(zhí)的大衣甲拿四分之三，乙拿四分之一。例如當大衣的價值為200元時，甲得150元，乙得50元。,討論實練題 財產(chǎn)分配問題,案例2 遺產(chǎn)分配,一個男人有三個老婆（三太太、二太太和大太太），她們的婚姻合同上寫明了在他死后，她們將分別獲得100元，200元，300元的遺產(chǎn)。 法典指出：假設

2、男子死后留下100元的遺產(chǎn)，建議平均分配；如果遺產(chǎn)有300元，建議分為（50,100,150）；而在遺產(chǎn)為200元時，建議分為（50,75,75）。,財產(chǎn)分配問題,對于上面兩個案例討論的是爭議財產(chǎn)的分配問題。你能否給出一個合理的解釋？也就是說，能否設計一個與塔木德解決方案完全相容的爭議財產(chǎn)解決方案？ 這個方案應擁有一個貫穿始終的原則，一旦接受這一原則，則爭執(zhí)中的任意一方無論從哪個角度考慮都會發(fā)現(xiàn)塔木德解決方案是公正的，都不會產(chǎn)生不滿，更不會出現(xiàn)矛盾。 按照你建立的原則，在婚姻合同問題中，如果遺產(chǎn)分別為400元，450元，500元，應該如何分給三個人？,財產(chǎn)分配問題,這個方案應擁有一個貫穿始終的

3、原則，一旦接受這一原則，則爭執(zhí)中的任意一方無論從哪個角度考慮都會發(fā)現(xiàn)塔木德解決方案是公正的，都不會產(chǎn)生不滿，更不會出現(xiàn)矛盾。 按照你建立的原則，在婚姻合同問題中，如果遺產(chǎn)分別為400元，450元，500元，應該如何分給三個人？ 進一步可以考慮，與按比例分配等其他可能分配的原則比較，塔木德解決方案的原則具有什么特點？這個爭議財產(chǎn)的分配問題及其解決方法可以應用到哪些實際領域中？,財產(chǎn)分配問題提示,問題分析：,案例1：大衣之爭,當雙方都聲稱200元屬于自己，則均分。,當一方聲稱200元屬于自己，另一方聲稱100元屬于自己，表明100元無爭議，剩下的100元均分。,大衣爭執(zhí)原則（Contested G

4、arment Principle）：將財產(chǎn)分成無爭議和有爭議兩部分，無爭議的歸聲稱方所有，爭議部分均分。,財產(chǎn)分配問題提示,案例2：遺產(chǎn)分配,100元，則均分（100/3，100/3，100/3）。,200元，第一步，大、二綁在一起，跟三太太均分100元，第二步，剩余150均分（50，75，75）。,300元，第一步，二，三綁在一起，跟三太太均分300元，第二步，剩余150元，二先得50元，剩余100元，二，三均分，則分配結(jié)果為（50，100，150） 。,財產(chǎn)分配問題提示,450元，在400元分配的基礎上（50，125，225） ，還有50均分給大，二，則分配結(jié)果為（50，150，250）

5、。,500元，在450元分配的基礎上（50，150，250） ，還有50元，三位均分，則分配結(jié)果為（200/3，500/3，800/3） 。,600元，在450元分配的基礎上（50，150，250） ，還有150元，三位均分，則分配結(jié)果為（100，200，300） 。,400元，在300元分配的基礎上（50，100，150），第一步，50元先分給大，第二步，剩余50元大，二均分，則分配結(jié)果為（50，125，225） 。,財產(chǎn)分配問題提示,思考：遺產(chǎn)分配的數(shù)學模型的表達形式？,推廣應用： 1）破產(chǎn)企業(yè)的債務清償問題：當一家企業(yè)破產(chǎn)后，破產(chǎn)企業(yè)的遺留財產(chǎn)如何公平的分給債權人？ 2）稅收問題：如果某

6、地方政府決定征收總量一定的稅收，如何根據(jù)納稅對象的收益分配相應的納稅額？ 3）項目費用的攤派問題：如果多個組織和個人集資一定的投資興建某個項目，如何根據(jù)組織和個人從中收益的大小攤派投資？,數(shù)學建模,第三章 線性代數(shù)模型,線性代數(shù)模型,Durer 魔方 植物基因的分布 常染色體的隱性疾病 馬爾科夫鏈模型,一 Durer 魔方,1 Durer 魔方,德國著名的藝術家 Albrecht Durer (1471-1521),同年曾鑄造了一枚名為“Melen cotia I”的銅幣。,憂郁,德國著名的藝術家 Albrecht Durer (1471-1521)于1514年創(chuàng)作了一幅銅版畫憂郁,2 Dur

7、er 魔方特點,特點,每行之和、每列之和、對角線之和、四個小方塊之和、中心方塊之和都相等，為確定的數(shù)34。,所出現(xiàn)的數(shù)是1至16的自然數(shù)。,四角之和、中間對邊之和均為34。,最下邊一行中心數(shù)為1514，正是制幣的時間。,問題：,是否還存在具有這些（或部分）性質(zhì)的魔方？,定義,如果44數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對角線及每個小方塊上的數(shù)字之和都為一確定的數(shù)，則稱這個數(shù)字方為 Durer 魔方。,R=C=D=S,你想構造Durer魔方嗎？ 如何構成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？,3 Durer魔方的生成集,所有的Durer魔方的集合為 D,O=,E=,R=C=D=S=0,R=C=

8、D=S=4,A=,B=,類似于矩陣的加法和數(shù)乘，定義魔方的加法和數(shù)乘。 易驗證，D 加法和數(shù)乘封閉，且構成一線性空間。,記 M =所有的44數(shù)字方 ，則其維數(shù)為16。 而D是M的子集，則D是有限維的線性空間。,根據(jù)線性空間的性質(zhì)，如果能得到D的一組基， 則任一個Durer方均可由這組基線性表示。,可以證明：以上八個方程互相獨立。,第一步： 行和、列和及兩條對角線數(shù)字和相等的數(shù)字方，記為Q，它構成八維的線性空間。,R=C=D,求D的維數(shù),顯然,屬于 Q 但不屬于 D,即,第二步：,由 0,1 數(shù)字組合，構造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 個，記為Qi, i=1,2,8。,Q1=,Q2=,

9、Q3=,Q4=,第三步：求出D的一組基,Q5=,Q6=,Q7=,Q8=,易知,則,線性相關。,而由,=,線性無關。任一Durer方可由它們線性表示。,結(jié)論：,1 Durer方有無窮多個。,2 Durer方可由 線性組合得到。,Albrecht Durer的數(shù)字方的構成：,=,4 Durer方的應用推廣,（1）要求數(shù)字方的所有數(shù)字都相等。,基為,1維空間,（2）要求行和、列和、每條主對角線及付對 角線數(shù)字和都相等。,基為,5維空間,例,R=C=H=N=46,H 主對角線，N付對角線數(shù)字和。,（3）要求行和、列和及兩條對角線數(shù)字和相等。,8維空間Q。,基為,D是Q的7維子空間。,例,R=C=D=3

10、0,（4）要求行和、列和數(shù)字相等。,10維空間W。,基為,（5）對數(shù)字沒有任何要求的數(shù)字方,16維空間M,空間,維數(shù),0 1 5 7 8 10 16,思考,能否構造出其他維數(shù)的數(shù)字方？,有些復雜問題，往往給人以變幻莫測的感覺，難以掌握其中的奧妙。當我們把思維擴展到線性空間，利用線性代數(shù)的基本知識建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，預測其發(fā)展趨勢。,數(shù)學模型：,練習1,完成下面的Durer方,R=C=D=S=30,R=C=D=S=100,練習2,構造你自己認為有意義的Durer方。,練習2,構造你自己認為有意義的Durer方。,2 植物基因的分布,設一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA、Aa

11、 和 aa 。研究所計劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？,1 建模準備,植物遺傳規(guī)律？,動植物都會將本身的特征遺傳給后代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)?，基因?qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。,常染色體遺傳的規(guī)律：,后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)?，即基因型?如果考慮的遺傳特征是由兩個基因 A、a控制 的，那末就有三種基因?qū)Γ洖锳A、Aa 和 aa 。,金魚草花的顏色是由兩個遺傳因 子決定的，基因型為AA的金魚草開紅花，Aa 型的開粉紅花，而 aa型的開白花。,金魚

12、草花,人類眼睛的顏色也是通過常染色體來控制的?；蛐蜑锳A ，或Aa 型的人眼睛顏色為棕色，而 aa型的人眼睛顏色為藍色。 這里AA ，Aa表示同一外部特征，我們認為基因A支配基因a，即基因a對A來說是隱性的。,雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣,2 假設,分別表示第n代植物中基因型為AA,Aa,aa 的植物占植物總數(shù)的百分率。,第n代植物的基因型分布為,表示植物基因型初始分布。,假設1,假設2,植物中第n-1代基因型分布與第n代分布的關系由上表確定。,3 建模,4 求解模型,關鍵計算,特征值為1，1/2，0， M可對角化，即可求 出可逆對角矩陣P，使 PMP-1為對角型矩陣。,特征值為1，1/2，0 的特征向量分別為,則,當 時，,經(jīng)過足夠長的時間后，培育出來的植物基本上 呈現(xiàn)AA型。,5 結(jié)論,上機實