置信區(qū)間(詳細定義及計算).ppt

1、1,第四節(jié),第七章,置信區(qū)間的概念,一、置信區(qū)間的概念,二 、數(shù)學期望的置信區(qū)間,三 、方差的置信區(qū)間,2,一、置信區(qū)間的概念,這種形式的估計稱為區(qū)間估計.,前面，我們討論了參數(shù)點估計.,它是用樣本算得的,一個值去估計未知參數(shù).,但是點估計值僅僅是未知參數(shù),的一個近似值，,它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，,使用起來把握不大.,范圍通常用區(qū)間的形式給出的。,較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，,使我們能以比,這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，,稱為置信概率，置信度或置信水平.,習慣上把置信水平記作,，這里 是一個很小,的正數(shù)，稱為顯著水平。,3,定義7.6

2、,若由總體X的樣本 X1,X2,Xn 確定的,則稱 為隨機區(qū)間。,兩個統(tǒng)計量,其長度與在數(shù)軸上,的位置與樣本,有關。,當一旦獲得樣本值,那么，,都是常數(shù)。,為常數(shù)區(qū)間。,4,定義7.7,若滿足,設 是總體X的 一個未知參數(shù)，,的置信區(qū)間.,（雙側置信區(qū)間）.,的置信水平（置信度）為,分別稱為置信下限和置信上限,為顯著水平.,為置信度，,則稱區(qū)間 是,若存在隨機區(qū)間,對于給定的,5,置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.,根據(jù)一個實際樣本，,，使,一個盡可能小的區(qū)間,由于正態(tài)隨機變量廣泛存在，,指標服從正態(tài)分布，,特別是很多產(chǎn)品的,我們重點研究一個正態(tài)總體情形,由給定的置信水平，我們求出,即取置信

3、水平 或 0.95，0.9 等.,例如，通?？扇★@著水平 等.,數(shù)學期望 和方差 的區(qū)間估計。,6,設,分別是樣本均值和樣本方差。,對于任意給定的，,我們的任務是通過樣本尋找一,它以1的概率包含總體X的數(shù)學期望。,個區(qū)間，,7,一、數(shù)學期望的置信區(qū)間,設,則隨機變量,1、已知2時，的置信區(qū)間,令,8,令,這就是說隨機區(qū)間,它以1的概率包含總體 X的數(shù)學期望。,由定義可知，此區(qū)間即為的置信區(qū)間。,9,這就是說隨機區(qū)間,置信區(qū)間也可簡記為,它以1的概率包含總體X的數(shù)學期望。,由定義可知，此區(qū)間即為的置信區(qū)間。,其置信度為 1。,置信下限,置信上限,10,若取,查表得,若由一個樣本值算得樣本均值的觀

4、察值,則得到一個區(qū)間,我們稱其為置信度為0.95的的置信區(qū)間。,其含義是：,若反復抽樣多次，每個樣本值（n =16) 按公式,即,確定一個區(qū)間。,11,確定一個區(qū)間。,在這么多的區(qū)間內(nèi)包含的占0.95,不包含的占0.05。,本題中,屬于那些包含的區(qū)間的可信,程度為0.95.,或“該區(qū)間包含”這一事實的可信程度,注： 的置信水平1的置信區(qū)間不唯一。,為0.95.,12,由中心極限定理知，,當 n 充分大時，,無論X服從什么,分布，都近似有,的置信區(qū)間是總體,的前提下提出的。,均可看作EX的置信區(qū)間。,13,例1,設總體X N(,0.09)， 有一組樣本值： 12.6，13.4，12.8，13.2

5、， 求參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.,解,的置信區(qū)間為,代入樣本值算得 ,12.706，13.294.,得到的一個區(qū)間估計為,注：該區(qū)間不一定包含.,有 1= 0.95，0= 0.3，n = 4,14,又如，上例中同樣給定,可以取標準正態(tài)分布上,分位點z0.04 和 z0.01 ,則又有,則的置信度為0.95的置信區(qū)間為,與上一個置信區(qū)間比較，同樣是,其區(qū)間長度不一樣，上例,比此例,短。,15,置信區(qū)間短表示估計的精度高，,第一個區(qū)間為優(yōu),（單峰對稱的）。,可見，像 N(0,1)分布那樣概率密度,的圖形是單峰且對稱的情況。,當n固定時以,的區(qū)間長度為最短，,我們一般選擇它。,若以L為區(qū)間長

6、度，則,可見L隨 n 的增大而減少（ 給定時），,有時我們嫌置信度0.95偏低或偏高，,也可采用0.99或,0.9.,對于 1 不同的值，,可以得到不同的置信區(qū)間。,16,估計在區(qū)間 內(nèi).,這里有兩個要求:,只依賴于樣本的界限(構造統(tǒng)計量),可見，對參數(shù) 作區(qū)間估計，,就是要設法找出兩個,一旦有了樣本，就把,2. 估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度,盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.,1. 要求 很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，,就是說，概率,即要求估計盡量可靠.,要盡可能大.,可靠度與精度是一對矛盾，,條件下盡可能提高精度.,一般是在保證可靠度的,17,例2,已知某種油漆的干燥時間X（單位

7、:小時）,服從正態(tài)分布,其中未知,現(xiàn)在抽取,25個樣品做試驗，,得數(shù)據(jù)后計算得,取,求的置信區(qū)間。,解,所求為,18,例3,中隨機地抽查了9人，其高度分別為：,已知幼兒身高,現(xiàn)從56歲的幼兒,115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;,19,2、未知2時，的置信區(qū)間,當總體X的方差未知時，,容易想到用樣本方差 2代替2。,已知,則對給定的，令,查t 分布表，可得,的值。,則的置信度為1 的置信區(qū)間為,20,例4,40名旅游者。,解,本題是在2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)的,置信區(qū)間。,選取統(tǒng)計量為,由公式知的置信區(qū)間為,查表,則所求的置信區(qū)間為,

8、為了調(diào)查某地旅游者的消費額為X，,隨機訪問了,得平均消費額為,元，樣本方差,設,求該地旅游者的平均消費額,的置信區(qū)間。,若225,的置信區(qū)間為,即,21,例5,用某儀器間接測量溫度，重復測量5次得,求溫度真值的置信度為 0.99 的置信區(qū)間。,解,設為溫度的真值，,X表示測量值，通常是一個,正態(tài)隨機變量,問題是在未知方差的條件下求的置信區(qū)間。,由公式,查表,則所求的置信區(qū)間為,22,例6,解,本題是在2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)的,置信區(qū)間。,由公式知的置信區(qū)間為,查表,則所求的置信區(qū)間為,為了估計一批鋼索所能承受的平均張力（單位,kg/cm2),設鋼索所能承受的張力X，,分別估計這批鋼索所能

9、承受的平均張力,的范圍與所能承受的平均張力。,隨機選取了9個樣本作試驗，,即,則鋼索所能承受的平均張力為 6650.9 kg/cm2,由試驗所得數(shù)據(jù)得,23,三、方差2的置信區(qū)間,下面我們將根據(jù)樣本找出2 的置信區(qū)間，,這在研究,生產(chǎn)的穩(wěn)定性與精度問題是需要的。,已知總體,我們利用樣本方差對2進行估計，,由于不知道S2與,2差多少？,容易看出把,看成隨機變量，又能找到,它的概率分布，則問題可以迎刃而解了。,的概率分布是難以計算的，而,對于給定的,24,即,則得到2隨機區(qū)間,以 的概率包含未知方差2，,這就是2的置信度為,1的置信區(qū)間。,25,例1,某自動車床加工零件，抽查16個測得長度（毫米）

10、,怎樣估計該車床加工零件長度的方差。,解 先求,2的估計值,或,查表,26,所求2的置信度為0.95的 置信區(qū)間,所求標準差的置信度為0.95的 置信區(qū)間由,得,得,27,例2,為了估計燈泡使用時數(shù)（小時）的均值和,解,查表,測試了10個燈泡得,方差2，,若已知燈泡的使用時數(shù)為X，,求和2的置信區(qū)間。,由公式知的置信區(qū)間為,的置信區(qū)間為,查表,即,由公式知2的置信區(qū)間為,2的置信區(qū)間為,28,例3,電動機由于連續(xù)工作時間（小時）過長會燒壞，,解,查表,燒壞前連續(xù)工作的時間X，得,求和2的置信區(qū)間。,今隨機地從某種型號的電動機中抽取9臺，,測試了它們在,設,由公式知的置信區(qū)間為,即,所求2的置信

11、度為0.95的 置信區(qū)間,得,29,尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.,使得,稱 為 與 之間的誤差限 .,，可以找到一個正數(shù) ，,只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難.,我們選取未知參數(shù)的某個估計量,，根據(jù)置信水平,這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.,30,單正態(tài)總體的區(qū)間估計,31,作業(yè),P294 4 5 6 8 10 12,32,嬰兒體重的估計,例4 假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布，隨機抽取 12 名嬰兒，測得體重為：（單位：克） 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540 試以

12、 95% 的置信度估計初生嬰兒的平均體重以及方差.,解 設初生嬰兒體重為X 克，則 XN( , 2 ),(1) 需估計 ,而未知 2.,33,作為統(tǒng)計量.,有 = ，n= ，,t0.025(11)= ，,即,的置信區(qū)間。,(1) 需估計 ,而未知 2.,34,(2) 需估計2 ,而未知 ，,有 20.025(11)= ，20.975(11)= ，,35,例5,解,由置信區(qū)間的概念，所求的0.99的 置信區(qū)間為,在交通工程中需要測定車速（單位 km/h),由以往,2、現(xiàn)在作了150次觀測，試問平均測量值的誤差在,的經(jīng)驗知道，,即,測量值為X，,測量值的誤差在 之間。,1、至少作多少次觀測，才能以0.99的可靠性保證平均,之間的概率有多大？,由題意要求,用平均測量值 來估計,其誤差,由題意知,36,至少要作86次觀測，,才能以0. 99的可靠性保持平均測量,誤差在,之間。,即,則鋼索所能承受的平均張力為 6650.9 kg/cm2,令,37,例6,設總體X N(,0.09)， 有一組樣本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求參數(shù)的置信度為0